陳 菊 郭永新 劉世興 梅鳳翔

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081)

(遼寧大學(xué)物理學(xué)院，沈陽 110000)

引言

Birkhoff系統(tǒng)是一類應(yīng)用廣泛的約束力學(xué)系統(tǒng).Birkhoff力學(xué)的研究已取得重要進(jìn)展，如專著[1-4].在該力學(xué)系統(tǒng)下，關(guān)于穩(wěn)定性的研究通常采用的方法是Lyapunov 函數(shù)法和一次近似法.特別對于自治和半自治Birkhoff系統(tǒng)而言，Birkhoff函數(shù)即為系統(tǒng)的積分.因此，如果Birkhoff函數(shù)在平衡鄰域內(nèi)是正定的，則平衡位置是穩(wěn)定的.

力學(xué)系統(tǒng)的運動依賴于作用力以及所受的約束，因此既可以借助力來控制運動，也可以借助于約束來控制運動.前者稱為動力學(xué)控制，后者稱為運動學(xué)控制.本文討論用動力學(xué)控制的方法研究Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.雖然對于Birkhoff系統(tǒng)來說，其“作用力”并不明顯，但是Birkhoff函數(shù)一般來說是具有能量意義的.因此，對Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)，均可借助Birkhoff函數(shù)中包含控制參數(shù)的方法來控制系統(tǒng)的運動.進(jìn)一步地，Birkhoff系統(tǒng)亦可借助其附加項中所包含控制參數(shù)來控制系統(tǒng)的運動.這種用動力學(xué)函數(shù)來控制系統(tǒng)的運動，也可稱為動力學(xué)控制.

針對以上構(gòu)想，我們提出如下兩個問題：(1)對于Birkhoff系統(tǒng)而言，Birkhoff函數(shù)B可依賴控制參數(shù)，若已知Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n)，如何選取合適的控制參數(shù)使得零解穩(wěn)定?(2)對廣義Birkhoff系統(tǒng)，Birkhoff函數(shù)B或附加項Λν(ν=1,2,···,2n)可依賴控制參數(shù)，若已知Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n)，如何選取合適的控制參數(shù)使得零解穩(wěn)定？

1 系統(tǒng)的運動微分方程

Birkhoff方程為[1-3]

其中

當(dāng)det (?μν)≠0，可由方程(1)解出所有，有

其中

設(shè)方程(3)有零解

則平衡方程為

廣義Birkhoff方程有形式[4-5]

其中

為附加項.設(shè)方程(7)有解

則平衡方程為

2 Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制

定理1假設(shè)給定Birkhoff函數(shù)B與Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n)，其中B可含控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···r)，則通過選取適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)可使系統(tǒng)的平衡是穩(wěn)定的.

證明首先，選取B使之正定.其次，按方程求使之為負(fù).由方程(3)，求，有

特別地，如果

則有

如果適當(dāng)控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···r)的選取使得<0，則平衡是穩(wěn)定的.

3 廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制

定理2對廣義Birkhoff系統(tǒng)平衡穩(wěn)定的控制，可提出兩類問題：

(1)對給定的Birkhoff函數(shù)B，Birkhoff函數(shù)組Rμ(μ=1,2,···,2n)和附加項Λν(ν=1,2,···,2n)，如果B含控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···,r)，則可選適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使平衡是穩(wěn)定的.

(2)對給定的Birkhoff函數(shù)，Birkhoff函數(shù)組和附加項，如Λν含控制參數(shù)，則可選適當(dāng)?shù)目刂茀?shù)使平衡是穩(wěn)定的.

證明首先選B為正定的.其次，求其導(dǎo)數(shù).如果B含控制參數(shù)，則有

如果僅Λν(ν=1,2,···,2n)含有控制參數(shù)，則

由Lyapunov 定理可知，若適當(dāng)控制參數(shù)uρ(ρ=1,2,···,r)的選取滿足<0 時，系統(tǒng)在平衡位置是穩(wěn)定的.

4 算例

例1已知四階Birkhoff系統(tǒng)為

其中u=u(t)為控制參數(shù).選取適當(dāng)?shù)膗使得系統(tǒng)在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩(wěn)定的.

由式(16)可計算出

根據(jù)上述所論的方法，欲使B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內(nèi)正定，應(yīng)有

根據(jù)式(13)可直接得到

例2已知廣義Birkhoff系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)組，Birkhoff函數(shù)以及附加項如下

試求u=u(t)使系統(tǒng)的零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)是穩(wěn)定的.

由式(15)直接得到

很顯然，若取u>0，則B在aμ=0 (μ=1,2,3,4)鄰域內(nèi)是正定的.若取

這時系統(tǒng)的平衡是穩(wěn)定的.

例3廣義Birkhoff系統(tǒng)為

試求ui=ui(t)使系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.

同樣的由式(15)，我們有

因此，當(dāng)控制參數(shù)選取為

例4已知四階Birkhoff系統(tǒng)為

其中u=u(t)為控制參數(shù).選取適當(dāng)?shù)膗使得系統(tǒng)在零解aμ=0 (μ=1,2,3,4)附近是穩(wěn)定的.

首先，由Lyapunov 穩(wěn)定性可知，若選定B使其正定，則

因此，有u<0,a1lnt>0 或u>0,a1lnt<0.

其次，由式(11)可知

當(dāng)控制參數(shù)滿足條件

5 結(jié)論

有關(guān)Birkhoff系統(tǒng)和廣義Birkhoff系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已有一些結(jié)果，如文獻(xiàn)[6，8-14].大多結(jié)果是在給定的Birkhoff函數(shù)和Birkhoff函數(shù)組下進(jìn)行研究的.本文在此基礎(chǔ)上考慮了包含參數(shù)時的情形，研究了當(dāng)系統(tǒng)的Birkhoff函數(shù)或附加項出現(xiàn)控制參數(shù)時，通過選取控制參數(shù)使得Birkhoff函數(shù)B成為定號函數(shù)，而其時間導(dǎo)數(shù)為與B反號的常號函數(shù)，來實現(xiàn)控制系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性.通過例題討論并得到了Birkhoff函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)符號變化的幾種可能情形.由于完整力學(xué)系統(tǒng)和非完整力學(xué)系統(tǒng)均可納入Birkhoff力學(xué)系統(tǒng)，因此Birkhoff力學(xué)具有一定的普遍性.故本文的思想和方法可以進(jìn)一步用來研究Hamilton 力學(xué)系統(tǒng)，非完整力學(xué)系統(tǒng)以及變質(zhì)量力學(xué)系統(tǒng)等的平衡穩(wěn)定性.