吳木營(yíng) 陳少文 劉敏霞 陳桂華 羅詩(shī)裕 邵明珠
(東莞理工學(xué)院電子工程學(xué)院 東莞 523808)
1944年,蘇聯(lián)物理學(xué)家Veksler(次年,McMillan)發(fā)現(xiàn),高頻電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子具有保持相位穩(wěn)定的能力[1?3]。此后,加速器的能量上限實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的突破。值得注意的是,加速器的能量和束流強(qiáng)度不能兼得,這一矛盾激勵(lì)著研究人員對(duì)加速器技術(shù)和束流動(dòng)力學(xué)給予極大關(guān)注,先后產(chǎn)生了儲(chǔ)存環(huán)技術(shù)、超導(dǎo)技術(shù)和束流冷卻技術(shù)等。本文介紹高頻電壓調(diào)制和束流冷卻同時(shí)存在對(duì)同步運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響。
理想情況下粒子的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的,但由于高頻電壓調(diào)制(或擾動(dòng))——如高頻噪聲、電源波紋及機(jī)械振動(dòng)等因素——運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性將受影響[4]。在很多同步加速器中,都觀察到這一現(xiàn)象。比如在歐洲核子研究中心(CERN)的超級(jí)質(zhì)子同步加速器(SPS)上就曾發(fā)現(xiàn)過(guò)[4],并在單頻假設(shè)和線性近似下進(jìn)行了研究。高頻電壓調(diào)制,也成功地應(yīng)用于高能粒子束的彎晶超慢引出,也應(yīng)用于超短束流引出以及強(qiáng)流集體不穩(wěn)定性的補(bǔ)償?shù)取T诃h(huán)形加速器(同步加速器、儲(chǔ)存環(huán)等)的一個(gè)或幾個(gè)直線段上安裝冷卻器,可實(shí)現(xiàn)束流冷卻。由于束流冷卻,離子的 Betatron振蕩和同步振蕩將逐漸衰減。研究人員曾分別考慮過(guò)電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[4?7]。本文將對(duì)這兩種效應(yīng)進(jìn)行綜合考慮。先在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)分析冷卻環(huán)的高頻(RF)電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng),把粒子的同步運(yùn)動(dòng)方程化為具有阻尼項(xiàng)和參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的擺方程;在小振幅近似下,把擺方程化為具有參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的廣義Duffing方程。然后,用Melnikov方法分析周期軌道的分叉性質(zhì)和異宿軌道的 Smale馬蹄的混沌行為,并討論系統(tǒng)的臨界條件。結(jié)果表明,系統(tǒng)的穩(wěn)定性與其參數(shù)有關(guān),只需適當(dāng)調(diào)節(jié)參數(shù)就可提高同步運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。
在理想情況下,如選擇相位f和 P = ?(h|η|νs)δ作為相空間正則坐標(biāo),時(shí)間t為獨(dú)立變數(shù),對(duì)于同步加速器,粒子縱向運(yùn)動(dòng)方程可表示為[5]:
其中,ω0是粒子回旋頻率,ωs是同步粒子振蕩頻率,νs=ωs/ω0=(h|η|eV/2π是|cosfs|=1時(shí)的無(wú)量綱同步振蕩“頻率”,fs是同步相位,η是相移因子(對(duì)于η<0的加速器,0
其中,bsin(νmθ+χ0)是射頻電壓調(diào)制,b=ΔV/V 是電壓調(diào)制振幅,νm=ωm/ω0是無(wú)量綱的電壓調(diào)制頻率(ωm是電壓調(diào)制頻率,角標(biāo)m表示調(diào)制),χ0是調(diào)制電壓初相位;而2αP/ω0是冷卻項(xiàng),α為描述冷卻效應(yīng)或輻射衰減的衰減系數(shù)。對(duì)于η<0的加速器,正則方程(2)可化為:
東莞市科技計(jì)劃項(xiàng)目(200910814032)資助
其中μ0=2α/ω0。式(3)是一個(gè)帶有阻尼項(xiàng)和參數(shù)激勵(lì)項(xiàng)的擺方程。
將 sinf做 Taylor展開(kāi):sinf =f ?f3/6 +··,在小振幅近似下,式(3)可化為
式(5)的等價(jià)系統(tǒng)由式(6)給出
當(dāng)ε=0時(shí),式(6)化為
系統(tǒng)的Hamilton量為
在相平面上系統(tǒng)有三個(gè)奇點(diǎn),一個(gè)中心型奇點(diǎn)(0,0),兩個(gè)鞍點(diǎn)型奇點(diǎn)(1,0)和(?1,0)。當(dāng)h=1/4時(shí),存在兩條連結(jié)鞍點(diǎn)型奇點(diǎn)(±1,0)的異宿軌道(分支軌道);當(dāng)0
兩條異宿軌道由下可得
而周期軌道可以表示為
相應(yīng)的周期
其中,sn、cn、dn為雅可比橢圓函數(shù);0 由于高頻電壓調(diào)制和冷卻效應(yīng)的影響,式(5)表征的系統(tǒng)存在較典型的混沌行為與分叉性質(zhì)。 圖1 系統(tǒng)的有效勢(shì)(a)和相平面特征(b)Fig.1 Effective potential of the system (a) and its phase planar properties (b). 對(duì)任一給定的一對(duì)互質(zhì)正整數(shù)(m,n),存在唯一的 k,滿足 Tk=4(1+k2)1/2K(k)=2πm/ωn,構(gòu)造周期軌道的Melnikov函數(shù),并完成積分,可得 其中 K'(k)=K(k'),E(k)為第二類完全橢圓積分。由式(15),系統(tǒng)存在偶階次諧分叉。當(dāng)參數(shù)f、m滿足條件 當(dāng)b/a<(b/a)c時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,反之則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由式(17)可見(jiàn): (1) 如果系統(tǒng)不存在高頻電壓調(diào)制(b=0),條件b/a<(b/a)c始終滿足,系統(tǒng)不出現(xiàn)次諧分叉,狀態(tài)是數(shù)學(xué)穩(wěn)定的。 (2) 電壓調(diào)制振幅b越小,條件b/a<(b/a)c越易滿足,系統(tǒng)越穩(wěn)定。當(dāng)滿足條件 系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。當(dāng)b (3) 衰減系數(shù)a越大,式(27)越易滿足,系統(tǒng)越穩(wěn)定。當(dāng)滿足條件 系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。當(dāng)a>ac系統(tǒng)是穩(wěn)定的,當(dāng)a 本文同時(shí)考慮了電壓調(diào)制和束流冷卻對(duì)同步運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響,在經(jīng)典力學(xué)框架內(nèi)和小振幅近似下,把同步運(yùn)動(dòng)方程化為參數(shù)激勵(lì)的Duffing方程,用 Melnikov方法對(duì)周期軌道的分叉性質(zhì)和異宿軌道的Smale馬蹄混沌行為進(jìn)行了分析。結(jié)果表明,在無(wú)RF電壓調(diào)制和冷卻存在時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的,是經(jīng)典束流動(dòng)力學(xué)的結(jié)果;經(jīng)進(jìn)一步揭示,即使RF電壓調(diào)制存在,只要冷卻足夠強(qiáng),系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。即對(duì)于強(qiáng)冷卻系統(tǒng),即使RF電壓調(diào)制存在,同步運(yùn)動(dòng)也可能是穩(wěn)定的。此結(jié)果是在考慮高頻電壓調(diào)制和束流冷卻同時(shí)存在時(shí)導(dǎo)出的。如果考慮到影響同步運(yùn)動(dòng)的其他因素,結(jié)果將做適當(dāng)修正。 1 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 43: 329 2 Veksler V I. Compt Rend Acad Sci USSR, 1944, 44: 365 3 McMillan E M. Phys Rev, 1945, 68: 143 4 劉慧杰, 羅詩(shī)裕, 邵明珠. 高頻電壓調(diào)制對(duì)同步運(yùn)動(dòng)的影響[J]. 原子核物理評(píng)論, 2011, 28(2): 191 LIU Huijie, LUO Shiyu, SHAN Mingzhu.The effect on synchrotron motion by modulation of high frequency voltage[J]. Nuclear Physics Review, 2011, 28(2): 191 5 Lee S Y. Accelerator Physics[M]. 2nd Edition. Shanghai:Fudan University Press, 2006: 309?315 6 肖慧娟, 羅詩(shī)裕, 邵明珠. 多尺度法與準(zhǔn)等時(shí)同步加速器粒子縱向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性[J]. 原子核物理評(píng)論, 2011,28(3): 300 XIAO Huijuan, LUO Shiyu, SHAO Mingzhu. The multi-scalar techniques and stabilities of longitudinal motion of particles in quasi-isochronous synchrotron[J].Nuclear Physics Review, 2011, 28(3): 300 7 范麗仙, 羅詩(shī)裕, 邵明珠. 正弦平方勢(shì)與環(huán)形加速器的彎晶束流引出[J]. 原子核物理評(píng)論, 2011, 28(1): 63 FAN Lixin, LUO Shiyu, SHAO Mingzhu. Sine-squared potential and beam extraction in circulation accelerator by bent crystal[J]. Nuclear Physics Review, 2011, 28(1): 63 8 劉曾榮. 混沌的微擾判據(jù)[M]. 上海: 上??萍冀逃霭嫔? 1994 LIU Zengrong. Perturbation Criteria for Chaos[M].Shanghai: Shanghai Scientific and Technological Education, 1994 9 邵明珠, 羅詩(shī)裕. 正弦平方勢(shì)與帶電粒子溝道效應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)[J]. 物理學(xué)報(bào), 2007, 56(6): 3407 SHAO Mingzhu, LUO Shiyu. The sine-squared potential and the band constraction for channelling effects[J]. Acta Phys Sin, 2007, 56(6): 3407 10 羅詩(shī)裕, 邵明珠, 羅曉華. 正弦平方勢(shì)與應(yīng)變超晶格位錯(cuò)動(dòng)力學(xué)[J]. 中國(guó)科學(xué)(物理學(xué),力學(xué)和天文學(xué)), 2010,40(2): 207 LUO Shiyu, SHAO Mingzhu, LUO Xiaohua. The sine-squared potential and dislocation dynamics for strained superlattice[J]. Sci Chin(Physics, Mechanics &Astronomy), 2010, 40(2): 2073 周期軌道的次諧分叉
3.1 周期軌道的Melnikov函數(shù)
3.2 次諧分叉的物理意義
4 結(jié)語(yǔ)