王 飛，鄧志清

（1.船舶重工集團公司723所，揚州225001；2.鎮(zhèn)江艦艇學(xué)院，鎮(zhèn)江212001）

0 引 言

在處理超寬帶信號時，信號帶寬過大，為降低對A／D采樣的要求，可以考慮將信號分解為二通道或者多通道情況進行分別采樣，從而實現(xiàn)降速采樣的目的。小波變換的特點就是將信號在不同尺度上進行分解，通過小波的帶通濾波特性實現(xiàn)對信號頻帶的分割。采用小波變換理論對信號進行逐層分解和重構(gòu)，逐步降低信號的頻率分析區(qū)間，為構(gòu)造多通道采樣系統(tǒng)提供了一種思路。

1 二通道采樣系統(tǒng)

為了分析方便，采用倒推的方法，假設(shè)二通道采樣系統(tǒng)（如圖1所示）已經(jīng)建立起來，然后討論濾波器設(shè)計所要達到的條件［1］。

圖1 二通道采樣系統(tǒng)信號流程示意圖

圖1中f（n）為采樣序列，f′（n）為處理后前者的估計，H（z）和G（z）分別為分解和重構(gòu)濾波器。H0（z）為低通濾波器，H1（z）為高通濾波器，后者依此類推。由圖中的信號流程，可以得到以下關(guān)系：

將式（1）和（2）代入式（3）中，得：

式（4）右邊第1項表示信號頻譜，第2項表示由于對信號的抽取和插零所帶來的頻域混迭。若將第2項清零，則混迭可以消除，即有：

式（6）為滿足式（5）條件的1組關(guān)系：

在分解濾波器中，低通濾波器和高通濾波器相位上可有一定的關(guān)系，即：

這樣是為了使分解的低通和高通濾波器有正交性，只要取適當?shù)臑V波器函數(shù)就可以做到這一點。式（7）對應(yīng)于時域的關(guān)系為：

將式（6）和（7）代入式（4），可以得到系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系式：

式（9）給出了1個消除幅度失真的條件，只要右邊前一項為1，即：

圖2 二通道采樣系統(tǒng)示意圖

圖2中，只要f′0（n）、f1（n）′和f0（n）、f1（n）是相同的序列，就可以保證f′（n）是f（n）的估計。這需要兩路D／A和A／D時鐘同步，且都以頻率f進行采樣，假定采樣是理想的，即使f′0（n）與f0（n）出現(xiàn)相位不一樣的情況，并不影響數(shù)據(jù)的重構(gòu)，因為后期處理的時候可以將f0′（n）做1次相位的調(diào)整即可。抽取的過程類似于降頻，每隔1個輸入樣點取1個 樣本，即得到序列f′0（n）。以f／2為采樣速率取代抽取的過程，即得到圖3所示關(guān)系。

圖3 采樣率為f／2的二通道采樣系統(tǒng)示意圖

在D／A帶寬足夠大的情況下，上圖的2路D／A可以放在濾波器處理之前，即：

圖4 采樣一路D／A的二通道采樣系統(tǒng)示意圖

上圖中AH0（z）是對應(yīng) H0（z）的模擬濾波器，AH1（z）同理。進一步，若滿足：

則二通道的采樣設(shè)計原理如圖5所示。

圖5 二通道采樣結(jié)構(gòu)圖

圖5中D0（n）和D1（n）對應(yīng)f′0（n）和f′1（n），s（n）對應(yīng)f′（n），至此，基于二通道的數(shù)據(jù)采樣框圖設(shè)計完成，并且通過理論分析，在采樣率為f／2的情況下，依然可以得到原始信號的重構(gòu)信息。在整個設(shè)計過程中，并沒有要求分解和重構(gòu)濾波器具有理想的過渡帶，這就保證了模擬濾波器CH0（w）、CH1（w）可以更好地逼近數(shù)字濾波器 H0（z）和H1（z）。

這樣，通過設(shè)計滿足式（5）、（7）和（10）條件的數(shù)字低通濾波器H（ejω），經(jīng)過二通道采樣系統(tǒng)可以得到輸出s（n），在存在相位失真的前提下，完成對信號f（t）的采集和重構(gòu)，但是滿足條件的低通濾波器并不好設(shè)計。

2 基于Daubechies小波的二通道采樣系統(tǒng)

根據(jù)小波理論，對任意給定的消失矩階數(shù)p，Daubechies小波［2］有最小的支集，而緊支集小波可由有限脈沖響應(yīng)共軛鏡像濾波器h計算得出［3］。假設(shè)有實的因果濾波器h［n］，那么＾h（h的傅里葉變換）可以表示為這樣一個三角級數(shù)：

小波的k階消失矩定義為：

為保證小波有p階消失矩，需要＾h在ω＝π處有p重零點，這樣式（12）可以構(gòu)建為：

那么有限脈沖響應(yīng)濾波器h［n］就可以得到，并且h的非零個數(shù)N＝m＋p＋1。根據(jù)Daubechies給出的證明，實共軛鏡像濾波器h，如果使得＾h在ω＝π處具有p重零點，則它至少有2p個非零系數(shù)。

Daubechies濾波器h［n］在數(shù)學(xué)上有更簡潔的表達方式，即：

其中右邊后一項是一多項式，表示｜R（e－iω）｜2。以db4小波為例，給出它的濾波器。

為了更好地理解db4小波的濾波原理，圖6就幅頻曲線做出說明。

圖6 db4小波濾波器及分解和重構(gòu)濾波器

由圖7可以很明顯地看出曲線在一定的頻率區(qū)間外迅速出現(xiàn)衰減，所以小波具有帶通的濾波效果。

圖7 db4小波低通濾波器和高通濾波器幅頻特性曲線

比較式（10）、（15）和（16）可以發(fā)現(xiàn)它們的系數(shù)是相同的，式（10）和式（15）形式上也可以基本上等同。這已經(jīng)給出了一部分構(gòu)建二通道濾波器的答案。為了更好地理解小波是如何構(gòu)建正交鏡像濾波器的原理和多分辨率分析理論，下文將詳細分析小波和濾波器組的關(guān)系。

數(shù)學(xué)上常用“空間”的概念來論述多分辨率分析的完備性，將空間Vj和 Wj的規(guī)范正交基 ｛φj，n｝n∈z和 ｛ψj，n｝n∈z在2個空間的信號投影表示為：

小波重構(gòu)為：

圖8 小波分解和小波重構(gòu)

雙通道濾波器組將信號a0和低通濾波器h、高通濾波器g做卷積，并對輸出做因子為2的子采樣；然后用對偶低通?h和高通?g濾波器對零擴充信號濾波，可得到重構(gòu)信號，如圖9所示。其關(guān)系為：

圖9 雙通道低通和高通濾波器的分解和重構(gòu)

圖9和第1節(jié)中推導(dǎo)的二通道信號流程圖已經(jīng)非常相似了，這里只需要將小波的雙通道分解和重構(gòu)與上節(jié)中涉及到的低通和高通濾波器對應(yīng)起來就可以在理論上完全等同起來。也就是說滿足小波雙通道的濾波器組完全可以滿足二通道采樣系統(tǒng)的要求。實際上對于小波雙通道濾波器組能夠精確重構(gòu)信號的充要條件已經(jīng)由Vetterli［4］給出：

通過濾波器組矩陣滿足仿酉性質(zhì)［5］，Vaidyanathan將上述充要條件推廣到M（M為自然數(shù)）個通道的多速率濾波器組。Smith和Barnwell以及Mintzer根據(jù)前人的結(jié)論給出了共軛鏡像濾波器的定義條件：

這個條件也是生成正交小波的條件之一。經(jīng)過多位學(xué)者的努力，Daubechies系小波已經(jīng)具備上述的充要條件。通過以上分析，可以歸納為：首先，二通道采樣系統(tǒng)對信號降頻采樣是可以理論構(gòu)建的，通過理論推導(dǎo)的濾波器組相互之間需要滿足一定的條件；其次，小波分解和重構(gòu)的理論基礎(chǔ)是完備的，其關(guān)于正交鏡像濾波器組的構(gòu)建方式，非常契合于前文推導(dǎo)的二通道采樣濾波器組應(yīng)該滿足的關(guān)系；第三，通過調(diào)用已經(jīng)存在的小波基函數(shù)，滿足相應(yīng)的條件下，理論上可以達到對信號降頻采樣的目的，采樣頻率要求為原來的一半，這非常有利于超寬帶信號的采集，有利于降低對ADC器件的硬件要求。

3 仿真驗證

為驗證基于小波的正交鏡像濾波器組的有效性，用db4小波對一個超寬帶沖激信號進行二通道采樣處理，結(jié)果如圖10所示，結(jié)果展示了信號經(jīng)小波濾波器一層分解后的兩路信號形式，并進行重構(gòu)，重構(gòu)誤差的數(shù)量級很小，不影響信號的后續(xù)處理。

圖10 db4小波分解重構(gòu)圖

圖10說明：使用二通道采樣原理構(gòu)建小波，并使用相關(guān)小波對信號做一次分割即二通道采樣處理，能較精確地均分頻帶，重構(gòu)效果良好，誤差較小。

4 結(jié)束語

本文研究了二通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的原理，分析了Daubechies小波與二通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中濾波器組的關(guān)系，采用db4小波重構(gòu)了低通、高通濾波器，最后用MATLAB仿真驗證了采用db4小波對一個超寬帶沖激信號進行二通道重構(gòu)處理的結(jié)果。仿真結(jié)果表明重構(gòu)效果良好，誤差較小。

［1］黃柯宇.基于小波的UWB雷達信號采集及頻帶分割濾波器研究［D］.成都：電子科技大學(xué)，2003.

［2］高成.Matlab小波分析與應(yīng)用［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2007.

［3］Stephane Mallat.信號處理的小波導(dǎo)引［M］.楊力華，戴道清，黃文良，湛秋輝譯.北京：機械工業(yè)出版社，2002.

［4］Vetterli M.Fliter banks allowing perfect reconstruction［J］.Signal Processing，1986，10（3）：219－244.

［5］Akansu A N，Haddad R A，Caglar H.The binomial QMF－wavelet transform for multire－solution signal decomposition［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，6（5）：250－261.