郭 忠

(浙江廣播電視大學(xué) 海鹽學(xué)院, 浙江 海鹽 314300)

一個(gè)平均不等式的反向及其類似

郭 忠

(浙江廣播電視大學(xué) 海鹽學(xué)院, 浙江 海鹽 314300)

在最近的幾百年中, 關(guān)于多個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均和幾何平均的差的估計(jì), 是平均不等式研究中的一個(gè)持續(xù)熱點(diǎn).本文利用最值壓縮定理, 給出了算術(shù)平均和幾何平均的差的兩個(gè)新的估計(jì), 部分地回答了J. M. Aldaz一個(gè)公開問(wèn)題.

算術(shù)平均; 幾何平均; 不等式; 最值壓縮定理

引言與引理

在數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)和經(jīng)濟(jì)生活中, 多個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均和幾何平均至關(guān)重要. 關(guān)于它們的差的估計(jì), 也是不等式理論研究中最基礎(chǔ)的一部分, 具體可見文獻(xiàn)[1～7]. 如無(wú)特殊說(shuō)明, 本文恒設(shè)

在其注中, 作者問(wèn): 不等式(1)式的反向不等式是什么？我們將在本文中研究此問(wèn)題, 并給出另一個(gè)類似不等式. 為此, 先介紹一下所謂的最值壓縮定理, 即下面的引理1至引理3.

引理1[7,P.217～221]設(shè)是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱凸集,連續(xù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 對(duì)記

引理2[7,P.217～221]設(shè)是有內(nèi)點(diǎn)的對(duì)稱凸集,為連續(xù)的對(duì)稱函數(shù), 且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若不等式上恒成立, 則對(duì)于任意的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

引理2顯然是引理1的直接推論.

若對(duì)引理1進(jìn)行函數(shù)變換, 可得引理3.

引理3[7,P.236～241]設(shè)區(qū)間為對(duì)稱函數(shù), 且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 若不等式上恒成立, 則對(duì)于任意的

關(guān)于最值壓縮定理的應(yīng)用, 可參考文獻(xiàn)[7]的第六章.

1 一個(gè)不等式的反向不等式

不等式(1)的非加權(quán)型反向不等式是

定理1 設(shè)的算術(shù)平均和幾何平均, 則有

這樣, 在非加權(quán)的情況下, 我們回答了J. M. Aldaz提出的一個(gè)公開問(wèn)題[8].

2 一個(gè)類似不等式

本節(jié)將繼續(xù)運(yùn)用最值壓縮定理來(lái)證明一個(gè)類似不等式, 它是算術(shù)平均與幾何平均的差的新上界.

定理2 設(shè)則有

故(4)式得證.

[1] 楊克昌. 平均值不等式的一個(gè)證明與加強(qiáng)[J]. 湖南數(shù)學(xué)通訊, 1986(4): 19～20

[2] 匡繼昌. 常用不等式[M]. 第3版．濟(jì)南: 山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2004: 35

[3] D.S.密特利諾維奇．解析不等式[M]. 張小萍, 王 龍, 譯．北京: 科學(xué)出版社, 1987: 107～110

[4] Cartwright D. I., Field M. J..A refinement of the arithmetic mean-geometric mean inequality[J]. Proc. Amer. Math.Soc.,1978(71): 36～38

[5] P.S.bullen.Handbook of Means and Their Inequalities[M]. Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003:156

[6] Mercer A Mcd.Improved upper and lower bounds for the difference ofAn-Gn[J]. Rocky Mountain J.Math., 2001(31): 553～560

[7] 張小明, 褚玉明. 解析不等式新論[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2009: 229～230, 233～234

[8] J. M. Aldaz.Self–improvement of the inequality between arithmetic and geometric means[J]. Journal of Mathematical Inequalities, 2009(3): 213～216

Reversion and Analogy of a Mean Inequality

GUO Zhong
(College of Haiyan, Zhejiang Radio & TV University, Zhejiang 314300, China)

In mean inequalities research, the estimation involving the difference between arithmetic mean and geometric mean in variables is continuous for hundreds of years. By means of compressed independent variables theorem, this paper gives the new upper bound of the difference between arithmetic mean and geometric mean, and partly solves an open problem put forward by J. M. Aldaz.

arithmetic mean; geometric mean; inequality; compressed independent variables theorem

O178

A

1672-5298(2012)02-0011-03

2011-12-12

郭 忠(1960- ), 男, 浙江海寧人, 浙江廣播電視大學(xué)海鹽學(xué)院講師. 主要研究方向: 數(shù)學(xué)教育, 解析不等式