劉建穎

0 引言

公共養(yǎng)老保障具有三個(gè)主要功能：首先，它是一種強(qiáng)迫個(gè)體進(jìn)行儲(chǔ)蓄的承諾機(jī)制；其次，它實(shí)現(xiàn)了老年人之間的收入再分配；再次，它確保了個(gè)體能抵御健康和死亡風(fēng)險(xiǎn)。對(duì)退休行為的研究是伴隨著現(xiàn)代社會(huì)保障體系的建立開始的。退休從本質(zhì)上看，就是個(gè)體永久地退出勞動(dòng)力市場(chǎng)。它可分為自愿退休與非自愿退休兩種情況。對(duì)于個(gè)體而言，自愿退出勞動(dòng)力市場(chǎng)總是一個(gè)可行的選擇。

本文將詳細(xì)分析存在社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)時(shí)，時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，退休年齡內(nèi)生時(shí)的兩期模型。筆者期望通過將時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性引入對(duì)社會(huì)養(yǎng)老保險(xiǎn)的分析，重新考察個(gè)體跨期決策中退休行為的決定，試圖得到個(gè)體跨期決策的時(shí)間不一致性是能夠解釋觀察到的退休行為的異常性的；引入時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致可能有助于對(duì)政府未來的改革政策的有效性進(jìn)行相關(guān)預(yù)測(cè)。

1 模型的基本假設(shè)

我們?cè)贑remer和Pestieau(2003)關(guān)于退休年齡內(nèi)生時(shí)的兩期模型的分析框架下引入時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致，期望對(duì)時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，養(yǎng)老保險(xiǎn)制度如何影響經(jīng)濟(jì)中真實(shí)的宏觀經(jīng)濟(jì)變量有所認(rèn)識(shí)。

假設(shè)時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致不僅在代際間存在，在代際內(nèi)也存在。假設(shè)偏好為擬雙曲貼現(xiàn)偏好。根據(jù)Frederick et al.(2002)，將具有時(shí)間不一致性的個(gè)體區(qū)分為兩種類型：老練型個(gè)體和天真型個(gè)體。

假設(shè)每個(gè)人都存在著“自我控制”問題，用β表示，但當(dāng)事人意識(shí)到的“自我控制問題”的程度為，即個(gè)體認(rèn)為自身在將來會(huì)遇到“自我控制問題”的程度為。這兩種類型的個(gè)體在進(jìn)行效用最大化選擇時(shí)，情形如下：

(1)老練型個(gè)體，能完全意識(shí)到自身存在“自我控制”問題，并能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)自己將來的行為。有β=β?＜1。

(2)天真型個(gè)體，完全不能意識(shí)到自身存在的“自我控制”問題，因而會(huì)錯(cuò)誤地預(yù)測(cè)將來的行為；有β＜β?=1。

假設(shè)個(gè)體生活兩期：年輕期和年老期。兩期的長(zhǎng)度均標(biāo)準(zhǔn)化為1。年輕時(shí)，也就是第一期，個(gè)體的勞動(dòng)供給是無彈性的。年老時(shí)，也就是第二期，勞動(dòng)供給內(nèi)生決定。這是一個(gè)具有內(nèi)生勞動(dòng)供給和內(nèi)生退休年齡的跨期消費(fèi)模型。

假設(shè)個(gè)體的勞動(dòng)生產(chǎn)率ω是隨機(jī)的，其累積分布函數(shù)為F(?)，密度函數(shù)為 f(?)。養(yǎng)老保險(xiǎn)體系一般通過征收收入稅的形式來平衡預(yù)算。我們假設(shè)第一期工資稅稅率為θ，第二期養(yǎng)老保險(xiǎn)稅稅率為θ′，其中θ,θ′∈( )0,1。年輕時(shí)（第一期），個(gè)體決定儲(chǔ)蓄的數(shù)量s，s僅能在退休后才能獲得收益。定義r為外生利率水平。假設(shè)人口增長(zhǎng)率為n，它是外生給定的。記Lt-1為t期時(shí)的老年人，Lt為t期時(shí)的年輕人，且Lt=Lt-1?(1+n)。年老時(shí)（第二期），個(gè)體決定最優(yōu)退休年齡。假設(shè)γ為第二期時(shí)的工作長(zhǎng)度，其中γ∈( )0,1，則1-γ為退休期長(zhǎng)度。由于第二期的長(zhǎng)度已標(biāo)準(zhǔn)化為1，我們?cè)谙挛闹袨閿⑹龇奖闫鹨?，不妨也稱γ為最優(yōu)退休時(shí)刻（或最優(yōu)退休年齡）。

年輕期（第一期），個(gè)體的勞動(dòng)生產(chǎn)率為ω，工作時(shí)間為1，所以其工資收入為ω，繳納工資稅ωθ，稅后工資收入一部分用來儲(chǔ)蓄，一部分用來消費(fèi)。

年老期（第二期），個(gè)體的勞動(dòng)生產(chǎn)率為ω，工作時(shí)間為γ，所以其工資收入為ωγ，繳納養(yǎng)老保險(xiǎn)稅ωγθ′，則第二期的稅后收入為ωγ(1-θ′)。年老時(shí)（第二期），個(gè)體在年輕期（第一期）的儲(chǔ)蓄收入變?yōu)閟(1+r)，個(gè)體退休后獲得養(yǎng)老金收益b。同時(shí)假設(shè)個(gè)體在年老時(shí)（第二期）因工作時(shí)長(zhǎng)γ會(huì)有一（用貨幣度量的）負(fù)效用--gγ（其中A＞0,g＞0）。它表明年老時(shí)（第二期）工作時(shí)間γ越長(zhǎng)，損失的效用越大。假設(shè)個(gè)體退休后會(huì)從休閑中獲得正效用+h(1-γ)（其中 B＞0,h＞0），它表明退休期長(zhǎng)度(1-γ)越大，從休閑中獲得的正效用越大。

假設(shè)個(gè)體在年輕期（第一期）和年老期（第二期）的消費(fèi)水平分別為c1和c2，個(gè)體的跨期效用函數(shù)為U=u(c1)+βδ?u(c2)，其中β代表時(shí)間偏好不一致的短期貼現(xiàn)因子，δ代表時(shí)間一致的長(zhǎng)期貼現(xiàn)因子(β＞0,δ＞0)。這表明個(gè)體在代際間存在著時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致性。假設(shè)u為即期效用函數(shù)，對(duì)所有個(gè)體均一樣，它是遞增的凹函數(shù)，滿足古典的Inada條件。

于是個(gè)體在年輕期（第一期）時(shí)的消費(fèi)水平為c1=ω(1-θ)-s，在年老期（第二期）時(shí)的消費(fèi)水平為ωγ(1-θ′)+s(1+r)+b ，個(gè)體在第二 期的 效用 水平 為

假設(shè)養(yǎng)老金收益函數(shù)為

養(yǎng)老金收益b必須在個(gè)體退休后才支付。也就是說，個(gè)體必須真實(shí)地完全退出勞動(dòng)力市場(chǎng)后，才能獲得養(yǎng)老金收益b。由=ωθ′＞0可看出，退休后獲得的養(yǎng)老金收益b與退休時(shí)刻γ正相關(guān)。即個(gè)體工作時(shí)間越長(zhǎng)，退休后獲得的養(yǎng)老金收益越多；個(gè)體工作時(shí)間越短，退休后獲得的養(yǎng)老金收益也相應(yīng)變少。在第3節(jié)中，個(gè)體退休后獲得的養(yǎng)老金b與退休時(shí)刻γ無關(guān)；但在本節(jié)中，我們引入了時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致，個(gè)體退休后獲得的養(yǎng)老金收益b與退休時(shí)刻γ正相關(guān)。

2 最優(yōu)退休年齡

年輕期（第一期），個(gè)體的最優(yōu)化問題為

其中：

于是個(gè)體在第一期時(shí)通過選擇最優(yōu)儲(chǔ)蓄量s，最大化如下目標(biāo)函數(shù)：

年老期(第二期)，個(gè)體在代際內(nèi)存在著時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致性。老年個(gè)體面臨著如下權(quán)衡取舍關(guān)系：一方面，現(xiàn)在若繼續(xù)工作，則能在未來獲得更多養(yǎng)老金，但同時(shí)也會(huì)有一工作時(shí)的負(fù)效用--gγ ；另一方面，若現(xiàn)在立即退休，則可以享受更多的閑暇，獲得正效用但其退休后獲得的養(yǎng)老金收益b也會(huì)減少。

個(gè)體在代際內(nèi)存在的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性使得個(gè)體對(duì)工作期賦予更多的權(quán)重；老年個(gè)體在評(píng)估上述權(quán)衡取舍關(guān)系中后者時(shí)，使用了貼現(xiàn)因子βδ。

個(gè)體在年老期（第二期）時(shí)，通過選擇最優(yōu)退休時(shí)刻γ*來最大化第二期消費(fèi)。個(gè)體在年輕期（第一期）做優(yōu)化問題時(shí)，考慮到退休時(shí)刻γ由第二期決定，γ=γ*；選擇最優(yōu)儲(chǔ)蓄水平s最大化第一期的目標(biāo)函數(shù)。

下面我們先來求解第二期的最優(yōu)化問題。年老期（第二期），個(gè)體的最優(yōu)化問題為

個(gè)體通過選擇最優(yōu)退休時(shí)刻γ，最大化上述目標(biāo)函數(shù)。

將b=ωθ(1+n)+ωγθ′代入目標(biāo)函數(shù)，得到

關(guān)于γ的一階條件為：

可求得

假設(shè)內(nèi)點(diǎn)解條件滿足，如A-Bβδ＞0。

由比較靜態(tài)分析，易知

下面我們通過解釋相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)含義，可以看到引入時(shí)間偏好的動(dòng)態(tài)不一致性后，影響個(gè)體最優(yōu)退休時(shí)刻γ*的相關(guān)因素。

由?γ*?ω＞0可知，最優(yōu)退休時(shí)刻γ*是關(guān)于個(gè)體勞動(dòng)生產(chǎn)率ω的增函數(shù)。即個(gè)體的勞動(dòng)生產(chǎn)率ω越高（工資水平越高），他會(huì)選擇工作更長(zhǎng)時(shí)間并更晚退休。因此工資水平高的個(gè)體相對(duì)于工資水平低的個(gè)體會(huì)工作更長(zhǎng)時(shí)間，更晚退休。從經(jīng)濟(jì)學(xué)直覺上理解，對(duì)于相對(duì)富裕的個(gè)體而言，其第二期的消費(fèi)——休閑的相對(duì)價(jià)格要低一些，因此會(huì)比相對(duì)貧窮的個(gè)體更加努力工作并更晚退休。由?γ*?β＞0可知，時(shí)間不一致性貼現(xiàn)因子β越大，最優(yōu)退休時(shí)刻γ*也越大。在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，0＜β＜1表示時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的個(gè)體對(duì)當(dāng)前期賦予更大的權(quán)重，其偏好類型是當(dāng)前偏好型的。β越大，表示個(gè)體對(duì)未來越看重，此時(shí)最優(yōu)退休時(shí)刻γ*也越大，個(gè)體越傾向于更晚退休；β越小，表示個(gè)體對(duì)當(dāng)前期越看重，此時(shí)最優(yōu)退休時(shí)刻γ*也越小，個(gè)體越傾向于提前退休。

老練型個(gè)體，能完全意識(shí)到自身存在的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性問題，并能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)自己將來的行為。有β=β?＜1。老練型個(gè)體真實(shí)的退休時(shí)刻為 γ(β )，預(yù)測(cè)的退休時(shí)刻為 γ(β?)；由 β=β?知，γ(β)=γ(β?)=γ*，老練型個(gè)體能正確預(yù)測(cè)其真實(shí)退休時(shí)刻；

天真型個(gè)體，完全不能意識(shí)到自身存在的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性問題，因而會(huì)錯(cuò)誤地預(yù)測(cè)將來的行為；有β＜β?=1。天真型個(gè)體真實(shí)的退休時(shí)刻為 γ(β )，預(yù)測(cè)的退 休 時(shí) 刻 為 γ(β?)；由 β＜β?及 ?γ*?β ＞0 可 知 ，γ*=γ(β)＜γ(β?)，因此天真型個(gè)體會(huì)高估其真實(shí)退休時(shí)刻。由?γ*?θ′＜0可知，最優(yōu)退休時(shí)刻γ*是關(guān)于養(yǎng)老保險(xiǎn)稅稅率θ′的減函數(shù)。即養(yǎng)老保險(xiǎn)稅稅率θ′越高，個(gè)體越傾向于提前退休。

由 ?2γ*?θ′?ω＜0 可知，個(gè)體的勞動(dòng)生產(chǎn)率 ω 越高（工資水平越高），養(yǎng)老保險(xiǎn)稅稅率θ′對(duì)最優(yōu)退休年齡γ*的影響更顯著。

進(jìn)一步地，我們有如下定理。

定理1在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的兩期模型中，老練型個(gè)體和天真型個(gè)體都會(huì)提前退休（即提前退出勞動(dòng)力市場(chǎng)）。

證明：老練型個(gè)體，能完全意識(shí)到自身存在的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性問題，并能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)自己將來的行為。有β=β?＜1，其中β為個(gè)體真實(shí)的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的貼現(xiàn)因子；β?為其預(yù)測(cè)的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的貼現(xiàn)因子。于是有即老練型個(gè)體真實(shí)的退休時(shí)刻γ()β和預(yù)測(cè)的退休時(shí)刻γ()是完全一致的。

由 ?γ(β) ?β ＞0 可知，γ(β)=γ(β?)＜ γ(1)。

這表明時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，老練型個(gè)體的實(shí)際退休年齡要小于時(shí)間偏好一致性情形下個(gè)體的退休年齡。即老練型個(gè)體會(huì)提前退休。

天真型個(gè)體，完全不能意識(shí)到自身存在的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性問題，因而會(huì)錯(cuò)誤地預(yù)測(cè)將來的行為。

有β＜β?=1，其中β為個(gè)體真實(shí)的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的貼現(xiàn)因子；β?為其預(yù)測(cè)的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的貼現(xiàn)因子。

天真型個(gè)體預(yù)測(cè)的退休時(shí)刻為

=(ω (1-θ′)+δ(ω θ′-B-h)-g ) (A-Bδ)=γ(1)

由 ?γ(β) ?β ＞0 可知，γ(β)＜ γ(β?)=γ(1)

即天真型個(gè)體真實(shí)的退休時(shí)刻γ()β小于其預(yù)測(cè)的退休時(shí)刻γ()。

天真型個(gè)體實(shí)際的退休時(shí)刻為

這表明時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，天真型個(gè)體的實(shí)際退休年齡要小于時(shí)間偏好一致性情形下個(gè)體的退休年齡。即天真型個(gè)體會(huì)提前退休。

綜上，時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，老練型和天真型個(gè)體都會(huì)提前退休。

3 養(yǎng)老金收益

定理2在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的兩期模型中，老練型個(gè)體退休后實(shí)際獲得的養(yǎng)老金數(shù)額等于其預(yù)計(jì)獲得的養(yǎng)老金數(shù)額；天真型個(gè)體退休后實(shí)際獲得的養(yǎng)老金數(shù)額小于其預(yù)計(jì)獲得的養(yǎng)老金數(shù)額。

證明：養(yǎng)老金收益水平為：

個(gè)體實(shí)際獲得的養(yǎng)老金收益是根據(jù)其實(shí)際退休年齡來進(jìn)行支付的，個(gè)體預(yù)計(jì)獲得的養(yǎng)老金收益是根據(jù)其預(yù)計(jì)的退休年齡來進(jìn)行計(jì)算的。

4 最優(yōu)儲(chǔ)蓄量

個(gè)體在年輕期（第一期）做優(yōu)化問題時(shí)，考慮到退休時(shí)刻γ由第二期決定，γ=γ*；選擇最優(yōu)儲(chǔ)蓄水平s*來最大化第一期的目標(biāo)函數(shù)。

個(gè)體在第一期時(shí)的最優(yōu)化問題為

其中

關(guān)于s的一階條件為：

上式意味著，減少一單位工作期消費(fèi)所造成的效用損失等于增加(1+r)單位退休期消費(fèi)得到的被βδ2貼現(xiàn)后的效用增加。

將上式對(duì)β求導(dǎo)，得到

于是有

由 u′(c1)=βδ2(1+r)?u′(c2)可以看到，若 δ(1+r)=1 成立，則有

于是c1＞c2。

可見，在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，無論是老練型個(gè)體，還是天真型個(gè)體，他們都不能平滑消費(fèi)，年輕時(shí)會(huì)過度消費(fèi)。我們可以這樣來理解：在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致情形下，0＜β＜1表示時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的個(gè)體對(duì)當(dāng)前期賦予更大的權(quán)重，其偏好類型是當(dāng)前偏好型的。此時(shí)個(gè)體更看重當(dāng)期消費(fèi)，于是年輕期（第一期）會(huì)過度消費(fèi)而儲(chǔ)蓄不足。

進(jìn)一步地，我們有如下定理：

定理3在時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致性下，經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)帕累托改進(jìn)是：延長(zhǎng)個(gè)體的退休年齡或提高其年輕期的儲(chǔ)蓄水平。

證明：個(gè)體的效用水平為：

定義：?(β)=U(γ (1))-U(γ ( β))

則有：?(1)=U(γ (1))-U(γ (1))=0

將函數(shù)?(β)在β=1的鄰域附近泰勒展開，有?′(1)=0，?″(1)＞ 0 。

于是存在區(qū)間(βˉ,1) ，使得該區(qū)間內(nèi) ?(β)＞0 。這表明若將個(gè)體的真實(shí)退休時(shí)刻從γ(β)增加到γ(1)，其效用水平將會(huì)提高。這說明，對(duì)經(jīng)濟(jì)中個(gè)體而言，提前退出勞動(dòng)力市場(chǎng)并不是一個(gè)好的選擇。在帕累托意義上，若能延長(zhǎng)個(gè)體的退休年齡，對(duì)其將是一個(gè)帕累托改進(jìn)。

定義：ξ(β)=U(s ( 1))-U(s ( β))

則有：ξ(1)=U(s ( 1))-U(s ( 1))=0

將函數(shù) ξ(β)在 β=1的鄰域附近泰勒展開，有 ξ′(1)=0，ξ″(1)＞ 0 。

5 結(jié)論

本文將代際間和代際內(nèi)的時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致引入退休年齡內(nèi)生時(shí)的兩期模型，得出經(jīng)濟(jì)中的老練型個(gè)體和天真型個(gè)體都會(huì)提前退休（即提前退出勞動(dòng)力市場(chǎng)）。這些結(jié)論和現(xiàn)實(shí)中觀察到的老年人越來越傾向于提早退出勞動(dòng)力市場(chǎng)也是相符的。戰(zhàn)后，絕大多數(shù)實(shí)行養(yǎng)老保險(xiǎn)體系的國(guó)家，都出現(xiàn)了老年人口勞動(dòng)參與率持續(xù)下降的現(xiàn)象。老年人越來越傾向于提早退出勞動(dòng)力市場(chǎng)的現(xiàn)實(shí)情況，伴隨著老年人口健康狀況的改善和預(yù)期壽命的提高一同出現(xiàn)，意味著個(gè)體越來越傾向于作出提早退休的決策。而伴隨著老年人越來越傾向于提早退休的是養(yǎng)老保險(xiǎn)體系的不斷完善與覆蓋面的不斷擴(kuò)大，這意味著二者之間存在著一定的聯(lián)系。本文從時(shí)間偏好動(dòng)態(tài)不一致的角度，分析了養(yǎng)老保險(xiǎn)對(duì)個(gè)體退休決策的影響。

[1]Cremer,H.,Pestieau P.The Double Dividend of Postponing Retire?ment[J].International Tax and Public Finance,2003,(10).

[2]Diamond,P.,Koszegi,B.Quasi-Hyperbolic Discounting and Retire?ment[J].Journal of Public Economics,2003,(87).

[3]Frederick,S.,Loewenstein,G.,O’Donoghue,T.Time Discounting and Time Preference:A Critical Review[J].Journal of Economic Literature,2002,(40).

[4]Laibson,David Golden Eggs and Hyperbolic Discounting[J].Quarterly Journal of Economics,1997,(112).