基于改進微分進化算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化

徐志成，錢金法（常州機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164）

1 引言

無功優(yōu)化是電力系統(tǒng)經(jīng)濟運行最重要的手段之一，常用的方法包括靈敏度法、非線性規(guī)劃法、內(nèi)點法等。這些方法通常需要使用梯度矢量信息，這使得在求解具體問題時不得不做一些近似處理，因為在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中存在較多離散變量；同時，無功優(yōu)化問題又是一個多約束優(yōu)化問題，將這些約束條件同時考慮時，就不能保證其性能指標(biāo)是一個凸函數(shù)，而有可能是一個多峰值的函數(shù)，以上幾種方法都是基于單點的搜索方法，很容易由于初始點的選取不當(dāng)而陷入局部極值區(qū)。

近年來，遺傳算法、免疫算法等現(xiàn)代啟發(fā)式尋優(yōu)方法在無功優(yōu)化方面做了大量的研究[1-4]，彌補了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法的不足。基于遺傳算法的無功優(yōu)化方法有許多優(yōu)良特性，能找到近似的全局最優(yōu)解。但是該算法缺點是計算時間長[3-5]，很難滿足實際運行的需要，其主要原因是遺傳算法局部搜索能力差，容易出現(xiàn)早熟而收斂到局部最優(yōu)解[5-7]。采用自適應(yīng)等改進的遺傳算法可以改善算法性能[5-6]，但并沒有完全解決這些問題，目前的遺傳算法仍然存在計算速度慢的問題。加快算法的收斂速度，改善算法解的質(zhì)量是目前研究的重點。

學(xué)者Stron和Price針對實參數(shù)優(yōu)化問題提出了微分進化(differential evolution)算法[7-10]，其主要特點是收斂速度快、可調(diào)參數(shù)少、魯棒性好、算法簡單，近些年逐漸被人們所接受，成為研究的熱點之一。本文在對基本DE算法進行改進的基礎(chǔ)上，利用其強大的尋優(yōu)能力來進行電力系統(tǒng)無功優(yōu)化研究，并針對實際對象進行了仿真實驗。

2 DE算法

2.1 初始化

同GA、PSO等進化算法一樣，在尋優(yōu)時需要對種群數(shù)量的大小及初始種群進行生成。通常，初始種群的生成方法是從給定邊界約束內(nèi)的值中隨機選擇，應(yīng)該覆蓋整個參數(shù)空間。而種群數(shù)量Np一般取10倍于所求解問題規(guī)模的維數(shù)。設(shè)第i個個體Xi=(xi，1,xi，2,…,xi，n)，Xi∈Rn，n為問題解空間的維數(shù)，初始種群s= {X1,X2,…,XNp}，為個體的集合。一般個體向量Xi各個分量的產(chǎn)生方式為

式中xi,j、xi,jmax、xi,jmin分別為個體向量Xi的第j個分量及第j個分量的上下限。

2.2 變異

對于第k+1代每個目標(biāo)向量，基本DE方法變異向量產(chǎn)生方式為：

2.3 交叉

式中：qi是從[1，n]中隨機選取的一個整數(shù)，用以保證本次操作必須有一位經(jīng)過交叉；ηj∈[0,1]是針對第j維分量隨機選取的控制參數(shù)；交叉因子CR∈[0,1]為算法參數(shù)，需要事先確定，其控制著種群的多樣性，幫助算法從局部最優(yōu)解中脫離出來。

2.4 選擇

在標(biāo)準(zhǔn)DE方法中，使用“貪婪”選擇模式：當(dāng)且僅當(dāng)新個體的評價函數(shù)值更好時，才被保留到下一代群體中，否則，父個體仍然保留在群體中，再一次作為下一代的父向量。

2.5 DE的控制參數(shù)

控制參數(shù)的選擇對DE算法的搜索性能有較大的影響，根據(jù)經(jīng)驗，種群數(shù)量Np可選擇在5～10倍的問題維數(shù)之間，但Np必須大于4以確保DE具有足夠的不同變異向量。比例因數(shù)F和交叉因數(shù)CR在進化過程中的取值區(qū)間一般分別是[0.4，0.9]和[0.3，0.8]，它們的優(yōu)化值往往依賴于目標(biāo)函數(shù)的特性。

2.6 DE算法的改進

在DE算法中，控制參數(shù)的合理設(shè)置是一個十分困難的問題，許多學(xué)者對此問題作了專門的研究，使得DE參數(shù)的控制策略有了很大的提高，但一般采用進化代數(shù)作為參數(shù)動態(tài)調(diào)整依據(jù)[8]。一般來說，F(xiàn)和CR不能過小，以避免算法過早收斂，較大的F和CR增加了算法從局部最優(yōu)逃脫的可能性。然而，若F>1，則算法的收斂速度會明顯降低，這是因為當(dāng)擾動大于群體內(nèi)兩個成員間的距離時，收斂會非常困難。由式(2)可見，在搜索的初始階段，由于個體隨機分布在解空間中，因此向量的差值比較大，這時要求算法的控制參數(shù)F相對小一些；隨著種群的不斷進化，各個個體逐漸靠近最優(yōu)個體，算法中的變異操作產(chǎn)生的差向量會逐漸變小，在一定程度上減弱了算法搜索空間的多樣性，因此要求此時的控制參數(shù)F相對大一些，使得變異操作后的向量能夠開拓新的搜索空間，從而提高算法的全局尋優(yōu)能力。同樣，對交叉因子來說，過小的CR使得算法的種群在交叉操作后產(chǎn)生較少的新個體，這樣就減弱了算法開拓新空間的能力；而過大的CR使得種群不能較好地保持穩(wěn)定，降低了算法的穩(wěn)定性。

由式(2)可見，要對算法參數(shù)較好的進行控制，就要動態(tài)掌握種群的個體分布情況，根據(jù)個體的分布，確定合適的控制參數(shù)。在進行尋優(yōu)的過程中，群體適應(yīng)度方差是一個能夠較好體現(xiàn)當(dāng)前個體與最優(yōu)點的分布情況的量化指標(biāo)，計算方便，適合用來對控制參量進行動態(tài)調(diào)整，適應(yīng)度方差計算如下：

式中，Np為種群數(shù)量；fi為第i個個體的適應(yīng)度；fav為種群的平均適應(yīng)度；fbest為群體最佳適應(yīng)度。由式(4)可見，適應(yīng)度方差的取值范圍在[0，Np]，群體適應(yīng)度方差 σ2越小，群體聚集程度越高；反之，則群體個體分布越分散?？紤]種群分布情況后，DE算法的第k代控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整策略為：

式中，F(xiàn)max、Fmin為差分因子F的上下限；CRmax、CRmin為交叉因子CR的上下限。

3 基于改進DE算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化

3.1 問題描述

電力系統(tǒng)實現(xiàn)無功功率的優(yōu)化調(diào)度與控制，可以改善系統(tǒng)的電壓質(zhì)量，減少電能傳輸損耗。無功優(yōu)化的目的是通過調(diào)整無功潮流的分布降低有功網(wǎng)損，并保持最好的電壓水平，因此，目標(biāo)通常是有功損耗最小，即

PL為系統(tǒng)的有功損耗，其表達式為：

式中，Ui、Uj為節(jié)點i、j電壓；θij為節(jié)點i電壓和節(jié)點j電壓的相位角之差；Gij、Bij為節(jié)點導(dǎo)納矩陣中元數(shù)的實部和虛部。

等式約束條件為：

式中，Pi、Qi為節(jié)點i注入的有功和無功功率；

不等式約束條件為：

式中，Uimax和Uimin為PQ節(jié)點i的電壓幅值上下限；Qimax和Qimin為 發(fā)電機節(jié)點i無功出力上下限；QCi、QCimax、QCimin為無功補償裝置節(jié)點i投切量及其上下限；KTi、KTimax、KTimin為有載可調(diào)變壓器i變比及其上下限；UGi、UGimax、UGimin為PV節(jié)點發(fā)電機機端電壓幅值及其上下限。

為了方便與文獻[11]比較，本文?。?1）式作為無功優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

λuPu為PQ節(jié)點電壓越限的懲罰項，λu為懲罰因子，Pu的表達式為：

λQPQ為PQ節(jié)點無功越限的懲罰項，λQ為懲罰因子，PQ的表達式為：

采用本文算法進行無功優(yōu)化時，位置x(k)的各維變量由無功優(yōu)化問題中的控制變量UG、KT、QC組成，即

發(fā)電機電壓UG的取值范圍為[0.9 1.1]，且是連續(xù)的；變壓器檔位KT的取值范圍為[0.9 1.1]，間距為0.02；電容器無功QC的取值范圍為[-0.1 0.1]，間距為0.02。

3.2 實例仿真

以IEEE30節(jié)點系統(tǒng)為例，用MATLAB7.0編程，對上述模型和方法進行驗證。系統(tǒng)具有30個節(jié)點、6臺發(fā)電機、4臺可調(diào)變壓器。節(jié)點電壓變化范圍均為0.94～1.06p.u.。有載調(diào)壓變壓器的檔位范圍均為1±8×0.0125。系統(tǒng)在節(jié)點10、24處分別配置了可投切電容器組，節(jié)點10處并聯(lián)電容器組電納可調(diào)上限為0.50p.u.，分段步長0.10p.u.，節(jié)點24處并聯(lián)電容器組電納可調(diào)上限為0.10p.u.，分段步長0.02 p.u.。

為了進一步說明本文方法的有效性，本文同時采用PSO算法，并與文獻[11]中二次變異遺傳算法（SMGA）的結(jié)果相比較。

方便于比較三種算法的性能，與文獻[11]相同，三種算法的收斂條件為：連續(xù)8代目標(biāo)函數(shù)值沒有減小并且計算代數(shù)大于設(shè)置的最小代數(shù)。在滿足不等式約束的條件下，計算100次進行統(tǒng)計。計算代數(shù)統(tǒng)計見表1；100次計算中最好、最差和平均網(wǎng)損統(tǒng)計見表2；優(yōu)化的網(wǎng)損分布區(qū)域統(tǒng)計見表3。

表1 計算代數(shù)統(tǒng)計

方法 最好 最差 平均 偏差SMGAA 0.04641 0.06149 0.04685 0.00024 PSO 0.04919 0.06456 0.06201 0.00256 DE 0.04450 0.04660 0.04555 0.00012

表3 網(wǎng)損分布區(qū)域統(tǒng)計

從表1可以看出，文獻[11]中提出的二次變異遺傳算法(SMGA)用于電力系統(tǒng)無功優(yōu)化，其計算最小代數(shù)為30，最大代數(shù)126，平均代數(shù)63；運用PSO算法，其計算最小代數(shù)為39，最大代數(shù)139，平均代數(shù)89；而運用本文提出的方法，其計算最小代數(shù)為13，最大代數(shù)62，平均代數(shù)36?？梢钥闯?，本文方法的收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于上述兩者方法。

從表2可以看出，SMGA算法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.04641～0.0490p.u.區(qū)域，最好和最差網(wǎng)損相差2.25%；本文方法的結(jié)果分布在0.0455～0.0460p.u.區(qū)域，最好網(wǎng)損和最差網(wǎng)損相差2.55%。可以看出，本文方法得到的平均網(wǎng)損和標(biāo)準(zhǔn)偏差均比SMGA算法、PSO算法小，本文方法的尋優(yōu)性能更好，且優(yōu)化結(jié)果更集中，可見運用本文方法能搜索到更好的優(yōu)化解，其解的質(zhì)量更高，本文方法的標(biāo)準(zhǔn)偏差低于SMGA算法和PSO算法，說明本文方法更具有穩(wěn)定性。

從表3數(shù)據(jù)可以看出，SMGA算法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.0460～0.0490p.u.之間；本文方法的優(yōu)化結(jié)果分布在0.0455～0.0475p.u.之間，這說明本文方法優(yōu)化結(jié)果比SMGA算法更加集中在小的區(qū)域并且集中在網(wǎng)損小的一端， 同樣說明本文方法較SMGA算法的尋優(yōu)性能及穩(wěn)定性更好。

4 結(jié)語

無功優(yōu)化在電力系統(tǒng)經(jīng)濟運行中占有重要的地位，對其進行研究具有重要的現(xiàn)實意義。DE算法是一種基于群體優(yōu)化的全局搜索方法，可有效解決無功優(yōu)化這類非線性混和整數(shù)優(yōu)化問題。通過對IEEE30節(jié)點系統(tǒng)的仿真分析表明，DE比GA以及PSO算法的搜索性能更好，能在較短的搜索時間內(nèi)找到更接近于全局最優(yōu)解。

[1]DAS D B, PATVARD HAN C. Reactive power dispatch with a hybrid stochastic search technique[J].Electric Power Energy System,2002,24(9):731-735.[2]許文超,郭偉. 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的模型及算法綜述[J].電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報, 2003,15(1):100-104.

[3]郭創(chuàng)新,朱承治,趙波,等.基于改進免疫算法的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化[J].電力系統(tǒng)自動化,2005,29(15):23-29.

[4]萬黎,袁榮湘.最優(yōu)潮流算法綜述[J].繼電器,2005,33(11):80-87.

[5]鐘紅梅,任震,張勇軍,等.免疫算法及其在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化中應(yīng)用[J].電網(wǎng)技術(shù),2004,28(3):16-19.

[6]LAI L L, MAJ T. Application of evolutionary programming to reative power planning comparison with nonlinear programming approach[J]. IEEE Trans on Power System, 1997,12(1):198-204.

[7]Stron R, Price K. Differential evolution-a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces[R]. Technical Report TR-95-012, ICSI, 1995.

[8]Stron R, Price K. Differential evolution-a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces[J]. Journal of Global Optimization,1997,11:341- 359.

[9]Stron R, Price K. Minimizing the real functions of the ICEC 96 contest by differential evolution [C]. IEEE Conference on Evolutionary Computation,Nagoya, 1996: 842-844.

[10]Junhong Liu, Jouni Lampinen. A fuzzy adaptive differential evolution algorithm[C]. Proceedings of IEEE Tencon’02. Beijing, China,2002:606- 611.[11]康積濤,錢清泉. 電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的二次變異遺傳算法[J]. 電力自動化設(shè)備, 2007,27(9):7-11.

★ [基金項目]：國家自然科學(xué)基金資助項目（60421002）