☉湖北省孝感高級中學(xué) 張新平

活用通項比較法簡證數(shù)列不等式

☉湖北省孝感高級中學(xué) 張新平

在近年的各省市高考數(shù)學(xué)試卷中，有一類與數(shù)列有關(guān)的不等式證明的問題頻繁出現(xiàn)，由于這類題型綜合性較強(qiáng)，能力要求較高，知識涵蓋面較廣而倍受命題者們的青睞.這類問題的常用證法是數(shù)學(xué)歸納法，由于思維難度較大，證明過程較繁，放縮技巧較強(qiáng)等而不易被學(xué)生掌握.本文以課本題及高考題為例，擬就由數(shù)列的前n項之和或前n項之積構(gòu)成的“求和型”或“求積型”數(shù)列不等式的證明，給出一種較為簡捷、快速的方法——通項比較法.

一、“求和型”數(shù)列不等式的證法

這是人教版數(shù)學(xué)選修4—5中的習(xí)題，觀察結(jié)構(gòu)特點，適當(dāng)構(gòu)造新數(shù)列并求和，就有下面證法：

將k=1，2，3，…，n時的n個不等式相加，

評注：“通項比較法”證明“求和型”數(shù)列不等式的關(guān)鍵，是觀察結(jié)構(gòu)特點，適當(dāng)構(gòu)造數(shù)列.這種證法的實質(zhì)，是“裂項法求和”：將新數(shù)列的通項公式分裂成為兩項之差，在求和過程中，前項與后項之間，有許多同類項可以合并，從而求出新數(shù)列的和．

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）≥lnx在［1，+∞）上恒成立，求a的取值班范圍；

將k=1，2，…，n時的n個不等式相加，

二、“求積型”數(shù)列不等式的證法

評注：本題將幾何與代數(shù)有機(jī)地融為一體，既考查曲線與方程，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，曲線的切線，數(shù)學(xué)歸納法，三角函數(shù)及其單調(diào)性，數(shù)列不等式的證明等，又考查待定系數(shù)法、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法等，較好地考查了抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應(yīng)用創(chuàng)新意識.該題構(gòu)思新穎，設(shè)計精巧，是考基礎(chǔ)、出活題，以能力立意，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處命題的典范！

由上可見，“通項比較法”的基本思想，是將不等式兩邊各看成一個數(shù)列的前n項之和或前n項之積，通過比較兩個數(shù)列的通項表達(dá)式的大小，采用累加法或累乘法而使原數(shù)列不等式獲證，規(guī)律性較強(qiáng)，學(xué)生容易掌握，并且靈活運用通項比較法，可使證明過程簡捷、快速、高效.

1.楊仁寬.巧裂項求數(shù)列的和，妙放縮證明不等式——淺談一類高考數(shù)列不等式問題的求解策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008，4.

2.周偉志.數(shù)列不等式證明方法比較［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2008，4.

3.楊仁寬.構(gòu)建高效課堂，提高教學(xué)效率——淺談“目標(biāo)引領(lǐng)，活學(xué)巧用”高效課堂中的難點突破［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2011，12.