李波，吳淑琴，谷明琴

(1.鄭州威科姆科技股份有限公司衛(wèi)星定位應(yīng)用工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 450000;2.中南大學(xué) 信息工程學(xué)院，湖南長沙 410083)

近年來，多智能體的分布式協(xié)調(diào)控制如編隊控制［1-2］、群集問題［3］、分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)［4］、通信網(wǎng)絡(luò)的擁塞控制［5］等領(lǐng)域受到了極大的關(guān)注.Vicsek等提出了一個簡單的自驅(qū)動的粒子群相變和數(shù)值型復(fù)雜動力學(xué)的模型［6］，Jadbabaie等用圖論對Vicsek模型在理論上進(jìn)行了解釋［7］;Olfati-Saber［2］和 Murray［8］介紹了網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)一致性問題的理論框架;文獻(xiàn)［9］提出了分析多智能體系統(tǒng)的理論框架;Lin等分析了具有變拓?fù)浜婉詈蠒r間延遲的多智能體網(wǎng)絡(luò)平均一致性問題［10］，及二階多智能體網(wǎng)絡(luò)的一致性控制問題［11］.與上述方法不同，本文研究了具有混合階多智能體離散動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的擬平均一致性問題，并提出一致性協(xié)議解決該問題.用Lyapunov函數(shù)和代數(shù)圖論分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，實驗結(jié)果表明，該方法能夠有效解決混合階多智能體離散動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)的擬平均一致性問題.

1 圖論和一致性協(xié)議

1.1 圖論

令G=(V，ε，A)為加權(quán)無向圖，其n階頂點集V={v1，v2，…，vn}，邊集 ε =V × V，加權(quán)鄰接矩陣A=(aij)，aij≥0.節(jié)點的下標(biāo)屬于有限下標(biāo)集I={1，2，…，n}，G 的邊集記為 eij=(vi，vj).與邊相關(guān)聯(lián)的n×n階鄰接矩陣A的元素均為非負(fù)，如式(1)所示.

因而，如果圖G=(V，ε，A)是無向圖或平衡圖，那么A就是對稱矩陣.

集合 Ni={vj∈V∶(vi，vj)∈ε}表示為 vi的鄰集，節(jié)點集V的任一子集J稱為簇.簇J的鄰集定義為

節(jié)點vi的入度、出度定義為

對于鄰接元素為0-1的圖，degout(vi)=|Ni|.圖G的度矩陣等于對角陣Δ=［Δij］.

式中:

圖G的Laplacian矩陣定義為

由定義知，如果圖G是平衡圖或無向圖，那么Laplacian矩陣的每行元素之和為零.因此，Laplacian矩陣有一個特征值為零，與零特征值所對應(yīng)的右特征向量為

用Gsw(t)表示變拓?fù)錈o向或有向網(wǎng)絡(luò)，其中切換信號為 sw(t)∶［0，+ ∞)→{1，2，…，M}，M∈Z+.Lsw表示變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)的Laplacian矩陣.

引理1［8］令 G=(V，ε，A)為加權(quán)無向圖或有向圖，其Laplacian矩陣為L.無向圖G節(jié)點的最大出度，記為 dmax(G)=maxidegout(vi).那么，L(G)的所有特征值都位于所定義的圓盤內(nèi)部:

1.2 一致性問題

定義1 令 χ∶Rn→R是n變量的函數(shù) ξ1，ξ2，…，ξn，ξ(0)記為系統(tǒng)的初始狀態(tài).動力學(xué)網(wǎng)絡(luò)中的χ-一致性問題是輸入ui計算x(ξ(0))的分布式方式，且僅依賴于節(jié)點vi自己和它鄰近的狀態(tài).稱狀態(tài)反饋

假設(shè)多智能體系統(tǒng)是混合一、二階的異質(zhì)多智能體系統(tǒng).智能體的總個數(shù)為n，其中一階和二階智能體個數(shù)分別為n1、n2，每個二階智能體的動力學(xué)方程可以表示為差分方程形式:

式中:ξi(k)=［xi(k)vi(k)］T是二階智能體的狀態(tài)，ui(k)是控制輸入.矩陣A、B分別為:

每個一階智能體的動力學(xué)方程可以表示為差分方程形式:

式中:ξi(k)=xi(k).

定義2 離散時間的擬平均一致性問題:假設(shè)G=(V，ε，A)是強(qiáng)連通有向網(wǎng)絡(luò)或連通無向網(wǎng)絡(luò).如果存在一個漸近的穩(wěn)定平衡點ξ*，滿足:

提出下面的一致性協(xié)議解決混合階異質(zhì)積分智能體網(wǎng)絡(luò)中的一致性問題.

1.3 一致性協(xié)議

定義3 對于定拓?fù)浜妥兺負(fù)渚W(wǎng)絡(luò)，可以用一致性協(xié)議來解決擬平均一致性問題:

式中:aij是圖的鄰接矩陣的元素，步長ζ＞0.

那么式(2)、(3)可以寫為統(tǒng)一的形式:

圖1是具有4個異質(zhì)積分智能體的無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(其中節(jié)點1、3是二階智能體，而節(jié)點2、4是一階智能體).那么對應(yīng)于圖1的矩陣ˉM、?L、ˉL、ˉP可以寫為:

圖1 混合階智能體的無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 The topology of network with mixed order integrator agents

相應(yīng)的系統(tǒng)動力學(xué)方程也變?yōu)?/p>

對于離散時間的變拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以重新寫為

式中:ˉPsw表示隨著切換信號變化而變化的ˉP矩陣.

2 網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)的穩(wěn)定性分析

定理1 如果0＜ζ＜1/(Δmax(G))，則由一階和二階多智能體組成的多智能體系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)是無向連通的或有向平衡連通的，那么ˉP的特征值只有一個為1，而其他特征值的模均小于1.且

證明:

從以上推導(dǎo)可以得到下面的矩陣方程:

如果要得到|λi|≤1，只需要

從而可知，1是Pˉ的特征值.

由1)的證明可知，若0＜ζ＜1/(Δmax(G))，則Pˉ的特征值除一個為1以外，其余特征值的模均小于1.因此，因為JφS=SPˉ，可知S的第一列是，因為S－1Jf=S－1，可知S－1的第一行是.由于 SS－1=I，且滿足.從而可以得到證畢.

證明

定理3 令Gsw=(V，ε，A)為變拓?fù)溥B通加權(quán)無向圖或強(qiáng)連通平衡有向圖，當(dāng)0＜ζ＜1/dmax(Gsw)(其中dmax(Gsw)表示變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的最大度)，利用協(xié)議(5)可以實現(xiàn)擬平均一致.

證明

由于0＜ζ＜1/dmax(Gsw)，則由定理1可知，系統(tǒng)在k時刻的矩陣除了有一個特征值為1外，其余特征值的模嚴(yán)格小于1.

也成立，因此協(xié)議(5)可是實現(xiàn)擬平均一致.證畢.

定義位置的不一致函數(shù):

3 仿真結(jié)果

圖2顯示了由6個節(jié)點組成的4種不同的無向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，其中節(jié)點1、5為二階智能體，節(jié)點2、3、4、6為一階智能體，且都具有0～1的權(quán)值.這4種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu){Ga，Gb，Gc，Gd}都是連通的.圖 3 為一個有限狀態(tài)自動機(jī)，狀態(tài)集為{Ga，Gb，Gc，Gd}.混雜系統(tǒng)從狀態(tài)Ga開始，每經(jīng)過一個時間間隔，按照圖3所示的狀態(tài)自動機(jī)變化到下一個狀態(tài).

圖2 4種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.2 4 kinds of topology configurations

圖3 4個狀態(tài)的有限狀態(tài)自動機(jī)Fig.3 A finite automaton with four states

圖4～5顯示了變拓?fù)潆x散時間異質(zhì)多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性控制的仿真結(jié)果.

圖4 步長為0.33時變拓?fù)錈o向網(wǎng)絡(luò)下的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results in switching topology networkwith step 0.33

圖5 步長為0.34時變拓?fù)錈o向網(wǎng)絡(luò)下的仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results in switching topology network with step 0.34

仿真研究中，狀態(tài)的初值為［3(2，－2)－1(－2，2) － 2 4］T，k=1，一致位置狀態(tài)分量為0.667，一致速度分量為零.步長分別取不同的值0.33和0.34.從圖 5 中可以看出當(dāng)步長大于 0.33時，系統(tǒng)開始趨于發(fā)散.仿真結(jié)果證明了穩(wěn)定性分析的正確性.

4 結(jié)束語

本文提出了離散時間多智能體系統(tǒng)上的擬平均一致性問題和協(xié)議，分析了一致性協(xié)議適用的條件，即如果多智能體系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的且是平衡的，并且步長ζ不大于1/dmax(G)，那么運用提出的一致性協(xié)議，可以使系統(tǒng)達(dá)到擬平均一致.并在Matlab中仿真了變拓?fù)錈o向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的多智能體系統(tǒng)，步長 ζ分別取0.33、0.34，以及相應(yīng)的位置不一致函數(shù)V=‖δx(k)‖2的曲線.仿真結(jié)果證明了理論分析的有效性.

［1］FAX A，MURRAY R M.Information flow and cooperative control of vehicle formations［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49(9):1465-1476.

［2］OLFATI-SABER R，MURRAY R M.Distributed cooperative control of multiple vehicle formations using structural potential functions［C］//The 15th IFAC World Congress.Barcelona，Spain，2002:346-352.

［3］REYNOLDS C W.Flocks，herds，and schools:a distributed behavioral model［J］.ACM SIGGRAPH Computer Graphics，1987，21(4):25-34.

［4］CORTES J，BULLO F.Coordination and geometric optimization via distributed dynamical systems［J］.The SIAM Journal on Control and Optimization，2006，44(5):1543-1574.

［5］PAGANINI F，DOYLE J，LOW S.Scalable laws for stable network congestion control［C］//Proc of the Int Conf on Decision and Control.Los Angeles，USA，2001，1:185-190.

［6］VICSEK T，CZIROK A，BEN-JACOB E，et al.Novel type of phase transition in a system of self-driven particles［J］.Physical Review Letters，1995，75(6):1226-1229.

［7］JADBABAIE A，LIN J，MORSE S A.Coordination of groups of mobile agents using nearest neighbor rules［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48(6):988-1001.

［8］OLFATI-SABER R，MURRAY R M.Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49(9):1520-1533.

［9］OLFATI-SABER R，F(xiàn)AX J A，MURRAY R M.Consensus and cooperation in networked multi-agent systems［J］.Proceedings of IEEE，2007，195(1):215-233.

［10］LIN P，JIA Y M.Average-consensus in networks of multiagents with both switching topology and coupling time-delay［J］.Physica A:Statistical Mechanics and its Applications，2008，348(1):303-313.

［11］LIN P，JIA Y M.Consensus control for networks of agents with double integrator dynamics［EB/OL］.［2010-05-12］.http://www.paper.edu.cn.

［12］LEE D J，SPONG M W.Agreement with non-uniform information delays［C］//Proceedings of the 2006 American Control Conference.Minneapolis，USA，2006:750-756.