劉伏虎，馬曉平

（西北工業(yè)大學無人機特種技術(shù)國家重點實驗室，陜西西安 710065）

引言

現(xiàn)代飛行器設計日益要求高速度和高機動性，使得飛行器日益呈現(xiàn)出輕結(jié)構(gòu)和大柔性的特點，因此氣動彈性的動穩(wěn)定性和動力響應問題變得日益突出［1］。氣動彈性動穩(wěn)定性主要研究顫振問題，動力響應主要討論氣動彈性系統(tǒng)在突風作用下引起的氣動彈性響應問題。文獻［2］以二元機翼為對象，利用Jones氣動力近似方法建立了氣動彈性響應模型，研究了銳邊突風對系統(tǒng)氣動彈性響應的影響。文獻［3］以大展弦比均勻直機翼為對象，求解一階扭轉(zhuǎn)和一階彎曲情況下系統(tǒng)的顫振速度，利用準定常氣動力模型研究了銳邊突風二元機翼以及直機翼的氣動彈性響應影響。

本文將以大展弦比均勻直機翼為對象，以非定常氣動力為基礎，建立系統(tǒng)響應模型，采用V-g法在二階扭轉(zhuǎn)和二階彎曲模態(tài)下求解系統(tǒng)的顫振速度。以Kussner函數(shù)為基礎，建立銳邊突風模型，研究銳邊突風對系統(tǒng)氣動彈性響應的影響。

1 建立模型

設大展弦比均勻直機翼的半展長為l，單位展長質(zhì)量為m。圖1為其剖面示意圖。圖中，b為翼型的半弦長；a為翼弦中點到彈性軸的距離占半弦長的百分比，彈性軸在半弦線之后a＞0，彈性軸位于距離機翼弦線中點ab處；xα為重心與彈性軸的距離占半弦長的百分比，重心在彈性軸之后xα＞0，重心與彈性軸的距離為xαb。

圖1 剖面示意圖

設彈性軸彎曲變形為w（y），向上為正，扭轉(zhuǎn)變形為α（y），迎風抬頭為正；機翼為等截面，其彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分別為EI和GJ，均為常數(shù)；機翼的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)分別為Nw和Nα，機翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)分別為ψi（y）和φi（y）；Sα=mxαb為單位展長機翼對彈性軸的質(zhì)量靜矩，Iα=mr2αb2為單位展長機翼對彈性軸的質(zhì)量慣性矩。

通過推導得到系統(tǒng)勢能和動能的表達式，以及系統(tǒng)做的虛功，利用拉格朗日方程得到模態(tài)坐標下機翼的運動方程為:

其中:

式中，i=1，2，…，Nw；j=1，2，…，Nα。

大展弦比均勻直機翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型的函數(shù)表達式為［1］:

其中:

單位展長二元機翼所受氣動力為［4］:

由模態(tài)轉(zhuǎn)換和模態(tài)振型函數(shù)之間的正交性，可得系統(tǒng)氣動力表達式為:

其中:

2 銳邊突風的影響

模態(tài)坐標下銳邊突風氣動力和力矩表達式可以

寫為如下形式［5］:

式中，ψ（s）=1－e－0.13s/2－e－s/2為 Kussner函數(shù)。將式（2）和式（3）代入式（7）和式（8）得到:

上式即為銳邊突風QG=［LGTG］T的表達式。在研究系統(tǒng)響應時，需要將系統(tǒng)表達在時域空間中，系統(tǒng)中Theodorsen函數(shù)C（k）的Wagner近似形式見文獻［6］。

引入空氣動力狀態(tài)變量后單位展長機翼非定常氣動力可重新表達為:

式中，δ=1 －δ1－δ2。

在模態(tài)坐標下xa滿足自身運動的狀態(tài)空間表達式為:

其中:

這樣，系統(tǒng)運動方程可重新表達為:

式中的空氣動力相關(guān)矩陣重新寫為:

建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程如下:

3 仿真分析

本文采用的機翼參數(shù)為:xα=0.4，a=－0.2，m=（19.6/l）kg/m，l=1 m，b=0.0915 m，Iα=0.1236 kg·m2，EI=35.96 N·m2，GJ=25.94 N·m2，引入人工結(jié)構(gòu)阻尼g，令q=eiωt，通過V-g法求解系統(tǒng)的顫振速度，取系統(tǒng)二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，計算得到系統(tǒng)的顫振速度VF=33.2 m/s，顫振頻率為fF=3.15 Hz。

由于系統(tǒng)一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，因此取一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)研究銳邊突風對系統(tǒng)氣動彈性響應的影響，突風速度wG=2 m/s，仿真初始條件為x0= [0 0 0.01 0.2 0 0]T，響應結(jié)果如圖3～圖5所示。從圖中可以看出，加入銳邊突風后，V＜VF時系統(tǒng)為收斂振蕩，V=VF時系統(tǒng)為等幅振蕩，V＞VF時系統(tǒng)為發(fā)散振蕩?？梢缘贸鯲F并未改變，而系統(tǒng)的響應振幅變大。從系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程出發(fā)，影響系統(tǒng)VF的因素主要由A的特征值決定。當加入突風后，其特征值并未改變；從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)出發(fā)，突風并未改變系統(tǒng)本身的機構(gòu)參數(shù)，加入突風相當于給了系統(tǒng)一個外加的擾動力，因此系統(tǒng)響應只是振幅改變。

圖2 系統(tǒng)顫振示意圖（Nw=2，Nα=2）

圖3 V=0.99VF時加入突風后的翼尖響應

圖4 V=VF時加入突風后的翼尖響應

圖5 V=1.01VF時加入突風后的翼尖響應

4 結(jié)束語

本文以大展弦比直機翼為對象，基于非定常氣動力理論建立了系統(tǒng)的氣動彈性運動方程，并取二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)求得系統(tǒng)的顫振速度。建立了彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)為Nw和Nα下的系統(tǒng)狀態(tài)方程，研究了銳邊突風分別在小于、等于和大于顫振速度下對系統(tǒng)的氣動彈性響應的影響。結(jié)果表明，銳邊突風增大了系統(tǒng)響應的振幅。整個系統(tǒng)的建模過程對下一步研究飛行器突風響應有一定的參考意義。

［1］趙永輝.氣動彈性力學與控制［M］.北京:科學出版社，2007.

［2］Kargarnovin M H，Mamandi A.Aeroelastic response for pure plunging motion of a typical section due to sharp edged gust using jones approximation aerodynamics［J］.World Academy of Science，Engineering and Technology，2007，36（1）:154-161.

［3］Haddadpour H，Shams S，Kheiri M.Sharp edge gust effects on aeroelastic behavior of a flexible wing with high aspect ratio［R］.AIAA-2005-838，2005.

［4］Theodorsen T.General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter［R］.National Advisory Commission for Aeronautics，NACA-TR-496，1949.

［5］Earl H D.A modern course in aeroelasticity［M］.Kluwer Academic Publishers，1995.

［6］Sutherland A N.A demonstration of pitch—plunge flutter suppression using LQG control［R］.ICAS2010，2010.