韓擁軍

(銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000)

關(guān)于復(fù)射影空間中若干子流形問題的研究

韓擁軍

(銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000)

文章從系統(tǒng)層面整體分析了復(fù)射影空間中的各種子流形，對其進行簡單分類和典型分析，研究了子流形的曲率與幾何的數(shù)學(xué)關(guān)系，掌握了復(fù)射影空間中若干子流形的基本特質(zhì)，證明了所推理的若干積分公式的正確性。

復(fù)射影空間；CR子流形；一般子流形；全臍子流形

一、全實全臍和全實偽臍子流形定理研究

1.準備

多維度的向量空間，假設(shè)為n維，定義 Cn，列舉多個（n）復(fù)數(shù)以一定序列排列成為數(shù)組，構(gòu)建復(fù)向量空間。將其中各種元素標記為Z,集合設(shè)定為Z=(Z1，…Zn)。

故可認定h為Cn上的K度量，取其實為

2.定理

假定CPi+j是i+j維的復(fù)射影空間，全純截曲率為3，其實維子流形上的一點的切向空間如果被變換到自身的話，那么就可以將CPi+j定義為是全純子流形；但是，如果其實維子流形上的一點的切向空間沒有變換到其自身上，而是在該點的一個垂直空間上，那樣的話CPi+j的定義就為全實子流形。上述兩種定義的不變子流形是CPi+j唯一具有的，也可以理解為CPi+j的變化對于其中的任何一點的切向的空間的曲率是不會產(chǎn)生影響的。

對于CPi+j的全實子流形

3.基本公式

CPi+j基本公式：

4.定理證明

二、具有平坦法叢的一般極小子流形

1.基本概念

假定M是一個具有近復(fù)結(jié)構(gòu)的復(fù)流形。子流形N作為以相等距離浸入于復(fù)流形M。如果在N的浸入子流形上，取屬于它的任何一點的切向空間，如果按照近復(fù)結(jié)構(gòu)的變換方式使得在這個點的垂直空間內(nèi)能夠找到它的切向空間，那么我們稱N是屬于M的一個全實子流形或全純子流形；如果N上任意一點的變換方式正好與前者相反，那么我們稱N是M的一般性的子流形。一個特殊的情況就是，如果當(dāng)且僅當(dāng)滿足codimN=1時，那么N被稱為是屬于M的實超曲面。

2.定理

（?。┚哂腥珳y的、平坦法叢的一般極小子流形在復(fù)射影空間中是不存在的；

三、CR-子流形

接下來我們就開始證明，

接下來再對上式中最右端中括號中的項進行計算，

由上式的計算結(jié)果，我們可以得到以下結(jié)論：

由此定理（ⅱ）的證明就完成了。

4.基本公式

（?。┘僭O(shè)CPm的CR-流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的連通流形。對于一個光滑的映射f：M2i+j→R作為一個次調(diào)和函數(shù)應(yīng)用在M2i+j流形上，也就是能夠滿足不等式，由此可得，函數(shù)f是一個常值函數(shù)。即表示為：

同理，假設(shè)CPm的CR-極小子流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的連通流形。對于一個光滑的映射f： M2i+j→R作為一個次調(diào)和函數(shù)應(yīng)用在M2i+j流形上，也就是能夠滿足不等式，由此也可得到函數(shù)f是一常值函數(shù)。即表示為：

在這里我們要考慮的一種特殊情況就是，對于一般CR-極小子流形M2i+j，能夠滿足的是：

（ⅱ）假設(shè)CPm的CR-流形是M2i+j，且M2i+j是無邊界緊致的可以定向的平坦法叢的連通流形。那么，

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（責(zé)任編輯：劉忠義）

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1671-752X（2012）02-0067-03

2012-04-26

韓擁軍（1968-），女，安徽銅陵人，銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程系講師，碩士，研究方向：泛函微分方程。

2012年安徽省教育廳一般項目（編號：KJ2012B197）研究成果。