GMM不飽和小回線遲滯模型的修訂

何漢林，孟愛(ài)華，祝甲明

(杭州電子科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，浙江杭州310018)

0 引言

由于超磁致伸縮材料具有各種優(yōu)點(diǎn)，使得在精密驅(qū)動(dòng)技術(shù)中應(yīng)用非常廣泛。但由于磁性材料的磁滯非線性，使得由超磁致伸縮材料制成的超磁致伸縮微位移執(zhí)行器的輸入和輸出存在一定滯后，給超磁致伸縮微位移執(zhí)行器的精確控制帶來(lái)困難。因此，怎樣去對(duì)超磁致伸縮材料遲滯特性進(jìn)行建模成為各國(guó)學(xué)者研究的熱點(diǎn)。其中，基于磁性材料內(nèi)部機(jī)理的Jiles-Atherton模型(J-A模型)［1，2］，其物理意義明確，易于修正和擴(kuò)展，在超磁致伸縮材料的性能分析中，應(yīng)用非常廣泛。在實(shí)際工程應(yīng)用中，驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)往往達(dá)不到飽和狀態(tài)，這時(shí)超磁致伸縮材料的磁滯回線為不飽和小回線。此時(shí)采用經(jīng)典J－A模型仿真出來(lái)的磁滯回線不僅不對(duì)稱，還常常不閉合［3］。Jiles和Calkins通過(guò)對(duì)小回線的起點(diǎn)、轉(zhuǎn)折點(diǎn)、終點(diǎn)的數(shù)值進(jìn)行積分來(lái)修訂小回線［4，5］，但是該方法計(jì)算過(guò)程極度繁瑣，應(yīng)用受到很大限制。Lederer和Carpenter對(duì)不飽和小回線采用平移和放大因子的形式進(jìn)行了修訂［6，7］，比Jiles等人的體積分?jǐn)?shù)形式要簡(jiǎn)單許多，但仍需已知主回線和小回線頂點(diǎn)處的磁化強(qiáng)度。本文通過(guò)分析不飽和小回線在磁化過(guò)程中的變化規(guī)律，找出影響小回線變化的關(guān)鍵因素，對(duì)J－A模型相關(guān)參數(shù)進(jìn)行修訂，建立適用于對(duì)稱和不對(duì)稱條件下的不飽和小回線遲滯模型。

1 不飽和小回線模型修訂

在J-A模型中，共有5個(gè)參數(shù)。其中，a為非磁滯磁化曲線Man的形狀參數(shù)，磁滯小回線的起始點(diǎn)位置不同，非磁滯磁化曲線Man也不同，因此參數(shù)a也隨之改變。K為釘扎系數(shù)，表示材料磁疇克服釘扎點(diǎn)所需的平均能量，驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)強(qiáng)度越大，所需的能量越多，參數(shù)K就越大。由試驗(yàn)曲線可知，當(dāng)外加磁場(chǎng)未達(dá)到飽和而形成不飽和小曲線時(shí)，小回線的斜率和面積會(huì)隨著小回線在飽和磁化曲線中的位置和幅值的不同而改變，據(jù)此推測(cè)，要修訂不飽和小回線，只要對(duì)小回線的斜率和面積進(jìn)行修訂即可。

為了分析磁化過(guò)程中小回線的變化特點(diǎn)，必須要清楚不同偏置磁場(chǎng)和不同頻率條件下磁滯回線的變化規(guī)律。從不同偏置磁場(chǎng)和不同驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)條件下的超磁致伸縮微位移執(zhí)行器遲滯曲線圖［8］，可以看出，在驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)強(qiáng)度相同的條件下，隨著偏置磁場(chǎng)的增大，磁滯回曲線的面積逐漸減小，當(dāng)磁場(chǎng)中心幅值達(dá)到飽和時(shí)，曲線的面積近乎為零。實(shí)際上，磁滯曲線所包含的面積即為磁化過(guò)程中能量的損耗。因而，隨著磁場(chǎng)中心幅值的增大，磁滯損耗是逐漸減小的。當(dāng)無(wú)偏置磁場(chǎng)，即磁場(chǎng)中心幅值為零時(shí)，在中低頻階段，磁滯損耗隨著驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的增加幾乎呈線性增加，但是在高頻階段，則有顯著減緩的趨勢(shì)［8］。據(jù)此，可以假設(shè)，找到一個(gè)可以有效反應(yīng)磁滯損耗變化規(guī)律的函數(shù)來(lái)模擬磁滯環(huán)的變化趨勢(shì)，這樣便可以對(duì)不飽和小回線進(jìn)行修訂。從文獻(xiàn)8中可以看出，不同驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)強(qiáng)度下的磁滯環(huán)加磁階段曲線和飽和時(shí)加磁階段曲線是重合的，退磁階段的曲線也幾乎完全重合。因此，可以用兩條樣條曲線來(lái)分別擬合飽和磁場(chǎng)強(qiáng)度下磁滯環(huán)的加磁曲線和退磁曲線的快速變化部分。對(duì)于變化緩慢部分，可以看作是水平的，水平間距為兩條樣條曲線之間的距離。此外，用另一條樣條曲線去擬合不同驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)下超磁致伸縮微位移執(zhí)行器遲滯回線中心磁場(chǎng)幅值的變化。對(duì)于不同驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)的小回線，只需知道中心磁場(chǎng)的幅值，然后代入相應(yīng)的樣條曲線中，便可得到相應(yīng)的磁致伸縮量。然后再結(jié)合加磁和退磁部分的樣條曲線，便可用積分得出不同驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)下小回線的面積。由于磁滯回線包含的面積反應(yīng)了磁滯能量的損耗，該損耗是由釘扎系數(shù)K反應(yīng)出來(lái)的，而K是隨著小回線面積的增大而增大的，基于此分析，可以將所求的面積取倒數(shù)，作為釘扎系數(shù)K的修正系數(shù)，這樣便會(huì)消弱釘扎系數(shù)的影響。

從磁滯環(huán)的加磁上升部分連續(xù)隨機(jī)取一系列點(diǎn)，然后用最小二乘法去擬合，可以得到如下函數(shù):

退磁快速變化部分?jǐn)M合函數(shù)為:

中心磁場(chǎng)幅值變化的擬合函數(shù)為:

假設(shè)任何小回線的中心磁場(chǎng)的幅值為x0，則可以確定小回線面積的積分區(qū)間［0－2f3(x0)］。由此，可以得到任意小回線面積的積分公式:

據(jù)此，可以將釘扎系數(shù)K修正為:

對(duì)不飽和小回線建模時(shí)，將修訂后的釘扎系數(shù)Kn代入主回線模型即可。

2 模型結(jié)果驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型修訂后的正確性，將模型的仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比。在此，選擇Calkins的實(shí)驗(yàn)結(jié)果［5］作為參考對(duì)象。模型的基本參數(shù)如表1所示:

表1 基本模型參數(shù)

根據(jù)小回線的磁場(chǎng)幅值，釘扎系數(shù)可以修訂為Kn=2432。模型的仿真曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比如圖1、2所示:

在圖1、2中，實(shí)線表示修訂后的模型小回線，虛線表示Calkins實(shí)驗(yàn)小回線。從兩圖可以看出，修訂后的模型小回線和實(shí)驗(yàn)小回線近乎完全重合。在實(shí)際工程應(yīng)用中，可以用該修訂后的模型來(lái)計(jì)算超磁致伸縮材料磁化強(qiáng)度的變化。

圖1 對(duì)稱小回線對(duì)比分析圖

圖2 不對(duì)稱小回線對(duì)比分析圖

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)超磁致伸縮材料遲滯小回線變化規(guī)律的分析，找出影響小回線變化規(guī)律的關(guān)鍵因素為釘扎系數(shù)K，對(duì)其進(jìn)行了修訂。通過(guò)分析可知，小回線的面積隨著驅(qū)動(dòng)磁場(chǎng)幅值的增大而增大，實(shí)際上小回線所圍的面積就是磁滯能量的損耗?；诖朔治觯页鲂』鼐€面積變化的通用表達(dá)式，利用該表達(dá)式對(duì)釘扎系數(shù)K進(jìn)行了修訂，并與Calkins實(shí)驗(yàn)曲線作了對(duì)比。對(duì)比表明，修訂后的模型完全可以定性和定量反應(yīng)小回線的變化規(guī)律。

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