☉江西省贛縣中學(xué)北校區(qū) 李春滿

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合理解三角形四心的向量形式

☉江西省贛縣中學(xué)北校區(qū) 李春滿

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．

下面以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合向量相關(guān)知識，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，解決三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)．既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會了向量帶來的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感．

一、重心的向量形式應(yīng)用

A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心

解析：如圖1所示，△ABC中，D為邊BC的中點(diǎn).

圖1

所以點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心，即選C.

二、垂心的向量形式應(yīng)用

圖2

直于BC的直線上，所以動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的垂心，如圖2，即選D.

三、內(nèi)心的向量形式應(yīng)用

圖3

四、外心的向量形式應(yīng)用

圖4

編者注：在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系．向量不僅是平面解析幾何入門內(nèi)容，而且是解有關(guān)數(shù)形結(jié)合問題的重要工具．它一般通過概念的移植、轉(zhuǎn)化，將坐標(biāo)與向量結(jié)合起來，從而使一些難題在思路上獲得新的突破．