一類一階微分方程初等解法的分析研究

白福梅

（晉中師范高等專科學(xué)校，山西 晉中030600）

一類一階微分方程初等解法的分析研究

白福梅

（晉中師范高等?？茖W(xué)校，山西 晉中030600）

對一階微分方程變量分離方程f（x）φ（y）（其中f（x），φ（y）分別是x，y的連續(xù)函數(shù)）和非齊次線性微分方程＝p（x）y＋Q（x）（其中p（x），Q（y）是x的連續(xù)函數(shù)）的其初等解法進(jìn)行了分析研究，結(jié)合Lebesgue積分與Riemann積分的相關(guān)知識，給出了f（x），φ（y），p（x），Q（x）的不連續(xù)點(diǎn)集是零測集時(shí)的初等解法。

一階微分方程；變量分離方程；非齊次線性微分方程；零測集

文獻(xiàn)［1］中研究了下列一階微分方程的初等解法：

變量分離方程

其中f（x），φ（y）分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。

如果φ（y）≠0，可將（1）式改寫成

兩邊積分，得到

這里c為積分常數(shù)。

如果存在y0使φ（y0）＝0則直接驗(yàn)證y＝y(tǒng)0也是（1）的解。當(dāng)y＝y(tǒng)0不包括在方程通解（1.1）中時(shí)，必須補(bǔ)上特解y＝y(tǒng)0。

一階線性微分方程

其中p（x），Q（y）在考慮的區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。

若Q（x）＝0，方程（2）變?yōu)?/p>

方程（2.1）稱為一階齊次線性微分方程。若Q（x）≠0，方程（2.1）稱為一階非齊次線性微分方程。

方程（2.1）是變量分離方程，其通解為

這里c是任意常數(shù)。

將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c（x），令

這里ˉc是任意常數(shù)。將（2.5）代入（2.2）得到方程（2）的通解。

本文將方程（1），（2）中的條件進(jìn)行了推廣。

1 相關(guān)知識與理論

定義1［2］設(shè)E?Rn，若｛Ik｝是Rn中的可數(shù)個(gè)開矩體，且有

則稱｛Ik｝為E的一個(gè)L－覆蓋，我們稱

為點(diǎn)集E的Lebesgue外測度。

推論1［2］若E?Rn為可數(shù)點(diǎn)集，則m＊（E）＝0。

定義2［2］設(shè)E?Rn，若對任意的點(diǎn)集T?Rn，有

則稱E為lebesgue可測集，簡稱為可測集，其外測度稱為測度。

推論2［2］外測度為零的點(diǎn)集是零測集。

引理1［2］設(shè)f（x）是定義在I＝［a，b］上的有界函數(shù)，記ω（x）是f（x）在［a，b］上的振幅函數(shù)，我們有

左端是ω（x）在I上的Lebesgue積分。

引理2［3］（可積的第一充要條件）設(shè)f（x）是定義在［a，b］上的有界函數(shù)，f可積的充要條件是：f在［a，b］上的上積分等于下積分，即S＝s。

定理1［2］若f（x）是定義在［a，b］上的有界函數(shù)，則f（x）在［a，b］上是Riemann可積的充分且必要條件是f（x）在［a，b］上的不連續(xù)點(diǎn)集是零測集。

證明 必要性，若f（x）在［a，b］上是 Riemann可積的，則f（x）的Darboux上下積分相等，從而由（3）可知∫Iω（x）dx＝0。

因?yàn)棣兀▁）≥0，所以ω（x）＝0，a.e.x∈［a，b］。這說明f（x）在［a，b］上是幾乎處處連續(xù)的。

充分性，若f（x）在［a，b］上的不連續(xù)點(diǎn)集是零測集，則f（x）的振幅函數(shù)ω（x）幾乎處處等于零。從而由（3）可知

即f（x）的 Darboux上下積分相等，f（x）在［a，b］上是 Riemann可積的。

2 主要結(jié)論

變量分離方程

其中f（x），φ（y）分別在［a，b］上是有界函數(shù)，關(guān)于x，y的不連續(xù)點(diǎn)集是零測集。

如果φ（y）≠0可將（4）式改寫成

這里c為積分常數(shù)。

如果存在y0使φ（y0）＝0，則直接驗(yàn)證y＝y(tǒng)0也是（4）的解，當(dāng)y＝y(tǒng)0不包括在方程的通解（4.1）中時(shí)，必須補(bǔ)上特解y＝y(tǒng)0。

一階線性微分方程

其中p（x），Q（x）在［a，b］上是有界函數(shù)，關(guān)于x的不連續(xù)點(diǎn)集是零測集。

若Q（x）＝0，方程（5）變?yōu)?/p>

方程（5.1）稱為一階齊次線性微分方程.若Q（x）≠0，方程（5）稱為一階非齊次線性微分方程。

方程（5.1）是變量分離方程，其通解為

這里c是任意常數(shù)。

將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c（x），令

這里ˉc是任意常數(shù)，將（5.5）代入（5.2）得到方程（5）的通解

［1］王高雄，周之銘，米思銘.常微分方程［M］.北京：高等教育出版社，2006：30－48.

［2］周民強(qiáng).實(shí)變函數(shù)論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001：80－200.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.北京：高等教育出版社，1991：284－288.

For the separation of variable equation＝f（x）φ（y），where f（x），φ（y）are continuous function of"x，y"，as well as non－h(huán)omogeneous linear differential equations of first－order differential equations＝p（x）y＋Q（x），where p（x），Q（y）is continuous function of x.In this paper，the elementary solution was analyzed，combined with Lebesgue integral and Riemann integral related knowledge，the elementary solution was given when the discrete point set was zero test set.

First order differential equations；Variable separation equations；Non－h(huán)omogeneous linear differential equations；Zero measurable set

Elementary Solution to a Kind of First－ Order Differential Equation

Bai Fumei
（Jinzhong Teachers College，Shanxi Jinzhong 030600，China）

O175.29

A

1671－8151（2012）05－0478－03

2012－05－11

2012－05－29

白福梅（1976－），女（漢），山西柳林人，碩士，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論。

（編輯：馬榮博）