思索地說：“銳角三角形！”李老師問道：“它一定是銳角三角形嗎？”好多同學沉默了，但也有幾個同學大聲說：“剛才都是，現(xiàn)在也一定是！”李老師不慌不忙地抽出這個三角形。咦，怎么是鈍角三角形？接著，李老師又從信封里露出一個銳角，這是什么三角形呢？剛才大聲喊的同學都不吱聲了。李老師再次抽出三角形，咦，這次怎么是直角三角形？李老師不說話，教室里鴉雀無聲。終于，有人舉起了手。徐艷站起來說：“我認為只露出一個銳角的三角形不一定是銳角三角形，因為我們看到的這個角雖然是銳角，

夏宇在求解銳角三角函數(shù)問題時，有的同學由于對銳角三角函數(shù)的概念理解不清，或運用銳角三角函數(shù)定義時忽略了直角三角形這個前提條件，或在解題時考慮問題不全面，忽視了要進行分類討論，從而走入了解題的誤區(qū).為了避免同學們也犯相同的錯誤，現(xiàn)對解三角函數(shù)問題中的常見錯誤進行歸納并分析.一、對銳角三角函數(shù)概念理解不清銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，以比值為因變量的函數(shù).它的概念是在直角三角形中相對其銳角而定義的，其本質(zhì)是兩條線段長度的比.因此銳角三角函數(shù)只是一個比值（數(shù)值

楊春霞“銳角三角函數(shù)”屬于“圖形與幾何”知識領(lǐng)域，是初中數(shù)學學習的重要內(nèi)容。很多地方在考查時不僅要求我們會利用相似的直角三角形，認識并探索銳角三角函數(shù)，知道30°、45°、60°角的三角函數(shù)值，還要求能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題。下面將結(jié)合2021年各地中考試題中的三角函數(shù)典型題進行分析，著力探尋試題特點，挖掘解題通法，并做分析解讀，希望能給大家一些學習啟示。一、考查銳角三角函數(shù)的定義例1 （2021·四川廣元）如圖1，

黃秀旺“銳角三角函數(shù)”是蘇科版初中數(shù)學教材九年級第七章的內(nèi)容。在此之前，我們已經(jīng)學習了一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及二次函數(shù)，但很多同學感到銳角三角函數(shù)與以上函數(shù)不同，或者說并沒有體會到銳角三角函數(shù)應(yīng)有的函數(shù)之義，而是把銳角的正弦、余弦、正切當成數(shù)學公式了。接下來，我們將再次認識銳角三角函數(shù)。一、函數(shù)與銳角三角函數(shù)在初中數(shù)學教材中的設(shè)置函數(shù)是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學模型，不同的變化規(guī)律用不同的函數(shù)來刻畫?！昂瘮?shù)”是2011年版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》中“數(shù)與代

三角形一定是銳角三角形。錯在哪兒，我來說……顧玲雅：根據(jù)銳角三角形的定義，三個角都是銳角的三角形是銳角三角形。題中的三角形只露出了一個銳角，其他兩個角并沒有露出，就這樣斷定這是一個銳角三角形是不對的。茅佳寶：我們可以試著把這個三角形畫出來，看看能不能畫出一些不同的三角形?？磮D1，我就畫出了一個銳角三角形。而圖2，我又畫出了一個直角三角形……許程媛：對啊，我還能畫出一個鈍角三角形?？次耶嫷膱D3。黃子陽：根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”來推算，可以判斷各種情況都

課標，對初中銳角三角函數(shù)的教學要求是掌握銳角范圍內(nèi)三角函數(shù)的正弦、余弦及正切三類函數(shù)的定義及基本性質(zhì)，并能夠熟練使用特殊角的三角函數(shù)值，能夠結(jié)合基礎(chǔ)知識解決一系列簡單的銳角三角函數(shù)實際問題.在實際教學過程中，初中數(shù)學教師普遍反映學生對銳角三角函數(shù)的理解存在很多問題，對其具體定義及性質(zhì)的理解不夠深入.本文結(jié)合實際教學過程中常見易錯題型開展解析研判，深化學生對銳角三角函數(shù)的認知.一、對銳角三角函數(shù)概念理解不透徹中學函數(shù)的定義是：在變化過程中有兩個變量x和y，如

三角形是不是銳角三角形？”感到非常的困惑，于是相約去請教數(shù)學“小博士”圓圓?！坝幸粋€角是銳角的三角形是不是銳角三角形？”皮皮迫不及待地拋出了困在心里的數(shù)學問題。圓圓不緊不慢地說：“你們先仔細想一想。”“有一個角是直角的三角形是直角三角形，有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形，有一個角是銳角的三角形當然是銳角三角形?！迸峙肿匝宰哉Z道?！笆菃幔俊眻A圓不肯定，也不否定，邊問邊畫出了如下三個三角形?！澳銈兛匆豢?，這三個三角形哪個是銳角三角形？哪個是直角三角形？哪個是

分類可以分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形。那么，下面的三角形都被一張紙遮住了一部分，你能確定它們各是什么三角形嗎？【伙伴出手】晶晶說：“第一個我知道，露出來的是一個鈍角，那么它是一個鈍角三角形?！睔g歡說：“第二個我也會判斷，露出來的是一個直角，那么它是一個直角三角形。”迎迎說：“第三個三角形中露出來的是一個銳角，那么它就是一個銳角三角形。”妮妮連忙糾正道：“不對，不對。圖中僅看到一個銳角是沒辦法確定它是一個銳角三角形的。銳角三角形應(yīng)該是三角形內(nèi)的三個

楊紅萍銳角三角函數(shù)是搭建實際生活與數(shù)學知識之間的重要橋梁，它將生活問題中的邊與角用數(shù)學中的邊角數(shù)量關(guān)系形式體現(xiàn)，充分地體現(xiàn)了數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合的思想方法。銳角三角函數(shù)也是中考中的一個熱門考點，因為它應(yīng)用廣泛，解法靈活，所以，在解決有關(guān)三角函數(shù)實際問題的過程中，我們要根據(jù)已知條件，結(jié)合已有圖形或畫出圖形，選擇恰當?shù)姆椒ā１疚木陀嘘P(guān)銳角三角函數(shù)考題中的幾個板塊來進行歸納，并對方法進行適當?shù)狞c撥，供同學們學習時參考。

文 /武乾俊銳角三角函數(shù)是各地中考的必考內(nèi)容，現(xiàn)把銳角三角函數(shù)中的易錯題列舉出來，供你學習時參考．一、銳角三角函數(shù)的概念不清例1 如圖1，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長度之比為（ ）.錯因診斷：對邊與斜邊的比值是這個角的正弦．圖1二、在直角三角形中，誤認為∠C一定是直角例 2在Rt△ABC中，∠A=90°，，AC=6，則AB=（ ）.A.4 B.6 C.8 D.10錯因診斷：因為∠A=90°，所以BC

學生已學習過銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長的比來刻畫的.本節(jié)引入單位圓，用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù).具體做法是：在學生對銳角三角函數(shù)已有的幾何直觀認識的基礎(chǔ)上，先建立直角三角形的銳角與第一象限角的聯(lián)系，在直角坐標系中考查銳角三角函數(shù)，得出用角終邊上點的坐標（比值）表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論，然后再“特殊化”引出用單位圓上點的坐標表示銳角三角函數(shù)的結(jié)論.在此基礎(chǔ)上，再定義任意角的三角函數(shù).要達到以下目標：給定角或角終邊上點的坐標，能計算出角的三角

第16題：在銳角三角形ABC中，sinA=4cosBcosC，則tanAtanB+tanBtanC+tanCtanA的最小值為 .解答錯了,錯在哪兒?當tanA=1時,又tanB+tanC=4,代入tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,得5=tanBtanC,把tanB=4-tanC代入得tan2C-4tanC+5=0,(tanC-2)2+1=0,tanC無解,所以取不到最小值9.解答錯了,錯在哪兒?當tanBtanC=5時,又tanB+

文衛(wèi)正確理解銳角三角函數(shù)的定義是學好銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)，如果對銳角三角函數(shù)中的邊、角、形概念及相互關(guān)系理解不準確，就會出現(xiàn)諸多錯誤，如特殊角的三角函數(shù)值混淆，或在非直角三角形中想當然直接求解，或?qū)忣}思路不清，或思考不周全、分類不全面等.現(xiàn)對一些常見的因概念理解不清產(chǎn)生的錯誤解答加以剖析.一、忽略直角三角形存在性【啟示】像這樣已知兩邊和其中一邊對角的三角形，其形狀不唯一，在實際應(yīng)用時，往往忽略高在三角形外，即第二種情況.恰當應(yīng)用分類討論思想是解決此題的關(guān)鍵.

劉春陽銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學的重要內(nèi)容，也是中考重點考查內(nèi)容之一，其涉及的知識點和數(shù)學思想方法較多.下面就三角函數(shù)的難點和解決問題的辦法進行解讀，希望對同學們有所幫助.【難點】銳角三角函數(shù)正弦的概念.【解析】在Rt△ABC中，根據(jù)正弦的概念可知sin∠BCA等于∠BCA的對邊與斜邊的比，即sin∠BCA=[ABBC]，所以sin29°=[AB3.5]，AB=3.5sin29°（米）.【答案】選A.難點二 特殊角的三角函數(shù)值【難點】解直角三角形的應(yīng)用.【解析

魏祥勤銳角三角函數(shù)一章主要考點分銳角三角函數(shù)的計算、銳角三角函數(shù)與幾何圖形的綜合以及銳角三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用等，常常聯(lián)系直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、四邊形、圓以及三角形的相似等.近幾年出現(xiàn)一些與銳角三角函數(shù)有關(guān)的閱讀材料問題，所考查的知識點與高中階段學習的內(nèi)容有關(guān)，問題常常以閱讀材料的形式出現(xiàn)，題目中給定解決問題的思路與方法，下面結(jié)合中考試題分類解析，供同學們參考.endprint

教材中沒有將銳角三角函數(shù)分列到函數(shù)領(lǐng)域，但是銳角三角函數(shù)的名稱和數(shù)學本質(zhì)都明確地體現(xiàn)出函數(shù)的味道。通過問卷的方式，對九年級學生對銳角三角函數(shù)概念的理解情況進行調(diào)查，并分析部分學生不理解銳角三角函數(shù)中的自變量和因變量以及對應(yīng)關(guān)系，不能區(qū)分銳角三角函數(shù)與已學函數(shù)之間異同。[關(guān)鍵詞] 銳角三角函數(shù)；調(diào)查研究在日常教學中，初中數(shù)學教師普遍反映初中學生學習銳角三角函數(shù)比較困難，特別是對于三角函數(shù)概念的理解更顯得困難。同時初中數(shù)學教師也反映學生對銳角三角函數(shù)理解存在很

條線段能構(gòu)成銳角三角形.證法1不妨設(shè)0≤a≤b≤c，只要考慮最大邊的對角C為銳角即可.cosC=（a）2+（b）2-（c）22ab=a+b-c2ab.因為a，b，c是三角形的三邊長，所以a+b>c，所以cosC>0，所以角C為銳角，即構(gòu)成銳角三角形.所以長為a，b，c的三條線段能構(gòu)成銳角三角形.文[1]認為，以上解題不完整.因為三條線段構(gòu)成銳角三角形要滿足兩個條件：①三條邊滿足三角形邊長關(guān)系；②最長邊的對角是銳角.顯然解法1只驗證了第二個條件，而缺少第一個

8）成果.《銳角三角函數(shù)》是人教版《數(shù)學》九年級下冊中很重要的一章，學生在學習這一章內(nèi)容時常常出現(xiàn)各種各樣的錯誤.現(xiàn)在筆者將學生出現(xiàn)的各種錯誤歸類如下：一、對銳角三角函數(shù)概念理解不正確1. 把△ABC的三邊長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正切值（ ）.A. 不變 B. 縮小為原來的C. 擴大為原來的3倍 D. 不能確定錯解：C錯因分析：沒有正確理解銳角三角函數(shù)的概念而出錯.正解：A事實上，銳角三角函數(shù)值是直角三角形中邊與邊的比值.當直角三角形的各邊都擴大

若△ABC為銳角三角形，則A1=π-2A,B1=π-2B,C1=π-2C，其中A1、B1、C1為△ABC的垂足三角形△A1B1C1的內(nèi)角；(2)若△ABC為直角三角形，則△ABC無垂足三角形；(2)若△ABC中C為鈍角且其i階垂足三角形△AiBiCi中C1也為鈍角，其中i=1,2,…,n(n∈N*)，則Ci=(C-π)·2i+π,i=1,2,3,…,n(n∈N*).證明：(1)∵△ABC為銳角三角形且其i階垂足△AiBiCi也為銳角三角形，其中i=1,2,

角形的知識和銳角三角函數(shù)知識設(shè)計測量方案，通過測量和計算，解決一些不能直接測量的實際問題（如物體的高度等）.（2） 掌握勾股定理及其逆定理，會應(yīng)用勾股定理及其逆定理解決相關(guān)的數(shù)學問題.2. 銳角三角函數(shù)（1） 認識直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)（sinA、cosA、tanA）；掌握并靈活運用30°、45°、60°角的三角函數(shù)值；會使用計算器由已知銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求它對應(yīng)的銳角.（蘇州市中考要求不使用計算器）（2） 知道三個銳角三

吳克桃銳角三角函數(shù)的應(yīng)用問題是運用數(shù)學方法（解直角三角形）解決簡單實際問題的一類典型問題，學習這類問題有助于學生樹立“用數(shù)學”的意識，培養(yǎng)學生的空間觀念，提高學生分析問題、解決問題的能力，對于圖形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜的圖形中識別和構(gòu)造出基本圖形及基本圖形關(guān)系，從而建構(gòu)恰當?shù)臄?shù)學模型來解決問題，筆者教授蘇科版《數(shù)學》九年級下冊“銳角三角函數(shù)的簡單應(yīng)用”時，就嘗試啟發(fā)、引導(dǎo)學生，提煉出相關(guān)銳角三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本圖形，總結(jié)出解決這一類問題的通法，但在課后

三正數(shù)可構(gòu)成銳角三角形三邊長的幾個等價命題●鄭慧娟(廣州大學附屬中學 廣東廣州 510050)●吳康(華南師范大學數(shù)學科學學院 廣東廣州 510631)熟知對任意正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價條件為a+b>c，b+c>a，c+a>b.判定3個正數(shù)是否可作為三角形3條邊的等價命題很多，例如：正數(shù)a，b，c可構(gòu)成三角形的等價條件有：(2)2ab>|a2+b2+c2|；本文對任意正數(shù)a，b，c能構(gòu)成銳角三角形3條邊長的等價條件進行探索，并得到了以下幾個等價命題