王曉偉，石林鎖

(第二炮兵工程大學(xué) 502教研室，西安 710025)

盲信號處理(Blind Source Separation，BSS)是指在未知源信號和傳輸通道參數(shù)的情況下，僅由傳感器陣列獲得的觀測信號恢復(fù)出各源信號的過程。其在無線通信、雷達(dá)信號處理、地質(zhì)勘探和生物醫(yī)學(xué)信號檢測方面有著廣泛的應(yīng)用前景和價值［1］，近年來也越來越廣泛地應(yīng)用于機(jī)械設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷中［2-3］。

當(dāng)前應(yīng)用盲信號處理技術(shù)進(jìn)行機(jī)械故障診斷，絕大部分是假設(shè)源信號是線性混疊的，然而在實(shí)際中非線性的情況是廣泛存在的［4］，混疊模型更多的情況應(yīng)該是非線性或者弱非線性的。傳統(tǒng)的非線性盲信號處理算法的學(xué)習(xí)速率是固定的［5-6］，學(xué)習(xí)速率選擇的過大或過小，都將影響算法收斂的精度和速度。最佳分離結(jié)果通常對應(yīng)于目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)，然而目標(biāo)函數(shù)通常存在很多的局部極小值點(diǎn)，這就會導(dǎo)致算法在局部極小值點(diǎn)收斂，從而陷入局部最優(yōu)解，難以獲得全局最優(yōu)解。

本文將模擬退火算法與基于核函數(shù)的非線性盲處理算法相結(jié)合，提出一種基于核函數(shù)的自適應(yīng)非線性盲處理算法，以提高非線性盲信號處理的收斂精度和全局尋優(yōu)能力，進(jìn)而提高信號特征提取的效果。通過仿真和實(shí)測齒輪箱振動信號的實(shí)驗(yàn)，表明與傳統(tǒng)的非線性盲處理算法相比，該算法具有更好的消噪和信號特征提取能力。

1 非線性BSS問題

設(shè)源信號 s=［s1(t)，s2(t)，s3(t)，…，sN(t)］T零均值統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，則非線性瞬時混合模型可表示為［7］：

式中：x(t)=(x1(t)，x2(t)，x3(t)，…，xM(t))T為傳感器測得的M維數(shù)據(jù)向量，f(·)為未知的可逆實(shí)值非線性混合函數(shù)，n(t)是與源信號統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的加性信號。為簡單起見，通常假設(shè)獨(dú)立源個數(shù)N等于混合信號的個數(shù)M，并取n(t)=0。那么非線性盲源分離問題就是僅通過觀測信號x(t)及源信號統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的假設(shè)條件來找到一個映射 h(·)，使得 x(t)通過 h(·)可以恢復(fù)源信號s(t)。分離系統(tǒng)的輸出信號為：

式中：y(t)即為s(t)的估計(jì)。

上述非線性模型的一種特殊情況——后非線性混合模型，可以描述如下［8］：

式中：f(·)是一固定可逆非線性函數(shù)，A為線性非奇異矩陣，這樣源信號先經(jīng)過典型線性混合過程，然后通過非線性函數(shù)f(·)作用而形成最后的觀測x(t)。在許多實(shí)際信號處理中，后非線性模型可看作傳感器畸變測得的信號。

后非線性混合模型的分離過程與混合過程正好相反，即先通過可逆的非線性變換 h(·)得 v=h(x(·))，然后再對v進(jìn)行線性變換W，得到源信號的估計(jì)y(t)。如果h(·)和W分別是f(·)和A的逆變換時，源信號就得到恢復(fù)。上述過程可簡單表示為：

非線性去混函數(shù)h(·)的選取與f(·)相對應(yīng)，兩者要能滿足互逆或近似互逆的關(guān)系。但到目前為止，還沒有一種函數(shù)可以擬合任意非線性函數(shù)的逆函數(shù)。更重要的是非線性函數(shù)h(·)是未知的，且在不知道原始信號樣本情況下，如用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練逼近也非常困難。

2 基于核函數(shù)的非線性盲處理算法

核函數(shù)方法首先是在支持向量機(jī)領(lǐng)域中獲得了成功的應(yīng)用，其思想就是用非線性變換Ψ ∶?→Γ將輸入的數(shù)據(jù)x(t)∈?N映射到特征空間Γ中［5］：

特征空間中的點(diǎn)積可以由核函數(shù)計(jì)算得到，即：

可以證明，分離矩陣可以表示成公式：

分離矩陣的求解轉(zhuǎn)化為參數(shù)α的求解，目標(biāo)函數(shù)表示為［9］：

3 基于模擬退火的改進(jìn)非線性盲信號處理

模擬退火算法是以馬爾科夫鏈的遍歷理論為基礎(chǔ)的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法［10］。算法的核心在于模擬金屬溶液的冷卻結(jié)晶過程，其過程由某一較高初始溫度開始，利用具有概率突跳特性的Metropolis抽樣策略在解空間中進(jìn)行隨機(jī)搜索，伴隨溫度的不斷下降重復(fù)抽樣，在退火溫度的控制下最終找到全局最優(yōu)解。由于采用了Metropolis準(zhǔn)則，中間解以一定的接受概率接受較差點(diǎn)，從而可以跳出局部極小，避免落入局部極小點(diǎn)的可能［11］。如果初始溫度足夠高，溫度下降足夠慢，算法能以概率1收斂到全局最優(yōu)值。

模擬退火算法的特點(diǎn)是整個迭代過程可通過退火歷程(即初溫、退溫函數(shù)、抽樣次數(shù))加以控制?？刂瞥鯗兀煽刂扑惴ǖ某跏妓阉餍袨?。控制溫度的高低，可控制算法突跳能力的強(qiáng)弱：高溫下的強(qiáng)突跳性有利于避免陷入局部最優(yōu)，低溫下的趨化性尋優(yōu)有利于提高局部搜索能力?？刂茰囟鹊南陆邓俾?，可控制突跳能力的下降幅度，影響搜索過程的平滑性。控制抽樣次數(shù)，可控制各溫度下的搜索能力，影響搜索過程對應(yīng)的齊次馬氏鏈的平穩(wěn)概率分布。

基于模擬退火思想的改進(jìn)非線性盲信號處理的步驟為：

(1)給定冷卻進(jìn)度表參數(shù)及迭代初始解，初始化參數(shù)α，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值Fα。

(2)初始化溫度T0，令T0=Fα，初始化退火速度λ和最大退火次數(shù)，這里取λ=0.99。

(3) 對于某一溫度t，采用方程T(t)=T0·αt進(jìn)行退火。按步驟(4)到步驟(6)進(jìn)行迭代，直到達(dá)到最大退火次數(shù)，跳到步驟(7)。

(4)在當(dāng)前參數(shù)鄰域內(nèi)進(jìn)行隨機(jī)擾動，產(chǎn)生新的參數(shù) α'，計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù) Fα'。

(5)計(jì)算新的目標(biāo)函數(shù)值和當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)值的差 ΔF。

(7)判斷是否達(dá)到最大退火次數(shù)。是，則結(jié)束算法，輸出分離結(jié)果，否則返回步驟(3)繼續(xù)迭代。

4 仿真信號實(shí)驗(yàn)

首先以傳感器畸變信號(即后非線性模型)的分離為例來驗(yàn)證本文算法的性能，選取的源信號數(shù)目為2，采用下式給出的信號，n(t)為均值為零，方差為5的高斯白噪聲。其波形如圖1所示。

線性變換矩陣 A隨機(jī)產(chǎn)生，非線性函數(shù) f(·)為tanh(·)函數(shù)，混合后得到觀測信號x(t)如圖2所示。

圖3和圖4分別為傳統(tǒng)的非線性盲分離和用本文改進(jìn)的非線性盲分離算法得到的y(t)的時域圖。

圖1 源信號時域波形圖Fig.1 Time domain waveform of source signals

圖2 混合信號時域波形圖Fig.2 Time domain waveform of mixed signals

對改進(jìn)的非線性盲信號處理算法進(jìn)行評價，可采用相似系數(shù)ζ評估分離后的時域波形值與源信號之間的相關(guān)性，定義如下：

圖3 傳統(tǒng)的非線性盲分離信號Fig.3 Signals separated by traditional algorithm

圖4 本文的自適應(yīng)盲分離信號Fig.4 Signals separated by the improved algorithm

5 基于核函數(shù)的非線性盲分離的齒輪箱診斷

下面應(yīng)用基于核函數(shù)的自適應(yīng)非線性盲分離算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。我們采用的系統(tǒng)是RIDC-Ⅱ型齒輪箱模擬故障實(shí)驗(yàn)臺，系統(tǒng)由主要由直流電機(jī)、齒輪減速器、加載電機(jī)及直流調(diào)速加載系統(tǒng)組成。因?yàn)榻M成實(shí)驗(yàn)臺的零部件比較多，傳感器拾取的信號必然是各振動源經(jīng)過傳輸路徑，并且混有噪聲的復(fù)雜的混合信號?；诤蠓蔷€性混合模型，應(yīng)用基于核函數(shù)的盲信號處理的方法將各獨(dú)立振動源信號分離開來，對分析機(jī)械狀態(tài)特征或故障特征大有益處。

圖5 實(shí)測時域信號Fig.5 Time domain waveform of practical signals

對齒輪減速箱的中間軸人為設(shè)置斷齒故障。試驗(yàn)時，輸入軸轉(zhuǎn)速為780 r/min，兩級傳動比為64/26，85/40，采樣頻率為10.2 kHz，，采用兩個加速度傳感器測得信號x1(t)和x2(t)，圖5顯示的為其前1.5 s的時域振動加速度波形圖。其頻譜為X1、X2，如圖6所示。

圖6 實(shí)測信號頻譜圖Fig.6 The spectrum of practical signals

圖7 本文算法診斷結(jié)果Fig.7 Diagnosis result of the improved algorithm

將此觀測信號用本文提出的改進(jìn)算法進(jìn)行盲源分離，對分離出的信號運(yùn)用包絡(luò)解調(diào)技術(shù)進(jìn)行分析處理［12-13］，其頻譜圖如圖7所示。圖8為傳統(tǒng)的固定速率非線性盲源分離得到的信號的包絡(luò)頻域圖。由于關(guān)注的是信號分離實(shí)驗(yàn)及故障診斷的效能，所以對譜值的物理意義不特別說明。

比較兩者的時域波形和頻域圖，可以發(fā)現(xiàn)，雖然從圖7和圖8中都可以發(fā)現(xiàn)在斷齒軸的轉(zhuǎn)頻6.7Hz處，但是圖7的信號的頻譜特征和噪聲控制，比圖8有明顯改進(jìn)。故改進(jìn)的自適應(yīng)非線性盲處理算法能對機(jī)械設(shè)備的非線性混合進(jìn)行更準(zhǔn)確的映射。

圖8 傳統(tǒng)算法診斷結(jié)果Fig.8 Diagnosis result of the traditional algorithm

6 結(jié)論

在對機(jī)械振動信號進(jìn)行分離時，基于核函數(shù)的非線性盲處理算法是一個實(shí)際而有效的方法。本文針對其學(xué)習(xí)速率固定的缺陷，將模擬退火算法與基于核函數(shù)的非線性盲處理算法相結(jié)合，提出一種自適應(yīng)非線性盲處理算法。這不僅提高了非線性盲處理的效率，而且降低了提取的振動特征信號的噪聲。依據(jù)自適應(yīng)非線性盲分離算法得到的分離信號可以更加精確地顯示出了齒輪的故障的狀態(tài)，更有利于對機(jī)械設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)的監(jiān)測和故障診斷。

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