任惠娟 李文慧 宋佳樂 孫 彤

（咸陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，咸陽 712000）

加筋板由于具有良好的剛度和穩(wěn)定性，在機(jī)械、船舶、建筑及航天領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的早期階段，振動結(jié)構(gòu)噪聲的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)對分析聲學(xué)性能和優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義，因此眾多科研工作者從不同的角度對加筋板的振動和聲輻射性能進(jìn)行了研究。振動結(jié)構(gòu)的平均聲輻射效率是結(jié)構(gòu)聲輻射性能的一個重要表征參量[1]，反映了振動結(jié)構(gòu)向周圍介質(zhì)中輻射聲能量的能力。HECKEL指出，當(dāng)筋的間距小于1/4彎曲波長時，周期加筋板可等效為正交各向異性平板[2]。本文在HECKE理論的基礎(chǔ)上詳細(xì)分析加筋矩形板的振動和聲輻射效率影響因素，為優(yōu)化加筋板的振動和聲輻射性能提供了理論依據(jù)。

1 加筋矩形板的聲輻射效率

將一個滿足HECKEL等效條件的加筋矩形板等效為正交各向異性矩形板[3-4]，并將等效板四邊簡支嵌于無限大障板上。

1.1 正交各向異性矩形板的模態(tài)輻射效率

在長和寬分別為a和b的板面上建立坐標(biāo)系，如圖1所示，并令外載荷為作用于板面(x0,y0)處且幅值為F0的點(diǎn)簡諧力。

圖1 正交各向異性矩形板表面積分示意圖

將板面分割成無限多個小面元，面元ds′相對于ds的位置用極坐標(biāo)(h,θ)表示，其中h為兩面元之間的距離，θ為h與x軸反方向之間的夾角。顯然，ds′面元的振速幅值為[5]

ds′面元的振動在ds處產(chǎn)生的聲壓幅值為

式中：k為聲波的波數(shù)；ρa(bǔ)為空氣密度；ca為聲波在空氣中的傳播速度。

對式（6）積分，得到所有面元的振動在面元ds處產(chǎn)生的聲壓為

式中：Umn*(x,y)為面元ds處振速幅值Umn(x,y)的共軛復(fù)數(shù)。

對式（9）積分，得到整個板面輻射的聲功率為

對激勵點(diǎn)進(jìn)行面平均[1]，得到模態(tài)輻射聲功率的平均值為

式中：S為矩形平板的面積。

等效正交各向異性矩形板的模態(tài)均方振速為

同樣，對式（11）中的激勵點(diǎn)作空間平均，得到模態(tài)均方振速的平均值，即

將式（10）和式（12）代入式（13），可以得到正交各向異性板的模態(tài)輻射聲功率。

1.2 等效正交各向異性矩形板的平均輻射效率

等效正交各向異性矩形板振動時的平均輻射效率為

將式（15）、式（16）代入式（14），得到嵌于無限大剛性障板中的加筋矩形板在點(diǎn)激勵下的平均輻射效率為

可見，將加筋矩形板等效為正交各向異性矩形板后，等效板的平均輻射效率等于各階模態(tài)輻射效率對其均方振速平均值的加權(quán)平均值。

2 矩形加筋板輻射效率的數(shù)值仿真

2.1 矩形加筋板的平均輻射效率

圖2給出了雙向加筋矩形板的平均輻射效率和模態(tài)輻射效率隨頻率的變化關(guān)系。由圖2可以看出：低頻段，隨著頻率的增大，平均輻射效率隨之增大，且平均輻射效率等于（1，1）階的模態(tài)輻射效率；中頻段，隨著頻率的增大，平均輻射效率圍繞某一恒值在小范圍內(nèi)波動變化；高頻段，隨著頻率的增大，平均輻射效率逐漸增大；臨界頻率后，平均輻射效率趨近于1。以上特點(diǎn)與矩形板的平均輻射效率特點(diǎn)一致。

圖2 雙向加筋板的輻射效率

2.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)對平均輻射效率的影響

2.2.1 筋高對平均輻射效率的影響

選取3塊縱橫加筋的方板，筋高分別為2 cm、3 cm 及4 cm。3塊加筋板的其他參數(shù)均相同，即板尺寸為1 m×1 m×3 mm，x、y方向筋的參數(shù)相同，筋間距為2 cm，筋條寬度為5 mm，筋條總數(shù)為50根，筋與板的材質(zhì)均為鋼。當(dāng)頻率滿足f＜4 623 Hz時，3塊板可以等效為正交各向異形板。圖3給出了3塊加筋板的平均輻射效率對比情況。

圖3 不同筋高的加筋板平均輻射效率對比

由圖3可以看出：在中高頻段，筋的高度越高，平均聲輻射效率越大，這是由于筋越高，板的剛度越大，故平均輻射效率越大；在低頻段，3塊加筋板的平均輻射效率相同，與筋高無關(guān)；在臨界頻率以上頻段，3塊加筋板的平均輻射效率均趨近于1，也與筋寬無關(guān)。

2.2.2 筋寬對平均輻射效率的影響

選取3塊縱橫加筋的方板，筋寬分別為1 mm、 5 mm及10 mm。3塊加筋板的其他參數(shù)均相同，即板尺寸為1 m×1 m×3 mm，x、y方向筋的參數(shù)相同，筋間距為2 cm，筋高為2 cm，筋條總數(shù)為50條，筋與板的材質(zhì)均為鋼。當(dāng)頻率滿足f＜4 623 Hz時，3塊板可以等效為正交各向異形板。圖4給出了3塊不同筋寬加筋板的平均輻射效率對比情況。

圖4 不同筋寬加筋板平均聲輻射效率對比

由圖4可見，在筋間距不變的情況下，筋寬對平均聲輻射效率的影響主要表現(xiàn)在中頻段。中高頻段筋條越寬，正交各向異性板的剛度越大，加筋板的平均輻射效率越大；臨界頻率以上頻段和低頻段的平均輻射效率均與筋寬無關(guān)。

2.2.3 筋間距對平均輻射效率的影響

選取三塊縱橫加筋的方板，第一塊筋間距為10 mm， 筋條數(shù)目為縱橫各100條，第二塊筋間距為20 mm，筋條數(shù)目為縱橫各50條，第三塊筋間距為50 mm，筋條數(shù)目為縱橫各20條。三塊板的其他參數(shù)均相同：板尺寸為1 m×1 m×3 mm，筋寬為5 mm，筋高為 2 cm，筋與板的材質(zhì)均為鋼。

根據(jù)加筋板與正交各向異性板的等效條件，若要將加筋板等效為正交各向異性板，則筋間距為5 cm時的頻率要求為f＜740 Hz，筋間距為2 cm時的頻率要求為f＜4 623 Hz，筋間距為1 cm時的頻率要求為f＜18 495 Hz。可見，在f＜740 Hz的頻段，以上3塊加筋板均可以等效為正交各向異性板。

圖5給出了3塊加筋板在f＜740 Hz的頻段的平均輻射效率對比情況。由圖5可見：在中高頻段，加筋板筋間距越小，剛度越大，加筋板的平均輻射效率越大；在低頻段和臨界頻率以上頻段，筋間距對平均輻射效率無影響。

圖5 不同筋間距加筋板的平均聲輻射效率對比

3 結(jié)論

根據(jù)加筋矩形板的正交各向異性等效理論，開展加筋矩板的振動響應(yīng)和聲輻射效率研究，并對比分析了平均輻射效率的影響因素，主要結(jié)論如下：

（1）四邊簡支加筋矩形板在點(diǎn)簡諧力激勵下的平均輻射效率等于各階模態(tài)輻射效率關(guān)于其均方振速的加權(quán)平均值；

（2）在中高頻段，加筋矩形板筋條高度越高、筋寬越寬、筋間距越小，平均輻射效率越大。