郭乃川，王尚旭中國石油大學（北京）CNPC物探重點實驗室

郭 銳，啜曉宇 （中國石油大學（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室，北京102249）

地震勘探中三維小尺度非均勻性隨機介質(zhì)模型的建立及其特點分析

郭乃川，王尚旭中國石油大學（北京）CNPC物探重點實驗室

郭 銳，啜曉宇 （中國石油大學（北京）油氣資源與探測國家重點實驗室，北京102249）

地震勘探中，地質(zhì)體中小尺度非均勻性對地震波傳播影響的研究一直是備受關(guān)注的，然而，對該問題進行研究時所涉及到的模型絕大多數(shù)局限在一維薄層狀介質(zhì)（周期式或隨機式的）及二維隨機介質(zhì)范圍。給出了一種靈活、實用的用于描述三維小尺度非均勻性的隨機介質(zhì)建模方法，為了壓制建模過程中由于離散計算而產(chǎn)生的誤差，首次給出一種三維錐形函數(shù)表達式，有效地將其應用于建模過程中，使得所建立的模型更具可信度。另外展示了3種典型的三維隨機介質(zhì)模型并分析了其特點，最后給出具有指導意義的結(jié)論。

三維隨機介質(zhì)；小尺度非均勻性；自相關(guān)函數(shù)；錐形函數(shù)

地震勘探技術(shù)為非均勻性儲集層的探測和成像提供了主要的地球物理工具。地球物理成像解釋的一個重要的問題是地震波傳播時，其本身受到了地質(zhì)體非均勻性的影響［1］。對于波在非均勻地質(zhì)體中的傳播問題，從理論、算法以及實驗方面均有著大量的研究，研究過程中涉及到的主要模型絕大多數(shù)局限在一維薄層狀介質(zhì)（周期式及隨機式）［2～9］及用于描述小尺度非均勻性的二維隨機介質(zhì)［10～16］范圍；由于Mukerji等［1］指出地震波在介質(zhì)中傳播是存在路徑效應的，因此基于三維隨機介質(zhì)模型而研究地震波的傳播是很有必要的。基于上述原因，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，給出了一種靈活、實用的用于描述三維小尺度非均勻性的隨機介質(zhì)建模方法，并且首次給出了用于壓制三維建模過程中生成誤差的錐形函數(shù)表達式后，將其有效應用于建模過程中，使得所建立的模型更具可信度。另外給出3種典型的三維隨機介質(zhì)模型并分析了其特點，最后給出了有意義的結(jié)論。

1 三維小尺度非均勻性隨機介質(zhì)模型建立的基本原理

1.1 隨機介質(zhì)模型的引出

油氣藏的非均勻性是廣泛存在的，對于非均勻性，包括了巖性、孔隙度、滲透率、孔隙流體性質(zhì)、孔隙壓力條件、溫度和壓力上的差異。非均勻性存在于一個很大范圍的尺度規(guī)模上，從亞毫米顆粒、孔隙尺度，延伸到若干千米的盆地尺度上。然而在地震勘探中，地球通常被一連串的大均勻?qū)咏频靥娲@樣的模型沒有考慮到小尺度非均勻性的影響。為了解決該問題，學者們普遍采用的一種辦法是假設(shè)更接近實際情況的地質(zhì)體模型是同時包含大尺度和小尺度非均勻性的隨機介質(zhì)模型。其中，大尺度非均勻性是地質(zhì)體的平均特性，小尺度非均勻性是在這些平均值基礎(chǔ)之上的擾動。然后再從統(tǒng)計上的表示形式來描述地震學研究中的小尺度非均勻性［10～16］。其中學者對小尺度非均勻性的描述經(jīng)歷了從沒有擇優(yōu)取向［10］到具有特定擇優(yōu)取向的過程［13］，也經(jīng)歷了從高斯、指數(shù)等單一形態(tài)到混合形態(tài)等過程［15］。下面，筆者結(jié)合并推廣了Ikelle等［13］和奚先等［15］的研究成果，給出用于描述三維小尺度非均勻性的隨機介質(zhì)建模方法。

1.2 基本假設(shè)

首先，假設(shè)被用來描述各向同性彈性介質(zhì)的隨機介質(zhì)為平穩(wěn)式的，且可表示為＝1，2，3，…。其中，元素mi）是用于描述隨機介質(zhì)所具有的彈性參數(shù)＝（x，y，z）為坐標矢量。在地震勘探中，人們主要關(guān)心的參數(shù)為介質(zhì)速度及密度。為此，假設(shè)隨機介質(zhì)由縱波速度vp、縱橫波速度比vp／vs及密度ρ共3個分量構(gòu)成，并且假定它們是相互獨立的（各個彈性參數(shù)的相互關(guān)系仍然是個有待研究的問題［13］，此問題不在該次研究范圍內(nèi)），從而有：

根據(jù)式（2）有：

由于vp（珝x）的一階統(tǒng)計矩（即平均值）為，則可得第1個約束條件：

隨機介質(zhì)的二階矩是由相關(guān)函數(shù)控制的，由于已經(jīng)假定隨機介質(zhì)中的元素是相互獨立的，則只需選定

因子vp）的自相關(guān)函數(shù)，其中是笛卡爾坐標系中的任意兩個坐標矢量。目前，可選的用于建立二維隨機介質(zhì)模型的自相關(guān)函數(shù)形式多樣，F(xiàn)rankel［11］給出了各向同性的高斯型、指數(shù)型及自相似型自相關(guān)函數(shù)的表達式，然而這些函數(shù)所描述的非均勻性沒有擇優(yōu)取向，比較適合描述大范圍的地質(zhì)區(qū)域；Ikelle等［13］則考慮了非均勻性在水平及垂直方向上的擇優(yōu)取向問題，選擇了一種橢圓式的指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)；奚先等［15］通過引入粗糙度因子r，首次給出了一種混合型自相關(guān)函數(shù)的表達式，其中橢圓式的高斯型和指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)只是給定了粗糙度因子r時的特例。筆者在上述學者的研究基礎(chǔ)上，給出了用于建立三維隨機介質(zhì)模型的、考慮了小尺度非均勻性擇優(yōu)取向的橢球式混合型自相關(guān)函數(shù)的表達式：

式中，a、b、c是自相關(guān)長度因子；r是粗糙度因子為用于表示的簡潔寫法。

這樣，就可通過適當?shù)剡x擇自相關(guān)長度去描述介質(zhì)的非均勻性：①各向同性（a＝b＝c）的介質(zhì)；②同3個坐標軸方向平行的某1個或2個方向適度延長（a、b、c不同時相等，且大小有限）的介質(zhì)；③或者是在平行于3個坐標軸方向上的某1個或2個方向上無限延伸了的介質(zhì)（a、b、c中任意一個或者任意兩個大小區(qū)域無窮）。該自相關(guān)函數(shù)當r＝0時，退化為高斯型自相關(guān)函數(shù)；當r＝1時，退化為指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)。

1.3 未考慮計算誤差時的建模流程

具備上述一系列假設(shè)條件后，即可按照如下步驟進行三維隨機介質(zhì)的建模：

1）選定好自相關(guān)函數(shù)的因子a、b、c、r后，通過快速傅里葉變換將Ф（x，y，z）從空間域變換到波數(shù)域得。其中為自相關(guān)函數(shù)Ф（x，y，z）經(jīng)過傅里葉變換后，在波數(shù)域的函數(shù)表達式；kx為X方向上的波數(shù)；ky為Y方向上的波數(shù)；kz為Z方向上的波數(shù)。

2）在區(qū)間［0，2π）中生成服從獨立、均勻分布的隨機數(shù)φ。

3）利用自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是隨機介質(zhì)功率譜這一性質(zhì)，即可得到隨機介質(zhì)的波數(shù)域表達式：

理想情況下，上述步驟理應是在連續(xù)域中進行計算的，可實際上的計算是離散的，則在計算的過程中必然會引入誤差，這會使得式（4）所示約束條件“隨機介質(zhì)具有一個恒定的平均值”不能得到保證，以致影響建模的可信度。因此，下面將給出一種有效壓制誤差的處理方式。

2 隨機介質(zhì)建模過程中錐形函數(shù)的引入

在假定小尺度非均勻性是平穩(wěn)隨機分布在均勻介質(zhì)中的前提下，得到了式（4）所示的約束條件，然而離散區(qū)域計算隨機介質(zhì)時引入的誤差的存在會使得該約束條件不能得到保證。Ikelle等［13］已經(jīng)證明一個可有效壓制該誤差的方法是在波數(shù)域計算隨機介質(zhì)時引入錐形函數(shù)T）［13，17］。然而Ikelle等的研究局限在二維情況，筆者則推導出了三維情況下錐形函數(shù)的表達式。

T）在一維情況下的表達式為：

式中，kzmax為錐形函數(shù)的長度，具體選擇細節(jié)參考Marple所出專著［17］。

二維情況下T）的表達式可以由下述函數(shù)關(guān)系推得：

那么，三維情況下的錐形函數(shù)T3（kx，ky，kz）一定是三維的，且一定具有橢球?qū)ΨQ性，這樣即可通過一維情況下的錐形函數(shù)而推得T3（kx，ky，kz）所滿足的關(guān)系式為：

將錐形函數(shù)式（9）引入到式（6）得到隨機介質(zhì)在波數(shù)域的最終表達式：

此時，依舊采用上面所示建模方法，將建模流程中步驟3）的式（6）替換成式（10）即可進行三維隨機介質(zhì)模型的有效建立。

為了便于理解錐形函數(shù)的性質(zhì)，圖1給出了在建立大小為250×250×250個網(wǎng)格（間距1m）的隨機模型且所基于的橢球自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)長度因子相等時，簡單選取對應半徑為50個網(wǎng)格（球狀錐形函數(shù)半徑為0.2m－1）的典型三維錐形函數(shù)（三維圖形是以相互垂直的3個切片示意的，該次研究的建模成圖均采用了圖1類似的切片示意法，切片數(shù)量為5個）表示，其中的色標表示錐形函數(shù)的大小?？梢钥闯?，其作用實際是壓制了隨機介質(zhì)中低波數(shù)的分量，從而有效地對離散計算的誤差進行了壓制。在接下來的研究內(nèi)容中，所建立的模型均引入了錐形函數(shù)T），從而在一定程度上確保了所建模型的可信度。

圖1 典型三維錐形函數(shù)圖示

3 3種典型的建模成圖及其特點分析

為了便于對比分析，假設(shè)各模型網(wǎng)格大小均為250×250×250，網(wǎng)格間距為1m，且均有r＝0、，模型的其他特點則完全由自相關(guān)函數(shù)的因子a、b、c控制。在引入三維錐形函數(shù)對離散計算的誤差進行壓制的前提下，下面將通過選擇適當?shù)淖韵嚓P(guān)長度而給出筆者提出的建模方法可以建立出的3種典型的隨機介質(zhì)模型成圖。

圖2展示了當所描述的小尺度非均勻性為各向同性時的隨機介質(zhì)模型。由圖2可見，隨著自相關(guān)長度因子的增大，所建立出的隨機介質(zhì)中的小尺度非均勻性尺度也隨之增大，即自相關(guān)長度因子的大小反映著小尺度非均勻性的大??；而且盡管模型是基于圓球型自相關(guān)函數(shù)建立的，所刻畫出來的小尺度非均勻性“單體”只是近似球狀，因而所謂“描述的小尺度非均勻性為各向同性”，主要是指所基于的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)長度因子具有相同的值。

圖2 小尺度非均勻性為各向同性的隨機介質(zhì)模型

圖3 小尺度非均勻性在平行于3個坐標軸方向的某1個或2個方向上適度延長了的隨機介質(zhì)模型

圖3展示了當所描述的小尺度非均勻性同3個坐標軸方向平行的某1個或2個方向適度延長了的隨機介質(zhì)模型。通過與圖2對比分析，可發(fā)現(xiàn)這種情況下所描述的小尺度非均勻性近似橢球狀，且自相關(guān)長度因子a、b、c在各自對應的坐標軸方向X、Y、Z上，控制著小尺度非均勻性的形態(tài)，這同Mukerji等［1］的說法也是相符合的。圖2、3表明了筆者所示建模方法對一般意義上的小顆粒非均勻性描述的有效性。

圖4展示了當所描述的小尺度非均勻性在平行于3個坐標軸方向上的某1個或2個方向上無限延伸了的隨機介質(zhì)模型。這類隨機介質(zhì)模型具有以下特點：圖4（a）相當于一個2.5維的隨機介質(zhì)模型，速度與X方向無關(guān)；圖4（b）則是水平橫向各向均勻的薄層狀隨機介質(zhì)，在長波長近似條件下則相當于一個等效的VTI介質(zhì)［2］；圖4（c）和圖4（d）則是垂向橫向各向均勻的隨機介質(zhì)，兩圖的差異主要體現(xiàn)在各向同性面所對應的坐標軸不同。

圖4 小尺度非均勻性在平行于3個坐標軸方向的某1個或2個方向上無限延伸了的隨機介質(zhì)模型

4 結(jié) 語

筆者給出了一種靈活、有效的對地震勘探中三維小尺度非均勻性進行描述的建模方法。在建模過程中，為了壓制常規(guī)隨機介質(zhì)建模時由于離散計算而生成的誤差，首次給出了一種三維錐形函數(shù)，并有效用于建模過程中，使得所建立的模型更具可信度。利用筆者給出的建模方法可以用來模擬地質(zhì)體中的不同非均質(zhì)性分布情況：各向同性隨機模型、非均勻性在平行于坐標軸某1個或2個方向適度延伸了的模型、2.5維的隨機介質(zhì)模型、水平橫向各向均勻薄層狀隨機介質(zhì)模型以及垂向橫向各向均勻隨機介質(zhì)模型。這為進一步研究三維地質(zhì)體中小尺度非均勻性對地震波傳播特征的影響奠定了基礎(chǔ)。

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［編輯］ 龍 舟

62 Construction and Feature Analysis of Three Dimensional Small Scale Inhomogeneities in Seismic Prospecting

GUO Nai－chuan，WANG Shang－xu，GUO Rui，CHUAI Xiao－yu

（First Authors Address：CNPC Key Laboratory of Geophysical Exploration，China University of Petroleum；State Key Laboratory of Petroleum Resource and Prospecting，China University of Petroleum，Beijing102249，China）

In seismic prospecting，the study on the effect of small scale of inhomogeneities in the geologic body on seismic wave propagation has drawn much attention in resent years.However，models used for the studies were mainly 1Dthinstratum media（periodically layered or random media）and 2Drandom media.A flexible and useful modeling method，which was appropriate for describing 3Dsmall scale of inhomogeneities was proposed.In order to suppress the error arising from discrete computation，a 3Dtapering function was derived and it was effectively applied for modeling the process for the first time.Thus the model is more reliable.The 3typical random medium models are displayed and their characters are analyzed，and some meaningful conclusions are provided.

three－dimensional random media；small scale inhomogeneities；autocorrelation function；tapering function

book=366,ebook=366

P631.44

A

1000－9752（2012）07－0062－06

2012－03－22

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃項目（2007CB209601）；國家科技重大專項（2008ZX05010－002）。

郭乃川（1983－），男，2006年中國石油大學（北京）畢業(yè)，博士生，現(xiàn)主要從事地球物理信息處理與解釋等研究工作。