魏秋萍，張景肖,張 波

0 引言

銀行在利用歷史數(shù)據(jù)創(chuàng)建信用評分模型時，能夠采集到兩大類客戶群的數(shù)據(jù)：曾經(jīng)被批準的申請人和曾經(jīng)被拒絕的申請人的信息。對于曾經(jīng)被批準的申請人，銀行不僅有申請信息，還能根據(jù)其過去的表現(xiàn)判斷其是好客戶還是壞客戶。而對于曾經(jīng)被拒絕的申請人，銀行除了知道他們的申請信息以外，無法知道他們是好還是壞客戶。由于被拒絕的申請人信息缺失，在創(chuàng)建信用評分模型的時候這些樣本的數(shù)據(jù)常常被忽略。而信用評分模型的應用對象應該是未來所有的申請人構(gòu)成的總體，這個總體也稱為入門總體[16]。由所有被接受的申請人構(gòu)成的建模樣本顯然并不是總體的代表樣本。這樣如何推斷那些曾經(jīng)被拒絕的申請人的好壞定性并把他們也加入到建模樣本中來，就是困擾信用評分領域多年的拒絕推斷問題[12]。

對于拒絕推斷問題的理論研究始于上個世紀70年代末，在過去的30年間，一些學者圍繞是否該做拒絕推斷以及如何做拒絕推斷展開了研究。Hsia[12]基于假設P(default|X,rejected)=P(default|X,accepted)提出了用augmentation或re-weighting的方法來做拒絕推斷。Heckman[11]首次提出了用雙值型的二階段模型來做拒絕推斷。Boyes等[2]對信貸審批決策和違約模型這兩個序貫事件創(chuàng)建雙值型的probit模型，以此避免了樣本偏差。Poirier[17]認為如果不引入一個額外的數(shù)據(jù)集則不可能評估由于樣本偏差帶來的損失。Hand等[10]深入研究了拒絕推斷問題，他們認為除非對好壞客戶的違約分布做出額外的假設，否則拒絕推斷問題并不能起作用。Joanes[14]首先針對被接受的申請人組成的樣本用logistic回歸創(chuàng)建信用評分模型，然后應用到被拒絕的申請人來做拒絕推斷。Copas和Li[6]認為非隨機缺失問題導致絕大多數(shù)統(tǒng)計方法難以用來解決拒絕推斷問題。 Feelder[9]用EM（Expectation-Maximizarion）算法把拒絕推斷作為缺失值填補來處理，他考慮了非隨機缺失的情況，也就是被接受樣本和拒絕樣本的違約概率分布是不同的，但是他提出的算法使用了隨機缺失的假設。Chen和?stebro[4]認為被接受的樣本可以代表所有申請人這個總體，不需要做拒絕推斷；被接受的樣本和被拒絕的樣本中好客戶的比例是一樣的和接受樣本和拒絕樣本中的違約分布不同需要拒絕推斷。Feelders[9]指出解決拒絕推斷唯一的方法是雙值型二階段模型，該方法曾經(jīng)被認為是無效的。Ash和Meester[1]建議使用信用局數(shù)據(jù)，通過考察被拒絕的申請人在其它銀行的表現(xiàn)來推斷他到底是好客戶還是壞客戶。Jacobson和Roszbach[13]用實證分析說明了P(default|X,rejected)不等于 P(default|X,accepted)，并且用雙值型的Probit模型創(chuàng)建了信用評分模型。Banasik、Crook和Thomas[8]用模擬數(shù)據(jù)討論了信用評分模型中的樣本偏差。Crook和Banasik[7]研究了重抽樣和外推法的效率，認為這些技巧并沒有比只是使用被接受客戶的模型要好。Verstraeten等[20]通過實證分析來探索信用評分模型中的樣本偏差。Kim和Sohn[19]用雙值型模型來做拒絕推斷，他們的結(jié)論表明，只是使用被接受的客戶創(chuàng)建模型的確存在樣本偏差，拒絕推斷可以提高模型的效果但是并不能完全解決樣本偏差的問題。Banasik和Crook[2]試圖探索Heckman樣本選擇模型和改變樣本權(quán)重是否可以改善模型的預測能力，但是實證研究表明這兩種方法單獨或者結(jié)合起來使用都只有微小的成效。

對于信用評分模型中建模樣本的偏差（稱為拒絕偏差（Reject Bias））[18]:173，是否需要通過拒絕推斷來校正以及到底如何做拒絕推斷，到目前為止并沒有一個定論。但是這個問題對于提升信用評分模型的預測準確性有極其重要的意義，值得進一步的研究和探討。

1 拒絕推斷的理論價值

可以把被接受的申請人組成的樣本稱為接受樣本，把被拒絕的申請人組成的樣本稱為拒絕樣本。毋庸置疑，接受樣本和拒絕樣本中都有真正的好客戶和壞客戶。假設接受樣本中的好客戶的數(shù)量用nag，壞客戶的數(shù)量用nab來表示，拒絕樣本中的好客戶的數(shù)量用nrg，壞客戶的數(shù)量用nrb來表示。

信用評分模型采用的模型大都可以用

這個一般形式來概括，其中 pt=P(yt=1|xt)或者pt=P(yt=0|xt)。因此，模型的優(yōu)比：

是模型參數(shù)估計過程中必須重視的參數(shù)之一。如果建模樣本只是使用接受樣本，則該樣本中好壞客戶發(fā)生比odds1=nag/nab。如果建模樣本中同時使用了接受樣本和拒絕樣本，即建模過程中使用了拒絕推斷的技術(shù)，則該樣本中好壞客戶的發(fā)生比為

無論是接受樣本還是拒絕樣本，其中的客戶都是通過一定的審批機制來決定到底是被接受還是被拒絕的。這個審批機制可能是一個專家評分模型也可能是原先的信用評分模型。拒絕推斷是否必要和這個原先的審批機制不無干系。下面分三種情形來探討拒絕推斷的必要性。

情景1：原有的審批機制完全無效，拒絕樣本中的申請人是完全隨機抽取的。因此壞客戶在接受樣本和拒絕樣本中隨機等可能出現(xiàn)的，這兩個樣本中的好壞客戶比（odds）是相等的，即

可得 nagnrb=nrgnab。所以

因此，在原有的審批機制完全無效的情況下，是否使用拒絕推斷對模型的預測效果沒有任何影響。

情景2：原有的審批機制完全有效，基于其做出的決策也是完全正確的，也就是接受樣本中全是好客戶，而拒絕樣本中全是壞客戶，即nab=0,nrg=0，所以

如果只是使用被接受客戶建模，就會錯誤的認為所有的申請人都是好客戶，這顯然不符合邏輯。只有把被拒絕客戶也加入進來構(gòu)建新的建模樣本才會有比較合理的好壞客戶比

盡管這種情形是一個非常理想的狀態(tài)，一般不可能在現(xiàn)實中出現(xiàn)，但是在這種情況下拒絕推斷是非常必要的。

情景3：原有的審批機制是有效的，接受樣本中絕大多數(shù)是好客戶，拒絕樣本中絕大多數(shù)是壞客戶。一般來說，在實際應用過程中，銀行會把評分從高到底排序分成若干個評分池[22]。具體來說，假如某評分模型分成了i+j個評分池，如果某個申請人的評分落在了第1,2,…,i個評分池中，則表明他可以被批準；如果其評分落在了第i+1,i+2,…,i+j個評分池中，則表明他應該被拒絕。一個有效的評分模型能夠保證分數(shù)高的評分池中的好壞客戶比要大于分數(shù)低的評分池中的好壞客戶比，即

在這種情況下，可以證明

也就是只是使用接受樣本的好壞比要大于使用了拒絕推斷的建模樣本中的好壞比。

證明：（8）的證明可以用不完全歸納法。

假設當i=k,j=l時，odds1＞odds2成立，可以令

則有

且

則當i=k+1,j=l+1時，有

也成立。證畢。

所以，（8）式成立，當原先的審批機制是有效的時，odds1＞odds2肯定成立，拒絕推斷是需要的。

綜上所述，除非原有的審批機制完全無效，否則拒絕推斷就是必要的。從原先的審批機制出發(fā)，根據(jù)是否使用拒絕推斷的建模樣本的優(yōu)比比較，不難分析出，在實際應用中，必須使用拒絕推斷技術(shù)來校正被接受樣本和總體的樣本偏差。

2 核函數(shù)推斷法在拒絕推斷中的應用

信用評分模型的拒絕推斷是要推斷出拒絕樣本中那些被拒絕的申請人到底是好客戶還是壞客戶。從理論的角度看，這就是缺失值處理問題。如何做拒絕推斷，可以通過分析三類缺失值的產(chǎn)生機制[15]來進行討論。

令y=1表示某個申請人會成為壞客戶，y=0表示該申請人的確是好客戶；令a=1表示該申請人在過去得到審批通過，而a=0表示該申請人曾經(jīng)被拒絕。三類缺失值產(chǎn)生的機制如下：

①完全隨機缺失(Missing completely at random(MCAR))：當好壞客戶標識y被觀測到的概率不依賴于y的值也不依賴于預測變量組X的值時，即

則y缺失就是完全隨機缺失。

②隨機缺失(Missing at Random(MAR))：當好壞客戶標志y被觀測到也就是a=1的概率不依賴于y的值，但是會依賴于預測變量組X的值時，即

則y如果缺失就是隨機缺失。

③非隨機缺失(Missing not at Random(MNAR))：當好壞客戶標志y被觀測到也就是a=1的概率既依賴于y的值，又依賴于預測變量組X的值時，即

則y如果缺失就是非隨機缺失。

完全有效的審批機制和完全無效的審批機制在在實際中一般不會出現(xiàn)。而有效的審批機制對應的是非隨機缺失。因此，從推斷法的角度來解決信用評分領域的拒絕推斷問題，就是要解決非隨機缺失因變量的缺失值填補問題?；诖耍撕瘮?shù)推斷法是一種可以用來嘗試解決信用評分模型的拒絕推斷問題的一種方法。

Cheng[5]和Wang[21]都曾經(jīng)用核分布來對缺失的響應變量做出補缺處理。因為響應變量是自變量的函數(shù)，估計響應變量的值就是估計

其核估計為

這里，K((x-Xi)/hn)是核函數(shù)，hn是核函數(shù)的光滑參數(shù)，也稱為帶寬，當n→∞時，帶寬hn→0。核函數(shù)的選擇可以根據(jù)具體情況而定，在以往的研究中，常用正態(tài)函數(shù)、三角函數(shù)和二次函數(shù)等對稱的概率密度函數(shù)作為核函數(shù)。

核函數(shù)補缺恰好解決了非隨機缺失的缺失值補充問題。在信用評分模型的建模樣本中，每一個觀測都搜集有三方面的因素(Xi,Yi,ai)(i=1,2,...,n)。其中，Xi=(x1i,x2i,…,xdi)是一個d維的向量，該因素基本都能夠觀測到，當ai=1時Yi能夠觀測到，當ai=0時Yi不能觀測到。由于這里的因變量是離散變量，可以選擇示性函數(shù)I(x=Xi)作為核函數(shù)，即

因此，可用的核估計為

在信用評分模型的開發(fā)過程中，可獲得的自變量的個數(shù)很多，如果用示性函數(shù)I(x=Xi)作為核函數(shù)，就會遭遇維度的詛咒。自變量個數(shù)越多，兩條觀測完全相同的概率就越小，則I(x=Xi)幾乎都為0，核估計沒有意義，這對于拒絕推斷這個實際應用沒有任何幫助。為了避免維度的詛咒帶來的影響，必須對核函數(shù)的形式做一些調(diào)整，有以下可以使用的調(diào)整方法：

（1）最相似法

即，對于每個被拒絕的申請人，首先把他的d個自變量和樣本中所有被批準的申請人的d個自變量分別作比較，如果雙方的第k個自變量相同則取1，否則取0。然后再把這d個判斷值相加得到，則核估計的取值與使得最大的那個被批準的申請人的因變量的取值相同。這種推斷方法的思想就是為每一個被拒絕的申請人尋找在特征上最相似的被批準的申請人，看他到底是好客戶還是壞客戶，以此決定這個被拒絕的申請人到底是好客戶還是壞客戶。最相似法的核估計的取值只有0或者1，可以直接作為被拒絕的申請人的因變量的取值，不需要任何對于拒絕樣本的先驗信息。

（2）加權(quán)平均法

即對于每個被拒絕的申請人，首先把他的d個自變量和樣本中所有被批準的申請人的d個自變量分別作比較，如果雙方的第k個自變量相同則取1不同則取0，然后再把這d個判斷值相加得到，然后再求出這種推斷法的思想就是用特征的相似程度作為權(quán)重，以樣本中被批準的申請人的因變量取值做加權(quán)平均得到這個被拒絕的申請人的核估計取值。在信用評分模型中，因變量是取值為1或0的離散變量，而加權(quán)平均法中因變量的核估計是介于0和1之間的數(shù)，因變量的核估計并不能直接作為因變量的值。這時就需要被拒絕樣本中壞客戶占比的先驗信息百分之π0，然后選擇核估計為從高到低排序前百分之π0的觀測的因變量的取值為1，其余觀測的因變量取值為0。

（3）Q1加權(quán)平均法

這種核函數(shù)推斷法的思想和加權(quán)平均法的相類似，主要區(qū)別在于：不是取所有被批準的申請人，而是根據(jù)特征的相似程度選擇被批準的申請人的前百分之一，隨后的處理方法與加權(quán)平均法相似，求因變量的加權(quán)平均值作為一個被拒絕的申請人的核估計取值。同樣，Q1加權(quán)平均法中因變量的核估計并不能直接作為因變量的值。這時就需要被拒絕樣本中壞客戶占比的先驗信息百分之π0，然后選擇核估計為從高到低排序前百分之π0的觀測的因變量的取值為1，其余觀測的因變量取值為0。

3 實證分析

對拒絕推斷問題進行實證研究面臨的最大困難是數(shù)據(jù)，要獲得被拒絕的申請人到底是好壞客戶的結(jié)論只有兩種途徑：一是利用實驗設計，選擇某些本應被拒絕的申請人給予批準，并通過嚴密的跟蹤監(jiān)控來確認到底是好客戶還是壞客戶。這種方法有很大的風險，將會給銀行的風險控制帶來巨大的挑戰(zhàn)；二是查詢?nèi)诵姓餍判畔?，根?jù)被拒絕的客戶在其它銀行的表現(xiàn)來決定其到底是好客戶還是壞客戶。這種方法比較耗費人力，并且不能保證查到所有被拒絕的申請人的征信記錄。

本文利用某銀行信用卡業(yè)務的數(shù)據(jù)來做拒絕推斷的實證研究，拒絕樣本中的申請人到底是好客戶還是壞客戶是通過實驗設計的思路判斷得出的。接受樣本的樣本量為12292，其中好壞客戶比為96.75：3.25；拒絕樣本的樣本量為8250條記錄，其中好壞客戶比為81.7：18.3。驗證樣本有12325條記錄，其中好壞客戶比為90.7：9.3，驗證樣本相當于入門總體的有效代表。

可以設計如下的方法來做拒絕推斷的實證分析研究：

（1）不做拒絕推斷，只是使用接受樣本創(chuàng)建信用評分模型，并用驗證樣本做模型效果的驗證。

（2）用三種核函數(shù)推斷法對拒絕樣本做拒絕推斷，并把推斷出因變量取值的拒絕樣本和接受樣本匯總后再創(chuàng)建信用評分模型，然后利用驗證樣本做模型效果的驗證。這里，對于每一種核函數(shù)推斷法又有三種子方案：①選擇樣本中的全部自變量（25個）做核函數(shù)推斷；②選擇部分精選的自變量（18個）做核函數(shù)推斷；③選擇全部自變量（25個）做核函數(shù)推斷。為了避免自變量的取值過于分散而導致核函數(shù)全部為0，在這里對自變量做了分組處理，分組方法參考信用評分領域常用的信息量IV值IV=(p1-p0)*ln(p1/p0)，把連續(xù)變量分成若干個區(qū)間和壓縮分類變量的類別時都要保證信息量的損失盡可能的小。

（3）用信用評分領域的打包（Parcelling）方法來對拒絕樣本做拒絕推斷，并把推斷出因變量取值的拒絕樣本和接受樣本匯總后再創(chuàng)建信用評分模型，然后利用驗證樣本做模型效果驗證。打包方法首先利用接受樣本創(chuàng)建初步的信用評分模型，并把預測概率排序分組，然后給拒絕樣本中的申請人打分，并對打分得到的預測概率按照接受樣本中的預測概率分組規(guī)則進行分組。該方法假設在同一概率組中，拒絕樣本中的壞客戶比例是相對應的接受樣本中壞客戶比例的若干倍，這個倍數(shù)就叫做事件增長率。事件增長率需要業(yè)務人員根據(jù)經(jīng)驗給出估計，是一種先驗信息。

（4）用信用評分領域的硬截止的方法做拒絕推斷，并把推斷出因變量取值的拒絕樣本和接受樣本匯總后再創(chuàng)建信用評分模型，然后利驗證樣本做模型效果驗證。硬截止方法首先利用接受樣本創(chuàng)建信用評分模型，并據(jù)此給拒絕樣本中的申請人打分。該方法假設得分高于某個臨界值的為好客戶，低于臨界值的為壞客戶，這里的臨界值也需要業(yè)務人員給出壞客戶率的先驗估計。

（5）把外部數(shù)據(jù)加入建模樣本中然后創(chuàng)建模型，然后利用驗證樣本做模型效果驗證。這里的外部數(shù)據(jù)是通過實驗設計獲得的被拒絕申請人到底是好客戶還是壞客戶的信息。

具體結(jié)果如表1。

表1 拒絕推斷的實證分析

根據(jù)實證分析的結(jié)果可知：

（1）由于樣本數(shù)據(jù)的限制，拒絕推斷的實證分析結(jié)果并不是很理想，除了Lift值以外，AUC統(tǒng)計量、K-S統(tǒng)計量和GINI系數(shù)的值都偏小，這表明該模型的預測準確性相對偏低。

（2）三種核函數(shù)拒絕推斷法都能提升模型的預測準確性，相對來說，加權(quán)平均法的提升能力最強。利用18個自變量做核函數(shù)推斷的加權(quán)平均法的AUC和GINI系數(shù)的值僅次于利用外部數(shù)據(jù)的驗證值。同時這三種核函數(shù)推斷法對模型的影響取決于用于核估計的自變量X是否就是真正影響因變量的因素，也取決于這些自變量的取值是否集中。如果用于做核函數(shù)估計的自變量選擇的好，能大大提高拒絕推斷的準確性并提高模型的預測能力。實證分析的結(jié)果也表明，選擇18個精選自變量做核函數(shù)推斷的方法普遍要好于使用25個自變量的驗證結(jié)果。因此，利用核函數(shù)推斷方法做拒絕推斷時，選準了自變量可以取得更加理想的效果。

（3）打包法和硬截止法也都提升了模型的預測效果。但是，打包方法受事件增加率影響，硬截止方法受臨界值的影響，臨界值選的好才能保證提升的幅度。

（4）使用外部數(shù)據(jù)來做拒絕推斷的驗證指標的值最大，它是提升信用評分模型預測準確性的最有效方法。

q總而言之，使用外部數(shù)據(jù)來獲取真實信息是最有效的拒絕推斷方法，但是這種方法也最耗費人力和物力，銀行一般不愿意承擔獲取真實信息的風險和成本，該種方法適合小范圍的推斷。核函數(shù)推斷法、打包法和硬截止法都能在一定程度上提升模型的預測效果，但是這些方法基本都需要事先知道壞客戶率這個先驗信息，必須依賴于業(yè)務人員的經(jīng)驗。相對來說，核函數(shù)推斷法在業(yè)務邏輯上更易于理解，利用精選的自變量對拒絕樣本中的申請人做核函數(shù)推斷能獲得比較理想的推斷效果，可以作為一種新的拒絕推斷方法應用于實際中。

4 小結(jié)

被接受的申請人構(gòu)成的樣本是所有申請人這個總體的有偏樣本，用被接受的申請人組成的樣本創(chuàng)建的信用評分模型存在樣本偏差。為了獲得更準確的預測結(jié)果，必須要做拒絕推斷來校正這種偏差。

通常情況下，當對接受樣本和拒絕樣本所做的一些總體假設正確有效時，拒絕推斷方法一般都能夠提高模型的預測準確性，但是準確性的提升幅度往往受可獲得信息的制約。人民銀行征信數(shù)據(jù)或者銀行自身的實驗設計都能提供額外的信息使得拒絕推斷更加合理，從而保證信用評分模型更加準確更加合理。人行征信數(shù)據(jù)可以免除商業(yè)銀行為了獲得拒絕樣本的信息而承擔的風險，是更加可取的方法，在國內(nèi)大力推廣人行征信體系意義重大。由于中國的人行征信體系目前還處于發(fā)展過程中，核函數(shù)推斷法是現(xiàn)階段可行的拒絕推斷替代方法。

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