孟亞偉

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

0 引言

近年來，由于多智能體系統(tǒng)具有靈活性、魯棒性和可擴(kuò)展性，多智能體系統(tǒng)引起了專家學(xué)者廣泛的關(guān)注，并已應(yīng)用于多智能體編隊(duì)控制［1］、傳感器網(wǎng)絡(luò)［2］等領(lǐng)域.“一致性”表示多個(gè)智能體狀態(tài)達(dá)成一致，而這個(gè)達(dá)成一致依賴于所有智能體的狀態(tài).一致性是多智能體系統(tǒng)研究的一個(gè)重要研究部分.

多智能體系統(tǒng)離散時(shí)間一致性的研究目前結(jié)果不多.Vicsek等［3］提出了一種離散時(shí)間分布式模型，證明了該模型在群體密度足夠大且噪聲較小的情況下可以使多智能體達(dá)到一致.文獻(xiàn)［4］中研究了一階離散狀態(tài)多智能體系統(tǒng)的一致性問題，得出了每個(gè)單智能體的狀態(tài)趨于一致需要滿足的必要或充分條件.Olfati等［5］提出并解決了一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，并且研究了具有時(shí)滯的條件下一致性.文獻(xiàn)［6］研究了一階離散多智能體系統(tǒng)的一致性，給出了系統(tǒng)達(dá)到一致的矩陣不等式.文獻(xiàn)［7］研究了在固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中一類多智能體系統(tǒng)的一致;文獻(xiàn)［8］研究了在文獻(xiàn)［7］中的控制下的系統(tǒng)在離散時(shí)間的一致性.

現(xiàn)實(shí)中大多工作關(guān)注多智能體系統(tǒng)無領(lǐng)導(dǎo)者或沒有考慮時(shí)滯因素，在文獻(xiàn)［8］中的控制協(xié)議基礎(chǔ)上添加了時(shí)滯，本文針對具有領(lǐng)導(dǎo)者的二階多智能體系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)在離散時(shí)間一致性協(xié)議控制下的一致性.利用離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的一致性，得到矩陣不等式，使得研究的系統(tǒng)達(dá)到一致性.

1 模型描述及預(yù)備知識(shí)

考慮n+1個(gè)智能體，其中智能體r被稱之為領(lǐng)導(dǎo)者，其余的智能體作為跟隨者跟隨領(lǐng)導(dǎo)者運(yùn)動(dòng)即每個(gè)跟隨者的行為都受領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)影響，智能體可以描述為1，2，…，n.領(lǐng)導(dǎo)者是獨(dú)立的，其它的智能體之間有一定的聯(lián)系，位置和速度的變換相互影響.假設(shè)每個(gè)智能體都是有向圖G的一個(gè)節(jié)點(diǎn).因此可以用圖G來描述智能體之間的信息交互關(guān)系.有向圖G=(V，E，A)由一個(gè)有限結(jié)點(diǎn)集合 V={1，2，…，n}，一個(gè)有向邊的集合和E?V×V權(quán)重矩陣A所構(gòu)成.eij=(i，j)∈E叫做邊，i稱為邊的起點(diǎn)，j稱為邊的終點(diǎn)，邊的方向從i指向j，連接權(quán)值矩陣為 A= ［aij］，對于 ?i∈ I，aii=0，當(dāng) i≠ j，aij= eij＞ 0.D = diag{deg(1)，deg(2)，…，deg(n)}，D稱為G的度矩陣.

對于二階離散時(shí)間的多智能體一致性系統(tǒng)可表示為

其中k=1，2，…，n，xi(k)表示第i個(gè)智能體在時(shí)刻k的位置;vi(t)表示是第i個(gè)智能體在時(shí)刻k的速度;ui表示系統(tǒng)的控制輸入.

對于領(lǐng)導(dǎo)者的動(dòng)力系統(tǒng)為

智能體之間的系統(tǒng)控制可以描述為

式中:α ＞ 0，β ＞ 0，0≤ τ(t)≤ τ，τ是一個(gè)非負(fù)的常數(shù).τ(t)是時(shí)變時(shí)延，智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間的連接元素ci(i∈I)，ci=air(i∈I).如果智能體與領(lǐng)導(dǎo)者沒有獲得相關(guān)信息，那么，ci=0若智能體與領(lǐng)導(dǎo)者之間有信息的傳遞則ci＞0.

定義 假定帶有領(lǐng)導(dǎo)者的多智能體系統(tǒng)，對于智能體的狀態(tài) xi，vi，當(dāng)，則多智能體系統(tǒng)達(dá)到一致.

2 主要結(jié)果

對于在控制(2)下的多智能體系統(tǒng)(1)可以重寫為

在固定拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中，系統(tǒng)(1)在控制(3)的情況下，

定理1 多智能體系統(tǒng)(1)達(dá)到一致的充分條件是對于矩陣

式中，

證明構(gòu)造Lyapuouov函數(shù)

其中V1(t)=eT(t)Pe(t)

定義差分方程

其中 e［k］=y［k］－ y［k － 1］

則有

上式可以變換為

將式(9)和(10)加入式(8)中得到

當(dāng)系統(tǒng)(1)滿足矩陣不等式(6)，(7)時(shí)，V是正定的，ΔV是負(fù)定的，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，多智能體系統(tǒng)(1)達(dá)到一致.

3 結(jié)論

本文主要運(yùn)用矩陣不等式得到具有時(shí)滯和領(lǐng)導(dǎo)者的二階離散多智能體系統(tǒng)(1)最終達(dá)到一致的充分條件，得到的結(jié)果有待于進(jìn)一步簡化，系統(tǒng)考慮的時(shí)滯是相同的，對于當(dāng)系統(tǒng)中每個(gè)智能體所考慮不同時(shí)滯的研究還需要進(jìn)一步研究.

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