粘彈性復合材料屈曲梁非線性參數(shù)振動的穩(wěn)定性和分岔分析

曾志剛，葉 敏

(浙江大學 航空航天學院力學系，杭州 310027)

許多同時具有彈性和粘彈性兩種不同機理變形的材料，如高分子聚合物、纖維復合材料、生物材料等等，廣闊應用于航空航天、車輛工程、土木工程、生物工程及材料工程等領域。復合材料在受載情況下常常表現(xiàn)出明顯的非線性粘彈性性質［1－2]。隨著新型材料的不斷涌現(xiàn)，粘彈性結構的非線性振動問題越來越受到國內(nèi)外學者的關注。Surie等［3]研究了簡諧激勵作用下粘彈性桿的周期和混沌運動。Li等［4]研究了粘彈性Timoshenk梁，由假設的本構關系推導出系統(tǒng)的運動方程，利用數(shù)值計算分析系統(tǒng)的非線性行為。劉偉等［5]研究了粘彈性傳動帶橫向振動的分岔特性和混沌動力學行為。Mahmoodi等［6－7]研究了碳納米增強復合材料夾層懸臂梁的非線性振動問題，根據(jù)Kelvin-Voigt模型建立了粘彈性懸臂梁的動力學控制方程，利用多尺度分析法和實驗研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Hu等［8]研究了在非線性彈性和線性粘性條件下，樁的橫向振動。Pratiher等［9]研究了末端帶集中質量的簡支粘彈性材料梁的非線性振動問題。姚志剛等［10]研究了簡支壓電復合材料層合梁在軸向、橫向載荷共同作用下的非線性動力學、分岔和混沌動力學響應。Ding等［11]對在軸向載荷激勵作用下粘彈性梁的橫向運動進行分析，通過粘彈性本構關系求出控制方程，然后分析系統(tǒng)的非線性動力學特性。Firooz等［12]研究了各向同性的粘彈性層和懸臂梁的非線性振動。Younesian等［13]研究了變速旋轉粘彈性梁的非線性振動。劉彥琦，張偉［14]基于幾何非線性和線性粘彈性，分析了參數(shù)激勵粘彈性傳動帶的分岔和混沌特性。

在粘彈性結構非線性動力學研究中，非線性本構關系往往會導致復雜的動力學控制方程，為進一步分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、分岔和混沌運動增加了難度。實驗建模方法不僅為粘彈性材料，而且為越來越多的新型材料提供了一條建立便于進行非線性動力學分析的數(shù)學模型的途徑。我們以ABS樹脂為基材，填充1% －10%的金紅石納米二氧化鈦制成復合材料系列樣本。并建立了參數(shù)激勵非線性振動梁的實驗系統(tǒng)，實驗裝置為承受軸向激振力和施加可控干摩擦阻尼的粘彈性簡支梁的橫向振動。通過實驗數(shù)據(jù)和增量諧波平衡非線性識別，采用實驗建模的方法，得到了粘彈性參激梁的非線性動力學控制方程。

進一步研究了方程(1)在1/2亞諧共振時解的穩(wěn)定性和分岔特性，利用多尺度方法對系統(tǒng)的幅頻響應、解的穩(wěn)定性和分岔特性進行了分析，并用數(shù)值模擬驗證理論分析結果。

1 實驗建模

為了通過實驗建模的方法建立粘彈性復合材料梁的動力學控制方程，首先進行材料的制備，按ABS與金紅石納米二氧化鈦的組成比例，見表1，制備六種不同的復合材料梁系列樣本，如圖1所示。

表1 ABS與金紅石納米二氧化鈦的組成比例Tab.1 The composition of ABS and rutile nano TiO2

圖1 金屬梁和六種不同配比的納米復合材料梁Fig.1 Metal beam and 6 kinds of the nanocomposite beams

以ABS材料為基材，填充入其它納米尺度的成分，以便對ABS材料進行改性，獲得相應功能的復合材料。金紅石納米二氧化鈦應用于塑料、橡膠和功能纖維產(chǎn)品，它能提高產(chǎn)品的抗老化能力、抗粉化能力、耐候性和產(chǎn)品的強度，同時保持產(chǎn)品的顏色光澤，延長產(chǎn)品的使用期。

本文采用3號材料的實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)識別，再利用其他材料的實驗數(shù)據(jù)進行模型驗證。以便獲得適用于一類納米復合材料非線性參數(shù)振動的動力學控制方程。為了采用實驗建模方法，首先建立與模型相對應的實驗系統(tǒng)，文本研究粘彈性復合材料梁在參數(shù)激勵下的動力學特性，因此，實驗裝置設置為一端固定，一端滑動，且承受軸向激振力和施加可控干摩擦阻尼的納米復合材料屈曲梁。實驗中，考慮到消除重力影響因素(包括材料本身自重，以及布置在材料上的傳感器的重量)，將屈曲梁作縱向布置，如圖2所示。系統(tǒng)激勵頻率的調(diào)頻范圍在0 Hz－200 Hz之間;激勵幅值f通過調(diào)節(jié)電壓來控制。系統(tǒng)的非線性阻尼由設置在滑動端的干摩擦結構產(chǎn)生，通過加力裝置和力傳感器等來控制系統(tǒng)的非線性阻尼。梁的橫向振動響應由粘貼在梁中間的加速度傳感器測得。選擇3號材料作為實驗建模時的基本材料，其尺寸為200 mm×20 mm×1.5 mm，質量為 7.3 g，第一階固有頻率為 6.5 Hz。

圖2 實驗裝置示意圖Fig.2 The schematic diagram of the experimental device

圖3 模型中不含的識別結果與實測信號響應和相圖的比較Fig.3 The comparation of the identification result withoutand the measured signal in response and phase diagram

根據(jù)以往的研究結果［14，15]，金屬材料梁在單模態(tài)近似下，實驗系統(tǒng)的動力學模型是含有參數(shù)激勵項的非線性常微分方程。

因此，在考慮ABS-TiO2納米復合材料——粘彈性材料梁的動力學模型時，由于材料的粘彈性特性，假設系統(tǒng)非線性項為3次多項式，則系統(tǒng)的動力學模型設為如下形式:

其中，αi(i=0，…，9)是需要通過實驗數(shù)據(jù)與非線性參數(shù)識別理論進行識別的參數(shù)［16]。

由實驗系統(tǒng)測量梁的振動響應數(shù)據(jù)，應用增量諧波平衡非線性識別法［17]，識別方程(3)中參數(shù)αi(i=0，…，9)，再代入方程(3)解出響應x(t)，并與實驗測得響應結果進行比較。通過比較方程(3)中各非線性項對識別結果的影響，表明，當方程(3)中不含x·x 時，模擬結果與實驗結果吻合，如圖3所示，否則方程的解將顯示衰減為零或趨于無窮大。而x2項是否存在于方程中對識別結果沒有影響，都可以得到好的效果。但對于其他型號的材料保留x2項將獲得更好的結果。于是，粘彈性梁在參數(shù)激勵下的最優(yōu)動力學控制方程為:

其中α0與固有頻率和初始條件有關;α1為線性阻尼;α2和 α5為非線性剛度;α4，α6，α7和 α8與干摩擦、內(nèi)阻尼等非線性因數(shù)有關;α9為參數(shù)激勵幅值。

為了驗證模型(4)的適用性，利用1、2、4、5 號材料梁測得的實驗數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)值模擬結果與實驗結果進行比較，如圖4所示。從圖中可以看出，模型的仿真結果與實測結果定性定量吻合較好，模型(4)得到很好的驗證。

圖4 不同配比成分材料實驗結果與模擬結果的對比驗證Fig.4 The verification of the experimental results and simulation results with different compositions

2 解的穩(wěn)定性

以三號納米復合材料梁為例，研究梁在參數(shù)激勵下的非線性動力學特性，故將控制方程(4)寫成如下形式:

其中，μ為線性阻尼系數(shù)，ω0為系統(tǒng)的固有頻率，f0和f與參數(shù)激勵有關，αi(i=0，…，5)是系統(tǒng)非線性參數(shù)。

考慮1/2亞諧共振情況下系統(tǒng)的響應和分岔特性。設Ω2/4=+εσ0，這里 σ0為調(diào)諧參數(shù)，將Ω2/4－εσ0代入式(5)。利用多尺度方法式(5)可寫成:

其中 σ =σ0+f0。

設方程(6)的一階漸近解形式為:

將式(7)代入方程(6)，令等式兩邊ε同次冪的系數(shù)相等，得到下列微分方程組:

方程(8)的解為:

這里A(t2)為A(t2)的共軛復數(shù)，聯(lián)立式(8)、式(9)和式(10)，要使解中不出現(xiàn)長期項，必須有:

設:

將式(12)代入式(11)，并分離實部和虛部，化簡得到一次近似情形下極坐標形式的平均方程為

討論方程(13)的穩(wěn)態(tài)解及系統(tǒng)響應隨參數(shù)σ0，μ的變化情況。令，并消去θ，得到分岔響應方程為:

方程(14)可以簡寫為:

由此，可以得到以下幾種不同解，顯然有A1≥0，這里假設:

(1)當C＜0時，有:

(2)當 B ＜0，C≥0，Δ =B2－4A1C≥0時，有:

(3)其他情況，有:

為了判斷1/2亞諧共振下解的穩(wěn)定性，把平均方程(13)從極坐標形式變換成為直角坐標形式，令:

這里x和y是t2的實函數(shù)，把式(21)代入式(11)，并分離實部和虛部得到直角坐標形式的平均方程:

由方程(22)的Jacobi矩陣可以得到對應零解的本征方程為:

對應非零解的本征方程為:

根據(jù)分岔響應方程(14)不同解和本征方程(23)，(24)，可以得到解的穩(wěn)定區(qū)域如圖5所示。平均方程(13)的奇點和控制方程(6)的周期解在參數(shù)平面(σ0，μ)上有相同的穩(wěn)定區(qū)域。

圖5 定常解穩(wěn)定區(qū)域Fig.5 The stability region of steady solutions

2.1 零解穩(wěn)定性分析

根據(jù)零解本征方程(23)，分析不同區(qū)域的零解穩(wěn)定性，得如下結果:

(1)當μ＞0時;如圖5，零解在區(qū)域Ⅰ是穩(wěn)定的。在區(qū)域Ⅱ是不穩(wěn)定的。

(2)當μ＜0時;零解的特征根至少有一個實部為大于零的特征根，因此，零解總是不穩(wěn)定的。

2.2 非零解穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(24)的非零解特征根結構，可知非零解的穩(wěn)定性條件為:

通過穩(wěn)定性分析，可得非零解穩(wěn)定與不穩(wěn)定區(qū)域如下:

(1)當μ＞0時:如圖15所示，非零解式(16)在區(qū)域Ⅱ穩(wěn)定，非零解(18)式在區(qū)域Ⅷ穩(wěn)定，非零解式(19)式在區(qū)域Ⅷ不穩(wěn)定。

(2)當μ＜0時:非零解式(16)在區(qū)域Ⅳ不穩(wěn)定，而在區(qū)域Ⅴ穩(wěn)定;非零解式(18)在區(qū)域Ⅵ是穩(wěn)定的，而在區(qū)域Ⅶ內(nèi)不穩(wěn)定;非零解式(19)在Ⅵ和Ⅶ不穩(wěn)定。

3 分岔分析

從以上分析可知，隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性會發(fā)生變化，從而表現(xiàn)出不同的運動形式。下面利用數(shù)值仿真分析參數(shù)激勵幅值f對系統(tǒng)分叉行為的影響，系統(tǒng)(5)主要參數(shù)為 ω0=1，Ω =2，f0=0.1，μ =0.05，αi=0.1(i=1，2，3，4，5)。圖 6 為關于參數(shù)激勵幅值f的最大Lyapunov指數(shù)圖，圖7為Runge-kutta數(shù)值積分法得到的關于參數(shù)激勵幅值f的分岔圖。結果表明，隨著參數(shù)f的變化，系統(tǒng)呈現(xiàn)出豐富的動力學現(xiàn)象。

圖6 系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.6 The Maximum Lyapunov exponent map

圖7 系統(tǒng)的分岔圖Fig.7 The bifurcation diagram

① 當激勵幅值f∈(0，0.286)，系統(tǒng)開始由于阻尼作用，運動形式為衰減運動，系統(tǒng)最后處于靜止狀態(tài)。② 當激勵作用進一步加強，即取f∈(0.286，12)，系統(tǒng)出現(xiàn)周期運動，先后經(jīng)歷周期1→周期2→周期3，如圖8(a)所示。③ 從圖6和圖7可知，隨著激勵幅值f的增加，系統(tǒng)由周期3→周期4。取f=13，通過計算獲得的相空間軌線和Poincare截面如圖8(b)所示。④ 隨后系統(tǒng)發(fā)生倍周期分叉進入混沌狀態(tài)，當 f∈(13.044 5，15.365 5)，圖6 中最大Lyapunov指數(shù)為正，表明系統(tǒng)此時處于混沌狀態(tài)。在該區(qū)間內(nèi)取f=13.5，模擬計算結果如圖8(c)，⑤ 在混沌區(qū)間還存在多個周期窗口，在(13.135 5，13.152 5)、(15.227，15.249 5)等區(qū)間如圖7所示，系統(tǒng)處于周期運動狀態(tài)。取f=15.24，模擬計算結果如圖8(d)所示，此時圖6中最大Lyapunov指數(shù)為負數(shù)，Poincare截面上為六個點，表明系統(tǒng)處于周期6。⑥ 另外，我們還發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)可以進入陣發(fā)性混沌，如當系統(tǒng)從混沌運動狀態(tài)退出，在(15.227，15.249 5)區(qū)間發(fā)生倒周期分岔，隨后激勵幅值f繼續(xù)增大，系統(tǒng)從周期6運動狀態(tài)突然轉為混沌運動狀態(tài)，即發(fā)生陣發(fā)性混沌。當激勵幅值f超過15.37，系統(tǒng)發(fā)生倒倍周期分岔，即從混沌狀態(tài)進入周期運動，取f=16，此時系統(tǒng)為周期1運動如圖8(e)所示。

4 結論

本文利用實驗建模方法建立的粘彈性納米復合材料屈曲梁參數(shù)激勵非線性振動系統(tǒng)的動力學控制方程，對系統(tǒng)的動力學特性進行了分析。討論了系統(tǒng)在1/2亞諧共振情況下線性阻尼系數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，得到了系統(tǒng)的幅頻響應以及在(μ，σ0)平面內(nèi)的穩(wěn)定區(qū)域。利用數(shù)值模擬分析了參數(shù)激勵對分叉行為的影響，并對系統(tǒng)通往混沌的道路進行了討論，發(fā)現(xiàn)通過倍周期分岔進入混沌，同時發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在陣發(fā)性混沌。通過實驗建模和系統(tǒng)動力學分析，揭示了納米復合材料參數(shù)激勵梁豐富的非線性動力學現(xiàn)象，為更好的利用納米復合材料提供了理論基礎。

圖8 隨激勵幅值f變化時系統(tǒng)的響應Fig.8 The response with excitation amplitude f varied

［1] 張淳源，張為民.高分子材料非線性粘彈性問題的解法［J] .高分子材料科學與工程，2002，18(3):4－9.

［2] 趙榮國，陳忠富，張淳源.一個非線性粘彈性本構模型及其在聚合物材料中的應用［J] .湘潭礦業(yè)學院學報，2003，18(1):48－51.

［3] Suire G，Cederbaum G.Periodic and chaotic behavior of viscoelastic nonlinear bars under harmonic excitations［J] .International Journal of Mechanical Sciences，1995，37:753－772.

［4] Li G G，Zhu Z Y，Cheng C J.Application of galerkin method to dynamical behavior of viscoelastic timeoshenko beam with finite deformation［J] . Mechanics of Time-Dependent Materials，2003，7:175 －188.

［5] 劉 偉，張勁夫.粘彈性傳動帶的分叉特性和混沌振動分析［J] .動力學與控制學報，2005，3(3):63－68.

［6] Mahmoodi SN，Khadem SE，JaliliTheoretical N.Development and closed-form solution of nonlinear vibrations of a directly excitednanotube-reinforced composite cantilevered beam［J] .Arch Appl Mech ，2006，752:153 －163.

［7] Mahmoodia S N，Jalilia N，Khademb S E.An experimental investigation of nonlinear vibration and frequency response analysis of cantilever viscoelastic beams［J] .Journal of Sound and Vibration，2008，311:1409 －1419.

［8] Hua C L，Cheng C J，Chen Z X.Nonlinear transverse free vibrations of piles［J] .Journal of Sound and Vibration，2008，317:937－954.

［9] Pratiher B，Dwivedy SK.Nonlinear vibration of a single link viscoelastic cartesianmanipulator［J] .International Journal of Non－Linear Mechanics，2008，43:683 –696.

［10] 姚志剛，張 偉，陳麗華.壓電復合材料層合梁的分岔、混沌動力學與控制［J] .力學學報，2009，41(1):129－140.

［11] Ding H，Chen L Q.Nonlinear dynamics of axially accelerating viscoelastic beams based on differential quarature［J] .Acta Mechanica Solida Sinica，2009，22:267 －275.

［12] Firooz B N，Nazari M.Nonlinear vibration analysis of isotropic cantilever plate with viscoelastic laminate［J] .Nonlinear Dyn，2009，56:325 －356.

［13] Younesian D，Esmailzadeh E.Non － linear vibration of variable speed rotating viscoelastic beams［J] .Nonlinear Dyn，2010，60:193 －205.

［14] 劉彥琦，張 偉.參數(shù)激勵粘彈性傳動帶的分岔和混沌特性［J] .工程力學，2010，27(1):58 －62.

［15] 葉 敏，陳予恕.非線性參數(shù)激勵系統(tǒng)的動力分岔研究［J] .力學學報，1993，25(2):169 －175.

［16] 吳 建，葉 敏，李 興，等.粘彈性復合材料梁動力學實驗建模的研究［J] .力學學報，2011，43(3):586 －597.

［17] 竇蘇廣，葉 敏，張 偉.基于增量諧波平衡的參激系統(tǒng)非線性識別法［J] .力學學報，2010，42(2):332－336.