基于彈簧阻尼模型的碰撞動(dòng)力學(xué)研究

周志才，吳新躍，張文群，謝最偉

（海軍工程大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢430033）

在工程實(shí)際中，多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為往往伴隨著接觸碰撞的發(fā)生.關(guān)于含碰撞的多體動(dòng)力學(xué)建模理論，國(guó)內(nèi)外在恢復(fù)系數(shù)模型、動(dòng)量平衡模型和彈簧阻尼模型等適合碰撞的幾種比較常用模型方面取得了諸多研究成果.彈簧阻尼模型假定變形發(fā)生在接觸區(qū)的鄰域，將接觸模型簡(jiǎn)化為一個(gè)彈簧阻尼系統(tǒng)，認(rèn)為碰撞過(guò)程不再是瞬時(shí)的過(guò)程，可以通過(guò)模型的數(shù)值分析計(jì)算碰撞力和作用過(guò)程［1］，能夠很好地對(duì)低速碰撞問(wèn)題進(jìn)行模擬.本文基于等效彈簧阻尼模型對(duì)多體系統(tǒng)進(jìn)行碰撞動(dòng)力學(xué)建模研究.

1 基于能量關(guān)系的等效彈簧阻尼模型

等效彈簧阻尼法認(rèn)為接觸力是一種特殊的力，將碰撞過(guò)程中碰撞現(xiàn)象處理為連續(xù)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，將接觸力等效成一個(gè)彈簧阻尼模型（圖1）.設(shè)兩個(gè)物體接觸點(diǎn)的曲率半徑分別為r1和r2，接觸面法線正向?yàn)閚.考慮材料阻尼，廣義的Hertz公式具有如下形式［2］

式中：δ為兩個(gè)物體沿接觸面法向相對(duì)壓入型變量； δ為相對(duì)壓入速度.根據(jù) Hunt和Grossley的研究［3－4］，阻尼系數(shù) D ＝λδn.k為彈性力學(xué)中的 Hertz剛度，它取決于材料特性和曲率半徑，可表示為

式中Ei和vi分別為兩個(gè)物體的彈性模量和泊松比.

圖1 等效彈簧阻尼模型

1.1 滯后阻尼系數(shù)計(jì)算

將碰撞過(guò)程分為壓縮階段和恢復(fù)階段.在壓縮階段，兩個(gè)物體沿接觸面法向產(chǎn)生形變直到兩個(gè)物體的相對(duì)逼近速度為零，此時(shí)相對(duì)壓縮量達(dá)到最大值δm，隨后開(kāi)始恢復(fù)階段直至兩個(gè)物體分離，碰撞結(jié)束.根據(jù)Hunt假設(shè)，碰撞期間的能量被阻尼耗散，式（1）表示的接觸力模型相對(duì)于壓入量的關(guān)系呈滯后形式（圖2）.

根據(jù)能量關(guān)系確定滯后阻尼系數(shù)λ與碰撞前后的速度關(guān)系，基于Newton恢復(fù)系數(shù)e，計(jì)算碰撞期間系統(tǒng)的動(dòng)能損耗

此外，碰撞導(dǎo)致的能量損耗也可沿圖2所示的滯后環(huán)進(jìn)行積分獲得，即

圖2 Hertz接觸力的滯后形式

比較式（3）和（4）可見(jiàn)，恢復(fù)系數(shù)和滯后阻尼系數(shù)之間滿足

1.2 最大壓縮量的計(jì)算

壓縮階段，兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程可以等價(jià)為

對(duì)上式進(jìn)行積分，有

這里 δ0＝υ10－υ20.在壓縮階段結(jié)束時(shí)，相對(duì)壓縮量達(dá)到最大值δm，而 δ＝0，代入式（6）可以解出

上式表明，兩個(gè)物體的相對(duì)最大壓縮量取決于碰撞體的質(zhì)量、接觸面材料性質(zhì)、接觸點(diǎn)曲率半徑和碰撞前的速度.

1.3 接觸時(shí)間的計(jì)算

聯(lián)合式（6）和（7）可得

對(duì)上式進(jìn)行積分得

當(dāng)δ達(dá)到δm，即δ／δm＝1時(shí)，

假設(shè)壓縮階段和恢復(fù)階段的接觸時(shí)間相同，則可近似求得整個(gè)碰撞期間的接觸時(shí)間

1.4 接觸力的計(jì)算

將式（5）、（8）代入式（1）可以求得壓縮階段接觸力

由于物體之間的彈性正碰撞時(shí)間很短，一般在10－3～10－5s之間，故假設(shè)恢復(fù)階段 δ的變化與壓縮階段的變化相同［5］.壓縮階段彈簧力和阻尼力的方向相同，恢復(fù)階段時(shí)彈簧和阻尼力方向相反，所以接觸力產(chǎn)生滯后現(xiàn)象.恢復(fù)階段的接觸力可表示為

2 基于沖擊函數(shù)法（impact）的彈簧阻尼模型

沖擊函數(shù)法是根據(jù)impact函數(shù)來(lái)計(jì)算兩個(gè)構(gòu)件之間的碰撞力，其滯后阻尼系數(shù)采用step函數(shù)進(jìn)行模擬.impact函數(shù)［5］的一般表達(dá)式為：

式中：ε為碰撞指數(shù)；cmax為最大阻尼系數(shù)；d為到達(dá)最大阻尼系數(shù)時(shí)的切入深度.阻尼系數(shù)形式為step（q，q0，h0，q1，h1），按下式進(jìn)行計(jì)算：

對(duì)ADA MS碰撞力定義的分析表明，碰撞接觸力仿真需要確定剛度系數(shù)、碰撞指數(shù)、阻尼系數(shù)和阻尼達(dá)到最大時(shí)的切入深度d.根據(jù)赫茲理論，兩物體碰撞的接觸剛度可根據(jù)式（2）確定；碰撞指數(shù)由式（11）可知，碰撞指數(shù)ε反映了材料的非線性程度（其推薦值金屬與金屬材料為1.5，橡膠材料為2）；最大阻尼系數(shù)cmax表征碰撞能量的損失，其值通常設(shè)為剛度系數(shù)的0.1%～1%；切入深度表征最大阻尼時(shí)的侵入深度，開(kāi)始碰撞時(shí)沒(méi)有阻尼力，隨著侵入深度增大，阻尼力加大，直到最大阻尼力，其適合值為0.1 mm.

3 算例分析

以兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2圓球物體在水平面內(nèi)發(fā)生的對(duì)心正碰撞為研究算例，取兩球的半徑分別為r1＝25 mm，r2＝50 mm.材料取碳鋼，其中彈性模量E1＝E2＝206 GPa，泊松比v1＝v2＝0.28，密度ρ＝7 800 kg／m3.初始速度υ10＝0.2 m／s，υ20＝0，分別使用基于能量關(guān)系的彈簧阻尼模型和impact函數(shù)模型對(duì)恢復(fù)系數(shù)e為0.3～0.8進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果如表1中所示（限于篇幅，僅列部分結(jié)果），繪制相對(duì)壓入形變量與接觸力曲線（圖3、圖4）.

表1 模型接觸碰撞計(jì)算結(jié)果

圖3 e＝0.8時(shí)形變接觸力曲線

圖4 e＝0.3時(shí)形變接觸力曲線

由表1可以看出，當(dāng)發(fā)生碰撞的兩個(gè)物體的質(zhì)量、接觸面材料性質(zhì)、接觸點(diǎn)曲率半徑和碰撞前的速度確定之后，兩物體的最大形變量也就確定了，跟牛頓恢復(fù)系數(shù)無(wú)關(guān)，這與式（7）也是相吻合的；由于沖擊函數(shù)模型沒(méi)有考慮碰撞速度對(duì)滯后阻尼的影響，導(dǎo)致沖擊函數(shù)模型結(jié)果仿真相比于理論計(jì)算結(jié)果存在一定誤差；沖擊函數(shù)模型是在恢復(fù)系數(shù)e≈1時(shí)進(jìn)行模擬的，所以在恢復(fù)系數(shù)較大時(shí)沖擊函數(shù)模型仿真是正確的，但當(dāng)e＜0.7時(shí)，沖擊函數(shù)模型的準(zhǔn)確性比較差.

在含有接觸問(wèn)題的多體動(dòng)力學(xué)分析中，接觸模型的選取是計(jì)算結(jié)果正確與否的關(guān)鍵.經(jīng)過(guò)以上理論計(jì)算模型和沖擊函數(shù)仿真模型的對(duì)比分析，可以根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適方法，并且通過(guò)設(shè)置合理參數(shù)獲得足夠準(zhǔn)確的結(jié)果.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)碰撞模型中最常用的彈簧阻尼模型，分別進(jìn)行了理論公式推導(dǎo)和仿真計(jì)算.將碰撞過(guò)程分為壓縮階段和恢復(fù)階段，結(jié)合能量關(guān)系和恢復(fù)系數(shù)法對(duì)碰撞力、最大壓入形變量和碰撞接觸時(shí)間進(jìn)行了推導(dǎo)，得出了顯式解析解.通過(guò)ADA MS軟件建立仿真模型，設(shè)置合理參數(shù)進(jìn)行仿真分析，與理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較研究.理論模型的參數(shù)設(shè)置比較簡(jiǎn)單，但公式推導(dǎo)計(jì)算比較復(fù)雜，直觀性不強(qiáng)；沖擊函數(shù)模型直觀性強(qiáng)，在恢復(fù)系數(shù)e＞0.7時(shí)，沖擊函數(shù)模型可以得到較好的仿真結(jié)果，但是碰撞前的速度對(duì)碰撞的影響沒(méi)有考慮進(jìn)去，且仿真參數(shù)的設(shè)置對(duì)結(jié)果影響很大.如何正確設(shè)置碰撞參數(shù)需要更進(jìn)一步的研究.

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