☉福建省武夷山市第二中學 彭繼飛

從課本一道例題教學的“ 聽 ”中得到的啟示

☉福建省武夷山市第二中學 彭繼飛

數(shù)學課本上有很多例題，在數(shù)學課堂教學中離不開課本上例題的教學.怎樣用好課本上的例題是數(shù)學教師關注的一個重要方面.筆者最近聽了一節(jié)常規(guī)課，在對課本一道例題的“聽”中得到了一些啟示.

一、課堂

此節(jié)課的內(nèi)容是人教A版《數(shù)學》必修2§4.2.1直線與圓的位置關系（P126-P128）.上課老師在講評例題2時是這樣進行的.

首先教師在黑板上寫出例題2的題目：

已知過點（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y－21=0所截得的弦長為4，求直線l的方程.

題目寫好后先讓學生進行獨立思考，然后由教師提問.可能學生課前預習過，對于課本上提供的解法學生很好地配合老師講完.教師并把課本上的解題過程板書在黑板上.

解：將圓方程化成標準形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標是（0，-2），半徑r=5.

圖1

因為直線l過點（-3，-3），所以可設所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

此時上課老師說道：同學們已經(jīng)很好地掌握了這道題的解法，但老師覺得課本上這道例題的解法有一處表達上不是很完整，大家發(fā)現(xiàn)了嗎？大家找找看.

全班學生聽后，有部分學生小聲議論：課本不會有這樣的情況吧.但大家還是認真地看課本上例題的解法.……

學生1：老師，沒發(fā)現(xiàn)呀，我覺得很完整的.

（很多學生表示認同）

學生2：老師，……（欲言又止）

老師：講一講，沒關系的.

學生2：要在“因為直線l過點（-3，-3）”與“所以可設所求直線l的方程為y+3=k（x+3）”之間加一句話“所以直線l的斜率存在”.

老師：你是怎么想到要加這句話的，說說你的理由.

學生2：老師經(jīng)常交待我們在設直線點斜式之前要考慮直線斜率是否存在嘛.

學生3：我不認為這樣.前面提到過圓心到所求直線l的距離為且圓心又在y軸上，這就隱含著本題中過點（-3，-3）的直線l不能垂直x軸，即斜率存在；倘若直線l垂直x軸，圓心到所求直線l的距離為3呀.

學生4：學生3說得對，你看課本P128頁的右上角還有一個小注解“適當利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算”，這里就是幾何性質(zhì)的應用嘛.

學生6：這不叫“賣關子”，課本當然是有啟發(fā)性的，你應該自己一句話一句話去讀、去想嘛.

學生5：那看數(shù)學課本不成了批注文言文嘛.

學生大笑，看著老師.

老師：從大家的回答中我覺得大家還是有自己的想法的，老師很高興.老師贊同學生2的看法，此題加一句話更好一些.而且我把解題過程換一種方式進行表達，這種表達方式條理更清楚.大家請看：（出示事先準備好的幻燈片課件）

解：將圓方程化成標準形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標是（0，-2），半徑r=5.

當直線l的斜率存在時，設所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

即x+2y+9=0，或2x－y+3=0.

學生7：如果當直線l的斜率不存在時求出的弦長符合題意呢.

學生8：這時直線l的方程就為x=－3呀.

老師：就一個答案嗎？

學生2：還有的，當直線l的斜率存在時，用剛才類似的方法可以算出k的另外的兩個值.

學生9：這樣那滿足題意的直線有3條呀.按照圓的對稱性滿足題意的直線應該僅有2條吧.

一部分學生愕然……

老師：說得好，在“當直線l的斜率不存在時求出的弦長符合題意”時，到后面求k的值時方程自然就只有一解的.數(shù)學“神”著呢.

（學生出現(xiàn)不相信的表情）

老師：大家看下面道題目及其解法（出示事先準備好的幻燈片課件）：已知過點（-3，-3）的直線l被圓x2+y2+4y－21=0所截得的弦長為8，求直線l的方程.

解：將圓方程化成標準形式，得：x2+（y+2）2=25，所以圓心坐標是（0，-2），半徑r=5.

當直線l的斜率存在時，設所求直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx－y+3k－3=0.

學生：果然！

老師：這種解題過程條理顯得更清楚！大家以后遇到這類問題按這樣的解法更好！

老師：本題還可以出有關過一圓外已知點求圓的切線方程題目.大家請看下列題目（出示事先準備好的幻燈片課件）：

題1：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點（1，5）與圓C相切的直線l的方程.

題2：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點（5，1）與圓C相切的直線l的方程.

老師：解法開始步驟與前面問題類似，分“直線l的斜率不存在時”與“直線l的斜率存在時”這兩種情況討論，與前面問題不同的是在求斜率k時是通過圓心到直線的距離等于圓的半徑這一條件列方程.對有關過一圓上已知點求圓的切線方程題目相對比較簡單，如下面題目（出示事先準備好的幻燈片課件）：

題3：已知圓C：x2+y2+4y－21=0，求過點（3，2）與圓C相切的直線l的方程.

這三個題目課后大家可以自己獨立研究解決，有困難的同學可以求助學習小組或老師.研究完可以寫成一篇小論文，交給老師.

……

二、點評

本節(jié)課是一節(jié)“推門課”，筆者感覺聽起來很真實，少了公開課的“做秀”.老師對課堂的生成很重視，老師不會因為為完成這節(jié)課的任務而“應付”課堂生成.老師對解題的指導做到該探究則探究，該講授則講授.整節(jié)課的容量不小，但條理清楚，學生并不感到負擔重.本節(jié)課中的例題解法書寫對學生今后學習選修中的直線與圓錐曲線的位置關系的問題打下了一個堅實的基礎，體現(xiàn)了學習內(nèi)容“螺旋上升”的原則.有一些不足之處，如從已知弦長求割線問題過渡到求切線問題時不夠自然；教學中強調(diào)書寫格式較多，對解析幾何中“數(shù)形結合”的思想滲透重視不夠.

三、幾點啟示

啟示1：課堂上例題教學應體現(xiàn)“算法”思想.老師做到這一點，學生就有可能解決相類似的一類問題，這就有“舉一反三”可能，從而也才有創(chuàng)新的可能.本節(jié)課的例題教學較好地體現(xiàn)了“算法”思想.

第一步：求出已知圓的圓心（a，b）和半徑r.

第三步：設過已知點（x0，y0）的直線l的方程為y－y0=k（x－x0）即kx－y+y0－kx0=0.

第五步：寫出符合題意的直線方程.

啟示2：老師講解例題時不能只局限于本道例題，可以對例題進行再“加工”，即一題多用，這樣課堂的效率大大提高.本節(jié)課就把例題“加工”成過圓外一點或圓上一點求圓的切線問題.只要老師處理得好，學生負擔是不會加重的.經(jīng)常這樣做，老師的出題能力會大大加強，學生也能從中學會一些發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的方法.

啟示3：例題教學要注意三方面：一是本節(jié)課的知識方法應用，二是對前面知識方法的鞏固應用，三是對以后學習中一些問題解決做一些“鋪墊”.這一定程度上體現(xiàn)了學習內(nèi)容“螺旋上升”的原則.

啟示4：可以在學校教研組內(nèi)部開展一種名為“說例”（即說課本例題）的教研活動.對課本上有一定代表性的例題進行“說例”活動時，可以從以下幾方面進行分析來“說”：

1.例題的編制背景.

2.例題的編制意圖.

3.例題的解法由來.

4.例題的解法創(chuàng)新.

5.例題的拓廣.

6.例題與近幾年高考試題、競賽題的聯(lián)系.

有可能的話，把必修和選修課本中的例題“說”的內(nèi)容匯編起來，這就是一項很好的校本教研成果了.

1.普通高中課程標準實驗教科書（人教A版數(shù)學必修2）.北京：人民教育出版社，2011.