左曙光,魏 歡,嚴(yán)新富,李徐剛
(同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院,上海201804)
汽車乘坐室內(nèi)的噪聲除了小部分通過縫隙、孔洞等傳入外,其余大部分都是由乘坐室周圍的板件振動引起的輻射噪聲[1].也就是說,車身板件的振動輻射噪聲是車內(nèi)最直接、最主要的噪聲源.因此,對板件的輻射噪聲進(jìn)行控制是降低乘坐室噪聲最直接有效的方法.
對薄板結(jié)構(gòu)來說,一般情況下,由彎曲波所引起的橫向振幅比橫波和縱波大得多,因此彎曲波產(chǎn)生的聲輻射是結(jié)構(gòu)輻射噪聲的主要來源[2].另外,關(guān)于聲輻射模態(tài)理論的研究表明,結(jié)構(gòu)聲輻射效率的高低與其表面振速分布有較大的關(guān)系.在一定頻率范圍內(nèi),某些振速分布可以實(shí)現(xiàn)較小的聲輻射效率,因此,優(yōu)化控制結(jié)構(gòu)的表面振速分布對于降低結(jié)構(gòu)的輻射噪聲非常有效[3].目前很多學(xué)者對結(jié)構(gòu)振動的主動控制進(jìn)行了大量的研究,并已取得一定的成果[4-5],怎樣合理地運(yùn)用聲輻射模態(tài)理論來設(shè)計(jì)低輻射效率板件目前尚無成熟的理論方法.本文以工程中典型的矩形板結(jié)構(gòu)為研究對象,從聲輻射模態(tài)理論出發(fā),分析討論了影響板結(jié)構(gòu)聲輻射的主要因素,由此提出了優(yōu)化板結(jié)構(gòu)聲輻射的2種方案,并對這2種方案進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,對結(jié)果進(jìn)行了簡單分析.
根據(jù)文獻(xiàn)[6]的研究內(nèi)容可以知道,對于離散成N個微小單元的板結(jié)構(gòu)來說,其在振動頻率ω下的聲輻射功率W(ω)可以由下式計(jì)算得到:
式中:ρ為介質(zhì)密度,c為該處介質(zhì)振動速度,ρc為聲場介質(zhì)的特性阻抗率;s為每個單元的面積;σi(ω)為頻率ω下板結(jié)構(gòu)的第i聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率;N為所關(guān)心的聲輻射模態(tài)總數(shù);u(ω)指頻率ω下板結(jié)構(gòu)的表面振速向量;qi(ω)為頻率ω下板結(jié)構(gòu)的第i階聲輻射模態(tài).若令
圖1所示為前9階聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率特性,采用雙對數(shù)坐標(biāo)軸.根據(jù)參考文獻(xiàn)[3],取量綱一化頻率kl作為橫坐標(biāo),其中k為波數(shù),l為板件的長度.
圖1 聲輻射效率特性Fig.1 The character of radiation efficiency
聲輻射效率大致具有如下特性[6]:在中低頻時,各階輻射效率差別較大,隨著聲輻射模態(tài)階數(shù)的增加,輻射效率迅速減小,說明聲輻射主要集中在前幾階輻射模態(tài)上.而到了高頻,各階聲輻射模態(tài)的輻射效率趨于相同,聲輻射由所有的模態(tài)共同貢獻(xiàn).
從式(3)可以看出,對于一確定的板結(jié)構(gòu),影響其聲輻射功率的主要因素為表面振速振型v(ω)和振幅U(ω).其中振幅U(ω)以2次方的倍數(shù)關(guān)系影響聲輻射功率,而振型v(ω)的變化則主要改變各輻射效率值的權(quán)值.
在中低頻情況下,由于各階輻射效率值差別甚大,低階輻射效率值比高階輻射效率值高出幾個數(shù)量級.因此,可以認(rèn)為振型v(ω)對聲輻射的影響大于振幅U(ω)對聲輻射的影響,也就是說,中低頻時,板結(jié)構(gòu)的振型對聲輻射功率起主導(dǎo)作用.
而到了高頻段時,所有聲輻射模態(tài)的輻射效率均趨于一致.各階聲輻射模態(tài)對應(yīng)的輻射效率σi(ω)隨模態(tài)階數(shù)i變化甚微,因此可以用一個固定值σ0(ω)來近似代替,式(3)變成
式中,σ0為各階聲輻射模態(tài)下輻射效率的平均值.又因?yàn)?/p>
由聲輻射模態(tài)的性質(zhì)知qi(ω)是空間的一組單位正交基,所以有
式中,I表示單位矩陣,將式(6)代入式(5)得
將上式代入式(4)得
從式(8)可以知道,高頻振動時,板結(jié)構(gòu)輻射聲功率僅與振速振幅U(ω)有關(guān),而振型v(ω)的變化對輻射聲功率基本不產(chǎn)生影響.
上述簡單分析表明,對于板結(jié)構(gòu)聲輻射的優(yōu)化控制需要分中低頻和高頻2種情況分別考慮.中低頻時,總的聲輻射功率不僅與振速幅值U(ω)相關(guān),同時也和振型v(ω)相關(guān),而振型v(ω)是主要因素,因此對結(jié)構(gòu)的優(yōu)化可以從控制v(ω)的角度出發(fā);高頻段時,由于總輻射效率基本保持不變,總聲功率僅與振速振幅U(ω)相關(guān),此時能有效控制聲輻射的優(yōu)化方法就是控制振幅U(ω)值.
對于結(jié)構(gòu)優(yōu)化,其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型一般為
式中:f(x)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);gj(x)為不等式約束條件;hk(x)為等式約束條件.
如何選擇優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(x)是其中的關(guān)鍵步驟,優(yōu)化函數(shù)的合理與否直接關(guān)系到優(yōu)化結(jié)果的理想與否.前面分析表明,影響板結(jié)構(gòu)的主要因素在不同頻段下是不同的,因此對板結(jié)構(gòu)的優(yōu)化,其目標(biāo)函數(shù)也要分別考慮.
在高頻段時,由式(8)知道,振幅U(ω)是影響聲輻射功率的唯一因素,因此優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以取如下形式:
而在中低頻時,雖然振型v(ω)是影響聲功率的主導(dǎo)因素.然而,由于振型v(ω)是一個向量,并非標(biāo)量,將振型v(ω)作為目標(biāo)函數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的.而如果以式(1)作為目標(biāo)函數(shù),計(jì)算量又太大,因此,對于中低頻情況,需要作進(jìn)一步分析討論.
一些研究表明[7],中低頻段時,采用形如式(1)的求和式計(jì)算板結(jié)構(gòu)聲功率時只需取其前6項(xiàng)的和便可達(dá)到較好的精度,那么此時聲輻射功率計(jì)算公式可簡化為
另外,中低頻時各階聲輻射模態(tài)基本不隨頻率變化[8],因此,可以用一確定頻率ω0下的聲輻射模態(tài)向量qi(ω0)來代替該頻段內(nèi)任意頻率下的聲輻射模態(tài)向量qi(ω),式(11)進(jìn)一步簡化為
而輻射效率由于在雙對數(shù)坐標(biāo)中呈線性,因此可以用下式擬合:
式中,ai為第i階聲輻射模態(tài)的擬合系數(shù).
將式(13)代入式(12)中得到
式(14)相比于式(1)來說計(jì)算量大大減少,而其計(jì)算精度仍可達(dá)到工程計(jì)算的要求.因此,可以用式(14)作為中低頻段優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù),即取
這里,由于式(15)是通過控制前6階聲輻射模態(tài)的成分來控制總聲輻射功率的,即優(yōu)化主要起到了改變結(jié)構(gòu)振型的作用,因此稱這種優(yōu)化方案為“振型優(yōu)化”.對應(yīng)地,中高頻優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)就是通過控制結(jié)構(gòu)的振幅平方來減小聲輻射,因此稱該優(yōu)化方案為“振幅優(yōu)化”.
為了驗(yàn)證2種優(yōu)化方案的效果,采用一典型矩形板結(jié)構(gòu)作為研究對象進(jìn)行優(yōu)化數(shù)值計(jì)算.
本計(jì)算實(shí)例采用四邊固定0.6 m×0.4 m的金屬板件為研究對象,在其表面施加大小為10 N·m-2的均布簡諧壓力.板件初始厚度為1 mm,彈性模量為E=2.1×1011Pa,密度ρ=7.9×103kg·m-3,泊松比ν=0.3.結(jié)構(gòu)分成18×12個大小相等的矩形單元.聲場介質(zhì)為空氣,密度ρA=1.21 kg·m-3,聲速c=340 m·s-1.以單元厚度為變量對其進(jìn)行聲輻射的優(yōu)化,優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)分別取式(15)和式(10)的形式,從振型和振幅兩方面進(jìn)行優(yōu)化.單元厚度值限制為0.5~2.0 mm,結(jié)構(gòu)總的質(zhì)量限制為不大于初始質(zhì)量值.優(yōu)化的頻率分別取400,800,2 500,10 000及25 000 rad·s-1.優(yōu)化模型采用序列二次規(guī)劃法進(jìn)行求解.
圖2列出了各個頻率下2種優(yōu)化方案的優(yōu)化結(jié)果.圖中顏色的深淺代表了板件的厚薄,顏色越深說明優(yōu)化后該處越厚,反之亦然.
對于所有的優(yōu)化結(jié)果,厚度分布都呈現(xiàn)對稱的形式,這應(yīng)該主要是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)本身是對稱的,而且邊界條件和外加載荷也是對稱的,所以導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果是對稱的.比較同一頻率下2種優(yōu)化方法的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),兩者之間差別較大,不同的目標(biāo)函數(shù)帶來了不同的優(yōu)化結(jié)果.另外,同一種優(yōu)化方法在不同頻率下的優(yōu)化結(jié)果也不相同,說明優(yōu)化的結(jié)果對頻率比較敏感.另外,隨著振動頻率的升高,優(yōu)化后的厚度分布也變得越來越復(fù)雜.
圖3所示為優(yōu)化前后板結(jié)構(gòu)聲輻射功率的對比柱狀圖.比較2種優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),在中低頻段(ω≤2 500 rad·s-1),振型優(yōu)化方法取得了較好的優(yōu)化結(jié)果.在該頻段內(nèi),振型優(yōu)化前后聲功率都獲得了較大幅度的下降,下降量達(dá)到了30~40d B,優(yōu)化效果相當(dāng)明顯.而在高頻段(ω>2 500 rad·s-1),振型優(yōu)化后聲輻射功率反而比優(yōu)化前更高,并且隨著頻率的升高,聲功率上升的幅度也增加,也就是說優(yōu)化起到了負(fù)面的作用.造成這種現(xiàn)象的主要原因還在于聲輻射模態(tài)的特性,由于中低頻時前幾階聲輻射模態(tài)貢獻(xiàn)了大部分的聲功率,因此對前6階聲輻射模態(tài)的控制可以有效地控制聲輻射功率;而到了高頻時,各階聲輻射模態(tài)的輻射效率趨于相同,低階輻射模態(tài)不再是主要的聲輻射模態(tài),而且在減小低階輻射模態(tài)時可能導(dǎo)致了其他高階輻射模態(tài)更多的增加,從而反而增加了總的聲輻射.
再來看振幅優(yōu)化法的結(jié)果,從圖中可以看出,基本上在計(jì)算的整個頻段內(nèi)振幅優(yōu)化法都能取得一定程度的效果,然而優(yōu)化幅度并沒有振型優(yōu)化法那么明顯,大多數(shù)情況下,優(yōu)化使得聲功率得到了約3~5 d B的下降量.
圖4是優(yōu)化前后振速均方值及輻射效率的比較柱方圖.比較優(yōu)化前后的輻射效率值可以發(fā)現(xiàn),振型優(yōu)化法使得各個頻段下的輻射效率都獲得了不同程度的降低.特別是在中低頻段,由于低階輻射模態(tài)輻射效率遠(yuǎn)大于高階輻射模態(tài),因此對低階輻射模態(tài)的消除同時也大幅降低了結(jié)構(gòu)的總輻射效率.這時,雖然結(jié)構(gòu)的振速均方值沒有降低,但是仍能較大幅度地降低聲輻射功率.而到了高頻段,振型優(yōu)化前后的輻射效率變化不大,而此時由于結(jié)構(gòu)改變反而造成了振速均方值較大幅度地增加,所以聲輻射功率亦隨之增加.
圖4 振幅均方值及輻射效率對比Fig.4 Comparison of U 2 andσ
由于振幅優(yōu)化法的目標(biāo)函數(shù)就是振速均方值,因此振幅優(yōu)化后各個頻率的振速均方值都獲得了不同程度的下降.振幅優(yōu)化法對輻射效率的影響不大.
上述分析可以大致得出這樣一個結(jié)論:振型優(yōu)化法主要改變的是結(jié)構(gòu)的聲輻射效率,中低頻對振速均方值的影響不大,適用于中低頻段的優(yōu)化;而振幅優(yōu)化法主要改變的是結(jié)構(gòu)的振速均方值,在整個頻段均能獲得一定程度的優(yōu)化效果,在高頻段優(yōu)化比較有優(yōu)勢.
主要以聲輻射模態(tài)理論為基礎(chǔ),對板結(jié)構(gòu)的聲輻射特性進(jìn)行了分析研究,由此提出了振型優(yōu)化和振幅優(yōu)化這2種優(yōu)化方案,并使用這2種方案對一典型矩形板進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)值計(jì)算.結(jié)論主要是基于聲輻射模態(tài)理論得出的,而結(jié)構(gòu)的聲輻射模態(tài)只與其形狀和大小有關(guān),與其他特性(如材料等)并無直接關(guān)系,因此平板的初始振動模態(tài)對本文結(jié)果沒有直接影響,仿真所用的平板固有振動頻率不影響結(jié)論的普適性.研究主要結(jié)論如下:
(1)板結(jié)構(gòu)的振型對中低頻聲輻射起主導(dǎo)作用,振動幅值的大小亦在一定程度上對聲輻射產(chǎn)生影響.
(2)高頻振動時,板結(jié)構(gòu)的振型分布基本不影響聲輻射,振動幅值大小決定了聲輻射功率的大小.
(3)振型優(yōu)化在中低頻段效果明顯,高頻段可能適得其反,因此僅適用于中低頻段.
(4)振幅優(yōu)化可在整個頻段取得一定的優(yōu)化效果,在中低頻段的作用不如振型優(yōu)化法,可適用于高頻段的聲輻射優(yōu)化.
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