☉江蘇省姜堰市第四中學(xué) 顏小兵

所謂模型化思想，就是把所考查的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)模型的研究，使實(shí)際問(wèn)題得以解決的數(shù)學(xué)思想方法.下面僅以模型化思想在銳角三角函數(shù)中的應(yīng)用為例，加以說(shuō)明.

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了解銳角三角函數(shù)的應(yīng)用后，接觸到了幾類應(yīng)用問(wèn)題，諸如，測(cè)量問(wèn)題（測(cè)高度距離等）航海問(wèn)題等.這些問(wèn)題的背景千變?nèi)f化，如能將這些實(shí)際問(wèn)題通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，尋求其本質(zhì)上的同一性.既可以揭示這些應(yīng)用問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，又能使自己從題海中解脫出來(lái)，實(shí)現(xiàn)以不變應(yīng)萬(wàn)變.

在銳角三角函數(shù)的應(yīng)用中測(cè)量問(wèn)題題型種類較多，如測(cè)量校園內(nèi)某一旗桿的高度，測(cè)量某一建筑物或山坡的高度.在海上測(cè)量某燈塔目標(biāo)或船與測(cè)量人的距離等，其實(shí)，這些問(wèn)題歸納起來(lái)無(wú)外乎下列兩類.

第一類：異側(cè)測(cè)量——觀測(cè)點(diǎn)在被測(cè)物體的異側(cè)

例1 某旅游景點(diǎn)有一古塔CD甲、乙兩人分別站在塔的西、東兩側(cè)的A、B處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和45°（如圖）已知A、B間距離為60m，求塔的高度.（結(jié)果保留根號(hào)）

分析：本題已知AB=60m，若設(shè)塔高CD=xm，則可設(shè)法利用三角函數(shù)將AD、BD，表示出來(lái)，代入AD+BD=AB即可.

點(diǎn)評(píng)：本例中利用已知兩角分別為30°和45°的△ABC和AB邊上的高CD，組成的圖形作為數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了從實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

例2 某船在海面上正以20海里每小時(shí)的速度向正東方向航行，在A處，測(cè)得燈塔C在北偏東60°方向，行駛3小時(shí)后到B處，測(cè)得燈塔C在船的西北方向，已知燈塔C的周圍20海里范圍內(nèi)有暗礁，問(wèn)船在航行過(guò)程中有無(wú)觸礁危險(xiǎn).

分析：本題與例1看似兩個(gè)不同類的問(wèn)題，先構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（如圖2）.

由已知∠CAN=60°，所以∠CAB=30°.

∠CBA=45°，只要求出C到AB的距離CD即可.

不難發(fā)現(xiàn)本題與例1只是背景不同，數(shù)學(xué)模型完全一致，故解題目方法基本相同.

第二類：同側(cè)測(cè)量——觀測(cè)點(diǎn)在被測(cè)物體的同側(cè)

例3 小紅家住在某高層建筑內(nèi)，從窗后A處看到前面與該樓同一直線上停著兩輛汽車B、C，測(cè)得俯角分別為60°和45°，兩輛汽車之間的距離測(cè)得為15m，求小紅家窗戶A到地面的距離.（窗本身的高度忽略不計(jì)）（結(jié)果保留根號(hào)）

分析：方法與例1類似、先構(gòu)建數(shù)學(xué)教學(xué)模型（如圖3）.

設(shè)窗高AD為xm，只需將BC用x表示出來(lái)即可.

解：設(shè)AD=xm，依題意得：

答：（略）

變式一：如圖4在地面上相距15米的BC兩點(diǎn)，測(cè)量某一建筑物，測(cè)得仰角分別為45°和60°，求建筑物的高度.

變式二：如圖5某船以36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后可達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里有暗礁（1）試說(shuō)明點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)內(nèi)？（2）若繼續(xù)向東航行有無(wú)觸礁危險(xiǎn).

答案：（1）BC=AB=18＞16.

所以點(diǎn)B在暗礁區(qū)外.

（2）有觸礁危險(xiǎn)

通過(guò)上面幾例分析我們發(fā)現(xiàn)，變式一和變式二的數(shù)學(xué)模型與例3基本一致，有些背景不同的問(wèn)題，其實(shí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是基本一致的.

通過(guò)這里所講的銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題目，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，只要善于歸納和總結(jié)，你一定會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的這樣的實(shí)例.當(dāng)我們運(yùn)用模型化思想建立了合理的數(shù)學(xué)模型之后，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它們?cè)瓉?lái)有著許多相同或相似之處.