多維超幾何分布協(xié)方差陣的簡(jiǎn)單求法①

呂宏嘯

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林四平136000)

0 引言

在抽樣調(diào)查中，經(jīng)常遇到定性資料問(wèn)題，設(shè)總體含有N個(gè)個(gè)體，考慮某一屬性標(biāo)志，共有A1，A2，…，Ak共K類屬性，其中具有屬性Ai的個(gè)體數(shù)為Mi，從總體中不放回地抽取容量為n的樣本，若設(shè)具有各種屬性的個(gè)體數(shù)分別為 X1，X2，…，Xk，則稱(X1，X2，…，Xk)服從多維超幾何分布，即

其中

此時(shí)需要求出(X1，X2，…，Xk)的協(xié)方差陣，但以往的求法需要用到混合階乘矩和有限差算子等不常用的概念和方法.本文利用初等的方法，非常簡(jiǎn)便地求出了多維超幾何分布的協(xié)方差陣.

1 協(xié)方差陣的簡(jiǎn)單求法

引理1［1］若(X1，X2，…，Xk)是多維超幾何分布，(Xi1，Xi2，…，Xik)是其中任意t(1≤t≤k)個(gè)分量，則(Xi1，Xi2，…，Xit)服從超幾何分布.

引理2［2］Xi服從超幾何分布，那么

引理3 設(shè)隨機(jī)向量(Xi，Xj)服從二維超幾何分布，即

則

證明 不失一般性，取i=1，j=2，cov(X1，X2)EX1X2j－EX1EX2

其中

展開式中 Xn－2的系數(shù)，故從而

根據(jù)引理2，所以

根據(jù)上述結(jié)論的引理2的證法，類似地可得到

定理1 多維超幾何分布的協(xié)方差陣為

［1］方開泰，許建倫.統(tǒng)計(jì)分布［M］.北京，科學(xué)出版社.1987:339－344.

［2］茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)［M］.北京:高等教育出版社，2011:101－102.