時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵

(海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 江蘇 南京211800)

GA-凸函數(shù)的若干不等式

時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵

(海軍指揮學(xué)院 浦口分院, 江蘇 南京211800)

利用GA-凸函數(shù)的定義和性質(zhì), 得到兩個(gè)不等式, 它們是已有的GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式的加細(xì)．

GA-凸函數(shù); Hadamard型不等式; 加細(xì)

引言與引理

定義1[1]設(shè)是定義在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù), 如果對于任意有

許多文獻(xiàn)([如[2]、[3]、[4])給出下面關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式．

定理1 設(shè)上的GA-下凸函數(shù), 則

引理1[1]設(shè)是定義在上的函數(shù), 則上的GA-下凸函數(shù)的充要條件為上的下凸函數(shù)．

引理2[5]設(shè)上的下凸函數(shù), 則對任意有

引理3 設(shè)是定義在上的GA-下凸函數(shù), 則

證明令那么

注：記

引理5 設(shè)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 則有

證明對任意有

由GA-下凸函數(shù)的定義立得(7)式．

主要結(jié)果及其證明

定理2 設(shè)上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),則

由式(9)和式(10)即可證得(8)式的左端不等式．

由GA-下凸函數(shù)的定義得

顯然, 定理2給出了(2)式左端部分的一個(gè)加細(xì)．

推論1 設(shè)上連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 則

證明在定理2中取立得．

定理3 設(shè)是定義在上的連續(xù)的GA-下凸函數(shù),滿足(3)式, 則有

由此證得(12)式的第一個(gè)不等式．

由GA-下凸函數(shù)的定義得

所以由式(14)、(15)、(5)、(6)得

(12)式的第三個(gè)不等式得證．

定理3給出了(1)式的一個(gè)加細(xì)．

推論2 設(shè)上連續(xù)的GA-下凸函數(shù), 那么有

證明當(dāng)滿足(3)式, 由定理3即得推論2．

[1] 吳善和. GA-凸函數(shù)與琴生不等式[J]. 貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2004, 22(2): 52～55

[2] ZHANG X M,CHU Y M.ADouble Inequality for the Gamma and Psi Functions[J]. International Journal of Modern Mathematics, 2008, 3(1): 23～27

[3] 華 云. 關(guān)于GA-凸函數(shù)的Hadamard型不等式[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008, 24(2): 147～149

[4] 張小明, 褚玉明. 解析不等式新論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2009: 198～203

[5] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第3版. 濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004: 375～376

Several Inequalities for GA-Convex Functions

SHI Tong-ye, WU Han
(Pukou College, Naval Command Institute, Nanjing 211800, China)

Some refinements to Hadamard’s type inequality for GA-convex functions in the existing literature are obtained by using the definition and the properties of GA-convex function.

GA-convex function; Hadamard’s type inequality; refinement

O178

A

1672-5298(2012)02-0007-04

2012-02-15

時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963- ), 男, 河北張家口人, 碩士, 海軍指揮學(xué)院浦口分院副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)