常 虹 丁佳佳 吳樂南

(東南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096)

由于信息傳輸系統(tǒng)不斷寬帶化，導(dǎo)致了無線電頻譜的日益緊缺，由此更高效的調(diào)制技術(shù)受到了通信界關(guān)注.EBPSK是一類不對稱的二元相移鍵控調(diào)制技術(shù)，通過小角度、小時段調(diào)相以集中信號頻譜［1-2］;而解調(diào)則可采用特殊的濾波器將調(diào)相轉(zhuǎn)變?yōu)檎{(diào)幅作為最后判決的依據(jù)，稱之為沖擊濾波器(impacting filter)［3-4］.目前對于 EBPSK 系統(tǒng)解調(diào)性能的研究多限于仿真，理論分析雖有些進展，但并未給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，且未得到更嚴(yán)格的誤比特率(BER)公式.文獻［5］給出了一般意義下的EBPSK系統(tǒng)抽樣判決的誤比特率公式(即未確定沖擊濾波器的系數(shù)以及零極點的個數(shù))，但沒有對誤比特率公式進行數(shù)學(xué)上的證明和推導(dǎo)，對于1調(diào)制信號給出的誤比特率函數(shù)不夠嚴(yán)格，所推導(dǎo)得到的誤比特率公式與仿真結(jié)果存在較大的差異.文獻［6］在文獻［5］所得的誤比特率公式基礎(chǔ)之上，通過改變?yōu)V波器零極點的個數(shù)和沖擊濾波器的系數(shù)來比較抽樣判決誤比特率公式的差異性，由一般性轉(zhuǎn)向特殊性分析.文獻［7］給出了調(diào)制信號通過確定了具體系數(shù)后的沖擊濾波器的時域全響應(yīng)公式，并與仿真結(jié)果進行了擬合.

本文結(jié)合文獻［7］的理論結(jié)果分析了暫態(tài)響應(yīng)對于判決的重要影響，從而利用暫態(tài)響應(yīng)對誤比特率公式進行修正.其次對濾波信號分別收集抽樣判決和積分判決后的樣本集合，運用Matlab工具得到了此時信號0和1的概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)曲線.通過對整個EBPSK調(diào)制解調(diào)機理的分析，推導(dǎo)出了解調(diào)信號0和1的PDF理論表達式，并與仿真曲線進行了回歸擬合，估計由此得到連續(xù)情況下系統(tǒng)抽樣判決和積分判決的誤比特率公式，并與仿真情況下的誤比特率進行了性能對比.

1 EBPSK調(diào)制方式與解調(diào)濾波器

1.1 EBPSK 調(diào)制

設(shè)g0(t)和g1(t)分別表示發(fā)送信息為0和1時的調(diào)制波形，則EBPSK調(diào)制定義如下:

式中，fc為載波頻率;A，B為載波幅度;T為碼元周期;τ為1碼元的調(diào)制時間長度;θ為信號1的調(diào)制相位.設(shè)T內(nèi)有N個載波周期，其中K＜N個被調(diào)制，則

當(dāng)θ=π時，τ=T，即為經(jīng)典的BPSK調(diào)制;B=A且τ=T/4，即為脈位反相鍵控(pulse position phase reversal keying，3PRK)調(diào)制［8］;B=0，得到缺周期調(diào)制(missing cycle modulation，MCM)［8－9］.

可見經(jīng)典的BPSK調(diào)制和美國最重要的超窄帶調(diào)制均為式(1)的特例，故本文對于EBPSK解調(diào)性能的研究具有重要的理論和應(yīng)用背景.

1.2 EBPSK解調(diào)濾波器

為了提高解調(diào)性能，針對式(1)K＜N的特點設(shè)計了沖擊濾波器［3］，可在EBPSK調(diào)制信號的相位跳變處產(chǎn)生明顯的沖擊波形，把相位變化轉(zhuǎn)變?yōu)榉茸兓?，以突出解調(diào)信號的差異性，得到比基于鎖相環(huán)的EBPSK 解調(diào)器［8，10］更明顯的鑒相特性.本文采用了幅頻響應(yīng)(見圖1)具有單對共軛零點、2對共軛極點的濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為

式中，z1，z2為一對共軛零點;p1，p2，p3，p4分別為 2對共軛極點;M為系統(tǒng)函數(shù)歸一化常數(shù).

圖1 沖擊濾波器幅頻響應(yīng)

文獻［7］推導(dǎo)得到EBPSK調(diào)制信號的沖擊濾波響應(yīng)在未加噪聲的情況下，發(fā)送比特0的EBPSK調(diào)制信號g0(t)通過沖擊濾波器響應(yīng)為

而發(fā)送比特1的EBPSK調(diào)制信號g1(t)通過沖擊濾波器的響應(yīng)為

式中，y1，zi(t)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，其表達式為

y1，zs(t)為暫態(tài)響應(yīng)，其表達式為

式中，m為極點個數(shù);n為零點個數(shù).圖2為EBPSK信號通過沖擊濾波器后其理論表達式和仿真結(jié)果的比較，由圖可見，濾波器對g0(t)，g1(t)響應(yīng)的理論表達式與仿真結(jié)果趨于一致.

圖2 信號通過沖擊濾波器后理論和仿真結(jié)果比較

2 EBPSK檢測模型

2.1 抽樣判決

設(shè)含噪接收信號經(jīng)沖擊濾波器后輸出的解調(diào)信號為

式中，n(t)為加性高斯白噪聲(AWGN)通過沖擊濾波器后的時域響應(yīng).若高斯白噪聲的方差為σ20，則n(t)的方差為

將式(3)的沖擊濾波器轉(zhuǎn)移函數(shù)經(jīng)拉普拉斯反變換為其沖激響應(yīng)，即

式中，m=4，n=2.現(xiàn)求其自相關(guān)函數(shù)表達式，為簡化先假設(shè)其指數(shù)對應(yīng)的系數(shù)分別為K1，K2，K3，K4，因為其形式比較復(fù)雜，但只要確定了沖擊濾波器，這些系數(shù)就相當(dāng)于復(fù)常數(shù).于是式(11)的沖激響應(yīng)簡化為

式中

則自相關(guān)函數(shù)為

于是得到

從而對于待解調(diào)信號0，式(8)成為

由于沖擊濾波器帶寬很窄，可以將n(t)建模為窄帶高斯白噪聲［11］，因而r0(t)的包絡(luò)服從廣義瑞利分布(即廣義瑞利分布)［5］，其 PDF為

將式(19)與由抽樣信號集合經(jīng)Matlab仿真所得PDF比較見圖3(a).而對于待解調(diào)信號1，由于其時域沖擊響應(yīng)為一分段函數(shù)，因此將其分段討論.

1)在0≤t≤τ范圍內(nèi)

2)在τ＜t≤T范圍內(nèi)

同時將窄帶高斯白噪聲改寫為

找到使得信號1沖擊最高的時刻，記為ttop.由于r10(t)描述的是正弦振蕩的建立與消失過程，故其幅度在0≤t≤τ內(nèi)能夠取得最大值，其包絡(luò)服從改進的廣義瑞利分布

由樣本集估計所得PDF的仿真值進行回歸擬合分析，修正為

由圖3(b)可見，修正后的PDF與Matlab仿真值相差甚微.

圖3 沖擊濾波后含噪EBPSK信號概率密度函數(shù)值

2.2 積分判決

針對EBPSK信號沖擊濾波輸出的波形特點，對沖擊最高的區(qū)間內(nèi)一小段信號波形進行積分，可避免沖擊最大值不一定在同一時刻達到的缺點.

對由接收信號r0(t)進行小區(qū)間內(nèi)積分

式中，tmin，tmax分別為取積分的左邊界和右邊界.對其進行簡化估計得則其PDF服從改進后的廣義瑞利分布

圖4給出了該PDF的理論分析值與Matlab仿真值的比較.

對接收信號r1(t)進行小區(qū)間積分

將檢測量簡化為

可見其檢測量服從改進的廣義瑞利分布

根據(jù)沖擊濾波器的輸出波形特征，選取tmax=ttop+T/100，同理tmin=ttop－T/100.其PDF的理論曲線與仿真曲線如圖4所示.

若發(fā)送比特0和1等概率，則判決門限的值b由 f′1(b)=f′0(b) 求得.

圖4 積分判決下信號0與1的理論和仿真PDF比較

3 誤比特率性能分析

3.1 采用抽樣判決

假設(shè)發(fā)送信號0和1等概率，發(fā)送0時錯判為1的概率為

發(fā)送1時錯判為0的概率為

則系統(tǒng)總的誤比特率公式為

Marcum Q函數(shù)定義為

3.2 采用積分判決

假設(shè)發(fā)送信號0和1等概率，發(fā)送0時錯判為1的概率為

發(fā)送1時錯判為0的概率為

則系統(tǒng)的總誤比特率為

式中，b′為積分判決的判決門限.

由式(36)和(40)得到的BER理論值與仿真值對比如圖5所示，顯見積分判決的抗噪聲性能比抽樣判決提升了1 dB，而且隨著信噪比的增大，積分判決的誤比特率下降更快，表明了積分判決更適合EBPSK解調(diào)，具有重要的理論指導(dǎo)意義.

圖5 積分判決、抽樣判決理論與仿真誤碼率比較

4 結(jié)語

從概率統(tǒng)計與回歸擬合的角度對沖擊濾波器輸出估計出經(jīng)過經(jīng)典抽樣判決檢測和積分判決檢測的PDF，論證了AWGN信道EBPSK的最佳解調(diào)性能.在BER角度上，沖擊濾波解調(diào)和積分判決成為EBPSK調(diào)制信號的最佳接收結(jié)構(gòu)，且對此只有沖擊濾波器的暫態(tài)響應(yīng)部分能夠提高解調(diào)性能.

沖擊濾波器是決定EBPSK解調(diào)性能的關(guān)鍵因素，將不同的濾波器系數(shù)按照本文方法得到抽樣判決與積分判決的BER表達式后，即可評估該濾波器用于EBPSK解調(diào)時的性能上界.

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