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      自適應(yīng)局部獨(dú)立分量分析

      2012-09-15 08:12:54余成義劉安中李友榮
      振動(dòng)與沖擊 2012年14期
      關(guān)鍵詞:個(gè)數(shù)均值分量

      余成義,肖 涵,劉安中,李友榮

      (武漢科技大學(xué) 冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430081)

      混沌動(dòng)力系統(tǒng)的降噪是20世紀(jì)90年代混沌時(shí)間序列分析的主要研究?jī)?nèi)容之一。由于混沌信號(hào)具有“寬頻”性和“偽隨機(jī)”性,如果用傳統(tǒng)的基于頻譜分析的降噪算法,會(huì)將有用信號(hào)當(dāng)成噪聲去掉。因此在處理混沌信號(hào)時(shí),必須用非線性的降噪算法取代傳統(tǒng)的線性降噪算法。

      目前,Shin等[1-2]提出了基于奇異譜的降噪算法,并將該算法用于軸承、齒輪信號(hào)的降噪中,克服了傳統(tǒng)線性降噪方法無(wú)法處理非線性數(shù)據(jù)的缺點(diǎn)。徐金梧等[3]將局部投影降噪用于微弱特征信號(hào)的檢測(cè)中,提取設(shè)備的早期故障信號(hào)。文獻(xiàn)[4]提出了加權(quán)相空間重構(gòu)投影降噪算法,該算法采用漢寧加權(quán)窗,減少了重構(gòu)誤差,提高算法的效率。但上述算法主要通過(guò)主分量分析去獲取數(shù)據(jù)集內(nèi)總方差最大方向,與主分量分析(PCA)相比,獨(dú)立分量分析(ICA)應(yīng)用了數(shù)據(jù)高階統(tǒng)計(jì)量,且ICA能恢復(fù)數(shù)據(jù)集內(nèi)在變量的各自主要方向。為了克服全局線性ICA不適合處理非線性數(shù)據(jù)的局限性和非線性ICA需要不同約束條件的復(fù)雜性,Karhunen等[5-6]提出了局部線性ICA方法,其基本思想是先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類,聚類目的就是找數(shù)據(jù)的局部投影區(qū)間,再對(duì)每一個(gè)聚類進(jìn)行線性 ICA。Gruber等[7]結(jié)合相空間重構(gòu)給出了局部獨(dú)立分量分析(本文中稱其為傳統(tǒng)局部獨(dú)立分量分析)的基本模型框架。文獻(xiàn)[8]指出該降噪算法的一些缺點(diǎn):聚類中心個(gè)數(shù)人為給定和初始聚類中心隨機(jī)選取導(dǎo)致算法的不穩(wěn)定性,從而大大限制了該降噪算法的使用范圍。本文在克服傳統(tǒng)局部獨(dú)立分量分析的不足的基礎(chǔ)上提出了自適應(yīng)獨(dú)立分量分析降噪算法,該算法用聚集模糊K均值聚類和聚類評(píng)價(jià)函數(shù)求取高維數(shù)據(jù)集的聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置,具有自適應(yīng)性和穩(wěn)定性。

      1 聚集模糊K均值聚類算法

      聚集模糊K均值聚類算法[9]在傳統(tǒng)模糊K均值聚類算法的基礎(chǔ)上引入懲罰項(xiàng),使得該算法得到的聚類結(jié)果對(duì)初始聚類中心不敏感。該算法和聚類評(píng)價(jià)函數(shù)一起使用能夠確定數(shù)據(jù)集的聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置。

      某一維信號(hào)經(jīng)相空間重構(gòu)后為:

      X={X1,X2,…,Xn}T

      其中相點(diǎn) Xi=[Xi,1,Xi,2,…,Xi,m],m 為嵌入維數(shù)或代表每個(gè)相點(diǎn)屬性個(gè)數(shù)。用聚集模糊K均值聚類算法將數(shù)據(jù)集X聚成k類,實(shí)質(zhì)求下面目標(biāo)函數(shù)的最小值:

      其中λ為懲罰因子,其大小決定式(1)中哪項(xiàng)起主要作用。

      約束條件為:

      式中:U為n×k的隸屬度矩陣,ui,j表示第i個(gè)相點(diǎn)隸屬于第j個(gè)聚類中心的程度。Z為包含k個(gè)聚類中心矩陣。Di,j用歐氏距離的平方來(lái)度量第i個(gè)相點(diǎn)與第j個(gè)聚類中心的不相似程度:

      1.1 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化

      可以看出式(1)是帶約束的非線性優(yōu)化問(wèn)題。通常采用如下方法求該目標(biāo)函數(shù)的最小值:先固定U,更新Z使得目標(biāo)函數(shù)P最小;再固定Z,更新U使得目標(biāo)函數(shù)P最小。

      固定U,更新的Z由下式求得:

      其中1≤j≤k,1≤l≤m,式(3)與懲罰因子 λ 無(wú)關(guān)。

      固定Z,用拉格朗日乘數(shù)法將式(1)變?yōu)闊o(wú)約束的優(yōu)化問(wèn)題。更新的U由下式求得:

      1.2 聚集模糊K均值聚類算法

      先設(shè)置懲罰因子λ,隨機(jī)選取初始聚類中心,通過(guò)交替更新Z和U,使得P(U,Z)不再變化,此時(shí)的U和Z為所求結(jié)果。由(1)式可知,優(yōu)化該算法中的第一項(xiàng)是使數(shù)據(jù)集聚類數(shù)目增加,然而優(yōu)化該算法中的第二項(xiàng)是使數(shù)據(jù)集聚類數(shù)目減少。算法中懲罰因子λ決定哪一項(xiàng)起主要作用,隨著λ增加,聚類過(guò)程向著減少聚類個(gè)數(shù)方向進(jìn)行,當(dāng)λ增大到一定程度時(shí),該算法就將數(shù)據(jù)集聚成了一類。λ取值合適時(shí),聚集模糊K均值聚類算法才能準(zhǔn)確得到真實(shí)聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置。下面介紹如何求取合適的懲罰因子λ。

      2 聚類評(píng)價(jià)函數(shù)

      文獻(xiàn)[10]提出聚類評(píng)價(jià)函數(shù),該算法同時(shí)考慮了各聚類內(nèi)部的致密度(下式中第一項(xiàng))和各聚類之間的距離(下式中第二項(xiàng))。評(píng)價(jià)函數(shù)值越小,聚類效果越好。該評(píng)價(jià)函數(shù)如下:

      求取數(shù)據(jù)集聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置的算法流程如下:

      該算法中包含兩個(gè)循環(huán),第一個(gè)循環(huán)是找出最小的懲罰因子λmin;第二個(gè)循環(huán)是計(jì)算最優(yōu)懲罰因子值。

      第一個(gè)循環(huán)的算法流程:

      (1)輸入初始聚類個(gè)數(shù)k,要求初始聚類個(gè)數(shù)大于真實(shí)聚類個(gè)數(shù)。

      (2)設(shè)置λmin初始值為相點(diǎn)最大距離的0.01倍,并令t=1。

      (3)運(yùn)行聚集模糊K均值聚類算法,使位置相同的聚類中心聚集為一個(gè)聚類中心kt=k-kshare

      (4)如果kt=k,則執(zhí)行第二個(gè)循環(huán),否則令λmin=λmin-0.1λmin,跳轉(zhuǎn)到步驟(3)。

      第二個(gè)循環(huán)的算法流程:

      (2)如果kt=1,則該算法執(zhí)行完畢,否則跳轉(zhuǎn)到步驟(1)。

      上述第二個(gè)循環(huán)中最小評(píng)價(jià)函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的懲罰因子即為最優(yōu)懲罰因子,將其代入聚類模糊K均值聚類算法中可以得出真實(shí)的聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置。在有無(wú)重疊數(shù)據(jù)集上,該算法都能準(zhǔn)確得到真實(shí)聚類個(gè)數(shù)和精確的聚類中心位置。

      3 自適應(yīng)局部獨(dú)立分量分析算法

      本文提出的改進(jìn)算法主要思想是在進(jìn)行傳統(tǒng)的K均值聚類前,先使用聚集模糊K均值聚類和聚類評(píng)價(jià)函數(shù),求出數(shù)據(jù)集的真實(shí)聚類個(gè)數(shù)和聚類中心位置,從而減少傳統(tǒng)局部獨(dú)立分量分析的參數(shù)輸入,消除初始聚類中心的隨機(jī)選取對(duì)該降噪算法穩(wěn)定性的影響,同時(shí)提高了降噪的效果。

      自適應(yīng)局部獨(dú)立分量分析算法流程:

      (1)對(duì)一維含噪信號(hào)進(jìn)行相空間重構(gòu)得到軌跡矩陣X。

      (2)對(duì)相空間重構(gòu)后的數(shù)據(jù)去均值處理:X'=XX。對(duì)X'用聚集模糊K均值聚類和評(píng)價(jià)函數(shù)求出其真實(shí)的聚類個(gè)數(shù)k和聚類中心。

      (3)對(duì)X'運(yùn)用傳統(tǒng)的K均值聚類得到k個(gè)聚類Yi。其中聚類個(gè)數(shù)和初始聚類中心為步驟(2)中求得的聚類個(gè)數(shù)和聚類中心。

      (4)對(duì)每一個(gè)聚類 Yi去均值處理:Y'i=Yi-i。對(duì)每一個(gè)聚類Y'i進(jìn)行獨(dú)立分量分析,并由高維空間向低維空間投影,達(dá)到信噪分離的目的。其中投影階數(shù)由最小描述長(zhǎng)度準(zhǔn)則來(lái)確定,得到低維數(shù)據(jù)為L(zhǎng)i。

      (5)將所得的低維數(shù)據(jù)加上第(4)步中去除的均值Y'i,并按數(shù)據(jù)原來(lái)的順序?qū)⑦@k個(gè)聚類排列成完整的數(shù)據(jù)L'。

      (6)將第(5)步所得到的數(shù)據(jù)L'加上第(2)步中去除的均值重構(gòu)成一維數(shù)據(jù),即為降噪后的數(shù)據(jù)。

      如果噪聲較大,可以重復(fù)步驟(1)~(6),直到達(dá)到理想的效果為止。

      4 仿真信號(hào)實(shí)驗(yàn)

      Lorenz系統(tǒng)是典型的非線性動(dòng)力系統(tǒng),Lorenz信號(hào)由下式產(chǎn)生:

      圖1 降噪前信噪比為5.76 dB的Lorenz信號(hào)Fig.1 Noisy Lorenz signal waveform before noise reduction(SNR 5.76 dB)

      圖2 降噪后信噪比為17.01 dB的Lorenz信號(hào)Fig.2 Noisy Lorenz signal waveform after noise reduction(SNR 5.76 dB)

      在Lorenz信號(hào)中添加不同水平的白噪聲,比較本文提出的降噪算法與傳統(tǒng)局部獨(dú)立分量分析(LICA)和全局投影(GP)降噪算法的降噪效果,如表1所示。從表1可以看出:在高信噪比的情況下,全局投影降噪的降噪效果優(yōu)于LICA和本文提出的降噪算法;當(dāng)信噪比較低時(shí),LICA和本文提出的改進(jìn)降噪算法的降噪效果優(yōu)于GP,并且本文提出的降噪算法的降噪效果要優(yōu)于LICA,同時(shí)改進(jìn)算法的每次降噪效果都不變,具有很好的穩(wěn)定性。

      表1 幾種不同的降噪算法對(duì)不同噪聲水平的Lorenz信號(hào)降噪效果比較Tab.1 Comparison among the effects of several methods on Lorenz signal of different noisy level

      5 自適應(yīng)局部獨(dú)立分量分析在齒輪箱故障診斷中的應(yīng)用

      試驗(yàn)在傳動(dòng)系統(tǒng)故障試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行,減速箱為一級(jí)減速。主動(dòng)齒輪為20齒,從動(dòng)齒輪為37齒,輸入轉(zhuǎn)速為14.23 Hz,采樣頻率為2 000 Hz,取1 024 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)。主動(dòng)齒輪有一個(gè)齒斷裂,則主動(dòng)齒輪產(chǎn)生的振動(dòng)沖擊時(shí)間間隔約為0.07 s。

      圖3 原始信號(hào)及降噪信號(hào)Fig.3 The original signal and the signal after noise reduction

      圖3(a)為減速箱振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形,從時(shí)域圖中很難看出周期性的沖擊信號(hào);圖3(b)為采用本文降噪算法處理后的信號(hào)。從降噪后的信號(hào)時(shí)域圖中,可以明顯的看出周期沖擊,且沖擊間隔為0.07 s。說(shuō)明本文提出的降噪算法能有效地提取斷齒故障信號(hào)中沖擊成分。

      6 結(jié)論

      (1)與傳統(tǒng)的局部獨(dú)立分量分析相比,本文提出自適應(yīng)局部獨(dú)立分量分析降噪算法,減少了輸入?yún)?shù)(聚類中心數(shù)目),克服了由于傳統(tǒng)K均值聚類導(dǎo)致的降噪效果的不穩(wěn)定性。將該算法應(yīng)用到含噪Lorenz信號(hào)和含有噪聲的齒輪沖擊信號(hào)中,都能得到比較好的降噪效果。

      (2)噪聲較大時(shí),可以采取多次循環(huán)的方法來(lái)逐步消除噪聲,在剛開始循環(huán)中,嵌入維數(shù)應(yīng)取大一些,噪聲變小時(shí),嵌入維數(shù)取小些,但必須滿足嵌入定理。

      [1]Shin K,Hammond J K,White P R.Iterative SVD method for noise reduction of low-dime-nsional chaotic time series[J].Mechanical Sys-tem and Signal processing,1999,13(1):115-124.

      [2]呂志民,張武軍,徐金梧.基于奇異譜的降噪方法及其在故障診斷技術(shù)中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),1999,35(3):95-99.

      [3]徐金梧,呂 勇,王海峰.局部投影降噪算法及其在非線性時(shí)間序列分析中的應(yīng)用[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2003,39(9):146-150.

      [4]呂 勇,李友榮,肖 涵,等.基于加權(quán)相空間重構(gòu)降噪及樣本熵的齒輪故障分類[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào),2009,22(5):462-466.

      [5]Karhunen J, Malaroiu S. Locally linearind-ependent component analysis[C].Proceedin-gs of the International Joint Conference on Neural Networks,1999,2:882-887.

      [6]Karhunen J, Malaroiu S. Local linear inde-pendent component analysis using clustering[J].Int.Journal of Neural Systems,2000,10(6):439 -451.

      [7]Gruber P,Stadlthanner K.Denoising using local projective subspace methods[J].Neuroc-omputing,2006,69(13 -15):1485-1501.

      [8]肖 涵.基于高斯混合模型與子空間技術(shù)的故障識(shí)別研究[D].武漢:武漢科技大學(xué),2007.

      [9]Li M J,Ng M K.Agglomerative fuzzy K-mea-ns clustering algorithm with selection of number of clusters[J].IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering,2008,20(11):1519-1534.

      [10]Sun H,Wang S.FCM-based model selection algorithms for determining the number of clusters[J].Pattern Recognition,2004,37(10):2027-2037.

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