顏鐘 ，李端有

(1.長(zhǎng)江科學(xué)院工程安全與災(zāi)害防治研究所，湖北武漢 430010;2.水利部水工程安全與病害防治工程技術(shù)研究中心，湖北武漢 430010)

1 引言

在單樁靜載試驗(yàn)中，通常需要弄清楚在荷載作用下樁的位移及變形規(guī)律，在樁基設(shè)計(jì)中也要明白樁的側(cè)阻力和端阻力有多大，給樁的沉降計(jì)算提供依據(jù)。我們能普遍接受的認(rèn)識(shí)就是樁在荷載的作用下，樁和樁周土發(fā)生相對(duì)位移，從而樁和樁周土之間有摩阻力的存在。通常我們可以通過埋設(shè)點(diǎn)法監(jiān)測(cè)儀器(比如沿樁長(zhǎng)方向埋設(shè)一系列的鋼筋計(jì)等方法)測(cè)得樁的應(yīng)力或應(yīng)變來計(jì)算出樁側(cè)摩阻力，也可以通過埋設(shè)線法監(jiān)測(cè)儀器(如滑動(dòng)測(cè)微計(jì)，三向位移計(jì)等)測(cè)得相應(yīng)的應(yīng)力、應(yīng)變來計(jì)算。

然而通過監(jiān)測(cè)儀器所得到的數(shù)據(jù)只是沿樁的一系列點(diǎn)的應(yīng)力或應(yīng)變值(線法儀器也不例外，如三向位移計(jì)也只是測(cè)出每米處的應(yīng)變)，在測(cè)試數(shù)據(jù)誤差較大的情況下，計(jì)算樁側(cè)摩力時(shí)不能直接把各點(diǎn)相連的折線用于后續(xù)的計(jì)算處理，這樣可能會(huì)將誤差惡性放大，甚至出現(xiàn)負(fù)摩阻力等不合理現(xiàn)象，所以在計(jì)算之前需要對(duì)實(shí)測(cè)的應(yīng)力或應(yīng)變曲線進(jìn)行趨勢(shì)擬合處理使之更加凸顯應(yīng)變的變化規(guī)律。

關(guān)于試驗(yàn)曲線的趨勢(shì)擬合，1994年朱國(guó)甫和李光煜先生就提出了約束樣條的擬合方法，從理論上作出了完整的推導(dǎo)。在實(shí)際的工作中，此方法會(huì)受到很大的約束，因?yàn)榧s束樣條法在計(jì)算過程中需要兩端有導(dǎo)數(shù)值，但在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)中很難得到(因?yàn)槲覀兪孪瓤赡懿⒉恢狼€的方程是什么，也就沒辦法求導(dǎo))，基于解決實(shí)際問題的需要，本文探討使用多項(xiàng)式擬合法來解決應(yīng)變曲線的趨勢(shì)擬合問題。

2 約束樣條法

約束樣條法的思想是通過樣條插值來進(jìn)行擬合計(jì)算，本處以三次樣條為例。設(shè)給定一組節(jié)點(diǎn)，x0＜x1＜x2＜…xn，設(shè) S(x)∈C2［x0，xn］滿足在每個(gè)小區(qū)間［xi，xi+1］上都是三次多項(xiàng)式，則稱 S(x)是節(jié)點(diǎn) x0，x1，x2，…xn上的三次樣條函數(shù)，若給定節(jié)點(diǎn)xj上的函數(shù)值為yj=f(xj)(j=0，1，…n)，同時(shí)有 S(xj)=yj(j=0，1，…n)，則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。若邊界的一階及二階導(dǎo)數(shù)值均已知，根據(jù)這些條件可以很方便求得三次樣條插值函數(shù)S(x)。三次樣條插值方法為一種十分成熟的方法，本文也不再做出詳細(xì)的推導(dǎo)。

使用樣條約束法擬合應(yīng)力或應(yīng)變曲線時(shí)，為了使數(shù)據(jù)看起來更加直觀，可以規(guī)定樁頂坐標(biāo)為0，向下沿樁長(zhǎng)坐標(biāo)依次增大。計(jì)算中，節(jié)點(diǎn)便為監(jiān)測(cè)儀器測(cè)值處的樁長(zhǎng)值，節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值便為測(cè)得的應(yīng)力或應(yīng)變值，按三次樣條插值方法便可以得到應(yīng)力或應(yīng)變擬合曲線。

3 簡(jiǎn)化擬合方法

由于用約束樣條的方法在實(shí)際的操作過程中使用不是很簡(jiǎn)便，我們需要嘗試使用簡(jiǎn)單函數(shù)來代替約束樣條的方法。通過多次嘗試，選用了幾種不需要導(dǎo)數(shù)值來擬合的簡(jiǎn)單函數(shù)，分別是三次多項(xiàng)式擬合，四次多項(xiàng)式擬合，五次多項(xiàng)式擬合及指數(shù)函數(shù)擬合。因?yàn)樵谔厥馇闆r下應(yīng)力或應(yīng)變實(shí)測(cè)值有可能為零或負(fù)值，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)不能在此種情況下使用，故不對(duì)這兩種方法進(jìn)行比較。

對(duì)于多項(xiàng)式插值，設(shè)給定節(jié)點(diǎn) x0，x1，x2，…xn上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0，1，…n)，關(guān)于n次多項(xiàng)式要使得S(xi)=yi(i=0，1，…n)，由此可得到關(guān)于系數(shù) a0，a1，a2，…an的 n+1 元線性方程組

解此方程組我們可以得到唯一的插值多項(xiàng)式S(x)。多項(xiàng)式插值并不是次數(shù)越高越好，我們都知道高次的插值多項(xiàng)式容易出現(xiàn)病態(tài)，在后面的工程實(shí)例中我們可以通過對(duì)比來選用適當(dāng)次數(shù)的多項(xiàng)式。對(duì)指數(shù)函數(shù)的插值過程不作過多的推導(dǎo)，讀者可參閱相關(guān)數(shù)值分析教材即可。

4 工程實(shí)例對(duì)比

某試樁工程位于武漢地區(qū)，為檢測(cè)試樁在各級(jí)荷載下各地層單位摩阻力及單位端阻力，對(duì)其中1根樁進(jìn)行單樁豎向抗壓靜載試驗(yàn)。儀器采用瑞士Solexperts AG公司生產(chǎn)的三向位移計(jì)，加壓方式為堆載法，通過千斤頂進(jìn)行分級(jí)施加反力，共分9級(jí)加壓，第一次施加荷載1 000 kN，最大值為5 000 kN，每級(jí)加壓后荷載持續(xù)2 h。實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線如圖1所示。

圖1 實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線

從圖1可以看出實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)趨勢(shì)性不十分明顯，整體看起來顯得比較雜亂，不能滿足對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行后續(xù)分析的需要，故需對(duì)試驗(yàn)曲線進(jìn)行趨勢(shì)擬合，下面我們分別用不同的擬合方法來對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合處理。

按插值函數(shù)的方法對(duì)每級(jí)荷載下的應(yīng)變曲線分別按三次擬合多項(xiàng)式，四次擬合多項(xiàng)式，五次擬合多項(xiàng)式及指數(shù)函數(shù)方法進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖2～5所示。

圖2 三次多項(xiàng)式擬合法

圖3 四次多項(xiàng)式擬合法

圖4 五次多項(xiàng)式擬合法

圖5 指數(shù)函數(shù)擬合法

從圖2和圖3可以看出，通過三次多項(xiàng)式擬合法和四次多項(xiàng)式擬合法所得到的曲線是比較光滑的，而且從圖上可以看出插值函數(shù)是收斂的。通過經(jīng)驗(yàn)知道擬合后的應(yīng)變曲線的總體趨勢(shì)符合單樁在豎向荷載作用下的應(yīng)變規(guī)律，但擬合后的曲線和原應(yīng)變曲線的差別能否讓我們接受，可以通過求相關(guān)系數(shù)的方法來進(jìn)行查驗(yàn)。如果相關(guān)系數(shù)越接近1則擬合效果就越好，反之相關(guān)系數(shù)過小，則認(rèn)為擬合效果差，插值函數(shù)方程是不可信的，得到回歸應(yīng)變曲線也就應(yīng)該舍棄。

從圖4可以看到，使用五次多項(xiàng)式擬合回歸應(yīng)變時(shí)，回歸應(yīng)變曲線變化趨勢(shì)變得復(fù)雜化，不再符合實(shí)際情況。我們都知道，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)過高時(shí)，插值函數(shù)可能產(chǎn)生病態(tài)，在本例中五次多項(xiàng)式插值函數(shù)已經(jīng)產(chǎn)生病態(tài)，我們也不再追求更高階的多項(xiàng)式插值函數(shù)，更高階的多項(xiàng)式插值函數(shù)可能產(chǎn)生更嚴(yán)重的病態(tài)。

對(duì)于指數(shù)函數(shù)擬合從圖5可以看到，總體上來說曲線保留了一定的規(guī)律，但也可以看出應(yīng)變曲線略有發(fā)散的趨勢(shì)，雖然有發(fā)散的趨勢(shì)，但對(duì)于我們來說我們不需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行前推或后推，只要擬合后的數(shù)據(jù)相對(duì)于擬合前數(shù)據(jù)來說是可靠的，我們也是可以將其作為一個(gè)對(duì)比的方法，擇優(yōu)選擇。

對(duì)于已經(jīng)是產(chǎn)生病態(tài)的五次多項(xiàng)式我們不再對(duì)其進(jìn)行考慮，對(duì)剩下的幾種方法進(jìn)行對(duì)比來?yè)駜?yōu)選擇。擬合后的回歸應(yīng)變能否使用，必須要看其相關(guān)系數(shù)是否夠高，對(duì)三種方法的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比分析，看哪一種方法更能滿足我們對(duì)精度的要求，使擬合后的應(yīng)變曲線和實(shí)際情況的吻合度最好。三種擬合方法相關(guān)系數(shù)對(duì)比情況如表1所示。

相關(guān)系數(shù)對(duì)比表 表1

從表中我們可以看出，三次多項(xiàng)式擬合和四次多項(xiàng)式擬合的相關(guān)差別不大，四次多項(xiàng)式擬合方法的相關(guān)系數(shù)比三次多項(xiàng)式擬合稍高，指數(shù)函數(shù)擬合方法的相關(guān)系數(shù)相對(duì)來說比較低，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度看就認(rèn)為指數(shù)函數(shù)擬合曲線不如前兩種方法好，精度相對(duì)較低。本例中，四次多項(xiàng)式擬合時(shí)相關(guān)系數(shù)最小也為0.899 611，最高達(dá)0.966 644，可以認(rèn)為擬合后的回歸應(yīng)變和實(shí)測(cè)應(yīng)變相關(guān)性很強(qiáng)，可以使用回歸應(yīng)變來代替實(shí)測(cè)應(yīng)變進(jìn)行后續(xù)計(jì)算。通過本工程實(shí)例的驗(yàn)證及幾種方法的比選，認(rèn)為選取四次多項(xiàng)式擬合應(yīng)變曲線是可行的，從相關(guān)系數(shù)也可以看到在精度上完全可以達(dá)到工程要求的精度。

5 結(jié)語(yǔ)

通過工程實(shí)例證實(shí)，采用四次多項(xiàng)式擬合的方法來對(duì)實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線進(jìn)行趨勢(shì)擬合處理是可行的，這種處理實(shí)測(cè)應(yīng)變曲線的方法無樣條差值擬合時(shí)的限制條件，故在實(shí)際的工程應(yīng)用中有較強(qiáng)的適用性。當(dāng)然在應(yīng)用中我們也還是應(yīng)該要考慮到地層分層多、地質(zhì)情況復(fù)雜時(shí)，應(yīng)變曲線起伏變化比較大，很難用簡(jiǎn)單函數(shù)一次實(shí)現(xiàn)對(duì)這種變化趨勢(shì)的逼近。對(duì)于這個(gè)問題，我們可以采用分段的思想來解決，即我們可以把應(yīng)變曲線適當(dāng)?shù)姆侄?，采用分段函?shù)的方法進(jìn)行四次多項(xiàng)式插值即可。

［1］朱國(guó)甫，李光煜.確定樁側(cè)摩阻力曲線的約束樣條擬合方法［J］.巖土力學(xué)，1994，15(3):1～8

［2］王心順.單樁側(cè)摩阻力曲線的推求及相關(guān)問題探討［J］.甘肅科技縱橫，2006，35(1):125

［3］蒲訶夫，鄭俊杰，章榮軍.樁土界面荷載傳遞模型的改進(jìn)及其數(shù)值實(shí)現(xiàn)［J］.華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27(1):84～88

［4］李慶揚(yáng)，王能超，易大義.數(shù)值分析(第五版)［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2008

［5］梁勝增.淺析實(shí)測(cè)曲線擬合法的誤差來源與改進(jìn)應(yīng)用［J］.硅谷.2010(9):129