土壤溶質(zhì)遷移的指數(shù)函數(shù)模型

魏 峰，王全九

（西安理工大學(xué)，西安710048）

工業(yè)“三廢”的排放，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中化學(xué)物質(zhì)（化肥、農(nóng)藥等）的大量施用導(dǎo)致了嚴(yán)重的環(huán)境污染，威脅到了人類的生命健康。許多專家學(xué)者越來越注重研究土壤水分及土壤溶質(zhì)的遷移規(guī)律，建立各種數(shù)學(xué)模型預(yù)測和控制土壤溶質(zhì)的遷移過程，并估計溶質(zhì)遷移參數(shù)［1－7］。人們對土壤溶質(zhì)的遷移機(jī)理多以對流一彌散方程（Convection－Dispersion Equation，CDE）描述。而模型中參數(shù)的確定又成為土壤溶質(zhì)遷移研究的一個重要問題。國內(nèi)外學(xué)者投入大量精力，尋求土壤溶質(zhì)的遷移模式、遷移參數(shù)的確定方法［6－9］。Shao等［6］和Wang等［7］在分別假定溶質(zhì)濃度分布為二、三次多項式和四、五次多項式的基礎(chǔ)上，提出了確定CDE方程中參數(shù)及其近似解的邊界層理論模型，研究結(jié)果表明，邊界層理論可應(yīng)用于土壤溶質(zhì)遷移的研究。鄭紀(jì)勇等［9］從實(shí)驗的角度對邊界層方法（三次邊界層解）進(jìn)行了研究，認(rèn)為隨時間的增加，邊界層方法計算的結(jié)果與精確方法計算的結(jié)果之間的誤差會逐漸增大。本文在此基礎(chǔ)上，假定土壤溶質(zhì)濃度剖面為指數(shù)函數(shù)，得到描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。分析各參數(shù)對邊界層距離的影響以及不同模型預(yù)測土壤溶質(zhì)分布情形。

1 相關(guān)理論

穩(wěn)態(tài)水流條件下，均質(zhì)土壤一維瞬態(tài)溶質(zhì)遷移通常由對流－彌散方程（CDE）來描述：

式中：c——土壤溶質(zhì)濃度；x——坐標(biāo)；t——時間；v——平均孔隙水流速；D——彌散系數(shù)；R——延遲因子。

初始條件和邊界條件為：

式中：c0——初始溶質(zhì)濃度。

Shao等假定土壤溶質(zhì)遷移存在邊界層，且土壤溶質(zhì)濃度分布可以用二次或三次冪函數(shù)表示。同時在邊界層處，土壤溶質(zhì)濃度應(yīng)符合下列條件：

由上述條件Shao等獲得了土壤溶質(zhì)濃度剖面表達(dá)式。對于二次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為：

為進(jìn)一步比較描述土壤溶質(zhì)濃度的邊界層方法，Wang和Horton在假定一定邊界層距離條件的基礎(chǔ)上推求出了四次和五次冪函數(shù)的邊界層解。對于四次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為：

對于五次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為

基于Shao等與 Wang和Horton的思想，假定土壤溶質(zhì)遷移的濃度剖面為指數(shù)函數(shù)，得到了描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。

假定土壤溶質(zhì)濃度分布可以用指數(shù)函數(shù)表示：

在邊界層處，土壤溶質(zhì)濃度應(yīng)符合下列條件：

將式（18）代入方程（16）即得n次冪函數(shù)的土壤溶質(zhì)濃度剖面：

方程（19）當(dāng)0≤x＜d（t）時成立，當(dāng)x≥d（t）時設(shè)c（x，t）＝0。

結(jié)合方程（19）和（7）可得n次冪函數(shù)的土壤溶質(zhì)邊界層距離：

式（19）是對流—彌散方程（1）的一種廣義近似解，相比較邊界層解（19）比精確解（21）表示簡單，應(yīng)用方便。

2 結(jié)果與分析

2.1 各參數(shù)對邊界層距離隨時間變化的影響

由式（20）可見邊界層距離是時間的增函數(shù)，但邊界層距離隨時間的增加受各參數(shù)的影響。

2.1.1 R對邊界層距離隨時間變化的影響 對于給定的水流速度（v）和彌散系數(shù)（D），隨著延遲因子的增加，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動曲線下移，邊界層距離減小（圖1）。說明R的增加降低了溶質(zhì)遷移的速度。

2.1.2 D對邊界層距離隨時間變化的影響 對于較小的孔隙水流速度（v），當(dāng)彌散系數(shù)（D）較小時邊界層距離隨時間緩慢增加，而當(dāng)彌散系數(shù)（D）較大時邊界層距離隨時間增加比較快。這說明對較小的孔隙水流速度，彌散系數(shù)（D）對邊界層距離影響最大（圖2a）。對較大的孔隙水流速度（v），彌散系數(shù)（D）對邊界層距離影響不太大（圖2b和2c）。取v＝0.2時D＝0.1、D＝0.01和D＝0.0013條線幾乎重合，這時邊界層距離主要由孔隙水流速度（v）影響著（圖2b—2c）。

圖1 R對邊界層位置的影響

圖2 D對邊界層位置的影響

因為邊界層距離也是關(guān)于彌散系數(shù)（D）增函數(shù)，而且有：

所以對于給定的孔隙水流速度（v），無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），隨著彌散系數(shù)（D）的減小，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動曲線逐漸下移，并越來越趨近于直線，d（t）（圖2）。

2.1.3 v對邊界層距離隨時間變化的影響 對較小的彌散系數(shù)（D），當(dāng)孔隙水流速度（v）較小時邊界層距離隨時間緩慢增加，而當(dāng)孔隙水流速度（v）較大時邊界層距離隨時間增加比較快。這說明對較小彌散系數(shù)（D），孔隙水流速度（v）對邊界層距離影響最大，如圖3a。對較大的彌散系數(shù)（D），孔隙水流速度（v）對邊界層距離影響不大（如圖3b—3c）。取D＝2時v＝0.01、v＝0.005和v＝0.001三條線幾乎重合，這時邊界層距離主要由彌散系數(shù)（D）影響著。

因為邊界層距離也是關(guān)于孔隙水流速度（v）增函數(shù)，而且有：

所以對給定的彌散系數(shù)（D），無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），隨孔隙水流速度（v）的減小，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動曲線逐漸下移，并越來越趨近于拋物線（圖3）。

2.1.4 彌散度（D／v）對邊界層距離隨時間變化的影響 實(shí)驗室土壤柱彌散度（a＝D／v）為0.5～2cm；田間土壤彌散度為5～20cm；而對于區(qū)域地下水彌散度可能達(dá)到很大的值。劉春平和邵明安［11］的研究表明，對于一個給定的孔隙水流速度v＝0.003cm／min，鋒面深度隨彌散度的增加而增加，彌散度在10～40cm比在0.5～10cm范圍溶質(zhì)鋒面深度增加要快；對給定的彌散系數(shù)D＝0.03cm2／min，當(dāng)彌散度從0.5cm到10cm增加時，鋒面深度有一個小的增加，當(dāng)彌散度從10cm到40cm，鋒面深度增加更快。這意味著當(dāng)v達(dá)到一個較大值時，對鋒面運(yùn)動有一個較大的影響。實(shí)際上，對于一個給定的孔隙水流速度，鋒面深度隨彌散度的增加而增加（圖4）；對于一個給定的彌散系數(shù)，鋒面深度隨彌散度的增加而減?。▓D4）。由圖4可知，無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），彌散度對邊界層距離的影響沒有一定規(guī)律。

圖3 v對邊界層位置的影響

圖4 a對邊界層位置的影響（a）R＝1；（b）R＝2

2.2 邊界層解與精確解比較

邊界層解只是一個近似解，下面我們將其與精確解作一比較。Shao等比較了二、三次邊界層解與精確解，認(rèn)為邊界層解和精確解相近。Wang等分析了三、四、五次邊界層解與精確解，認(rèn)為它們大多情況下也與精確解相近，有些情況下五次邊界層解比其他較好。他們在短距離處并且只在某一時刻作了比較分析。在較大尺度且在多時刻對邊界層解與精確解作分析比較發(fā)現(xiàn)，對較小的孔隙水流速度，時間較短時三、五次和指數(shù)型邊界層解與精確解都很相近，指數(shù)模型要好于其它，但隨著時間的增加誤差越來越大，誤差的變化和延遲因子及彌散系數(shù)的變化又有很大關(guān)系（圖5a—c）。從圖5d—f可見，對較大孔隙水流速度，邊界層解與精確解誤差與彌散系數(shù)有很大關(guān)系。彌散系數(shù)越小邊界層解與精確解誤差越大，這時二次邊界層解要好于其它（圖5d—f）；而彌散系數(shù)越大邊界層解與精確解誤差越大小，特別是在小時間段，三、五次和指數(shù)模型邊界層解要好于其它（圖5e）。相同條件下，用邊界層方法對吸附性溶質(zhì)的濃度模擬要比非吸附型溶質(zhì)要好（圖5c—f）。

圖5 邊界層解與精確解比較

對邊界層與精確解的誤差作分析，對較小孔隙水流速度，在長距離處，五次邊界層與精確解的誤差比其他?。欢诙叹嚯x處，指數(shù)型邊界層幾乎比其他都要小。對較大孔隙水流速度，邊界層解與精確解受各因素影響較大，它們之間的誤差變化較大，沒有規(guī)律。

2.3 參數(shù)的確定

邊界層距離是時間、遷移參數(shù)的簡單初等函數(shù)，因此容易通過邊界層運(yùn)動隨時間變化估計溶質(zhì)遷移參數(shù)。溶質(zhì)鋒面是一個遷移物質(zhì)在遷移過程中從無到有的界面，而時域反射儀（TDR）則是一種新的用于溶質(zhì)遷移研究的設(shè)備。溶質(zhì)鋒面未達(dá)到一定深度探測點(diǎn)前，TDR探針?biāo)綔y到的濃度值恒定不變，當(dāng)濃度值發(fā)生變化時，就認(rèn)為此時為溶質(zhì)鋒面遷移到此探測點(diǎn)的時間。根據(jù)不同探測點(diǎn)深度d（t）以及相應(yīng)的時間t，結(jié)合方程（20），經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，得到用邊界層確定的運(yùn)移參數(shù)彌散系數(shù)和延遲因子。綜上，邊界層解只是一個近似解，雖然表述、計算簡單，但也受各因素影響。特別是當(dāng)孔隙水流速度越大、彌散系數(shù)越小邊界層解與精確解誤差越大。因此運(yùn)用邊界層方法推求相關(guān)參數(shù)時，應(yīng)取較小的孔隙水流速度、短歷時。

3 結(jié)論

邊界層解是CDE方程的一個簡單近似解，通過邊界層距離隨時間變化可以估計溶質(zhì)遷移參數(shù)。本文將描述土壤溶質(zhì)遷移的邊界層理論推廣到一般，得到了描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。從邊界層方法在各種參數(shù)組合不同時段內(nèi)的土壤溶質(zhì)分布模擬來看，在較短歷時具有較高的精度，對孔隙水流速度大、彌散系數(shù)小的情況模擬的誤差大。研究表明指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)選取較小的孔隙水流速度、短歷時推求溶質(zhì)遷移參數(shù)。

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