王 品，謝維信，劉宗香，高存臣

（1.深圳大學(xué)ATR國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 深圳518060；2.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島266100）

多目標(biāo)跟蹤技術(shù)一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究問(wèn)題。目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤方法是先關(guān)聯(lián)后估計(jì)，關(guān)聯(lián)精度直接影響跟蹤效果，目標(biāo)數(shù)未知并且存在雜波和虛警時(shí)，關(guān)聯(lián)很難實(shí)現(xiàn)［1－4］。Mahler等從統(tǒng)計(jì)的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩濾波器”的概念（也稱概率假設(shè)密度濾波器，PHDF）［4］，PHDF避免了觀測(cè)值和狀態(tài)值之間直接關(guān)聯(lián)，但迭代過(guò)程中存在集合積分運(yùn)算，計(jì)算上難以處理。所以 Vo等提出粒子 PHDF［5］（PF－PHDF），PFPHDF可以很好的估計(jì)出每個(gè)時(shí)刻多目標(biāo)的狀態(tài)值［6］，但PF－PHDF跟蹤結(jié)果不能確認(rèn)每個(gè)目標(biāo)的狀態(tài)，進(jìn)而不能給出有效的跟蹤航跡。Panta提出多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法和PF－PHD濾波結(jié)合的跟蹤方法［6］，但用多假設(shè)關(guān)聯(lián)算法過(guò)多地依賴目標(biāo)和雜波的先驗(yàn)知識(shí)并且計(jì)算復(fù)雜很難實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)［6－7］。近年來(lái)Vo等又提出了適用于線性高斯系統(tǒng)的高斯混合PHD濾波方法（GMPHD）［8］，推導(dǎo)了PHD的解析表達(dá)式，繼而又有大量改進(jìn)的 GM－PHD濾波方法［9－11］，對(duì)于系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲為非高斯噪聲的多目標(biāo)跟蹤環(huán)境GM－PHD就無(wú)法使用，但PF－PHD仍然適用。

針對(duì)以上問(wèn)題，提出1種新的基于PF－PHDF的多目標(biāo)模糊跟蹤方法，這種方法用粒子濾波預(yù)測(cè)和更新多目標(biāo)狀態(tài)集合的PHD，估計(jì)出目標(biāo)數(shù)并用模糊C－均值聚類算法給出多目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)，把得到的目標(biāo)狀態(tài)作為新的觀測(cè)集，然后用模糊關(guān)聯(lián)得到各個(gè)航跡的關(guān)聯(lián)結(jié)果，最后通過(guò)建立臨時(shí)航跡濾掉了雜波點(diǎn)并且有效的提高了目標(biāo)的跟蹤精度。

1 基于隨機(jī)有限集的多目標(biāo)跟蹤框架

1.1 多目標(biāo)跟蹤模型

在多目標(biāo)跟蹤系統(tǒng)中，目標(biāo)的出現(xiàn)和消失都是隨機(jī)的。本文假設(shè)每一時(shí)刻出現(xiàn)的新目標(biāo)數(shù)服從均值為λa的柏松分布。一個(gè)k時(shí)刻的目標(biāo)下一時(shí)刻可能存在也可能消失，假設(shè)目標(biāo)從k－1時(shí)刻存活到k時(shí)刻的概率是ek｜k－1，則目標(biāo)在k時(shí)刻的死亡概率為1－ek｜k－1。目標(biāo)的檢測(cè)概率為PD。

目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)服從馬爾可夫動(dòng)態(tài)模型：

觀測(cè)表示為：

假設(shè)在k時(shí)刻，目標(biāo)數(shù)和觀測(cè)數(shù)分別為Nk和Mk，多目標(biāo)的狀態(tài)集與觀測(cè)集分別表示隨機(jī)有限集合的形式，即Xk＝｛xk，1，…xk，Nk｝Es為多目標(biāo)狀態(tài)，Zk＝｛zk，1，…zk，Mk｝Eo為多目標(biāo)觀測(cè)，其中Es，Eo分別表示狀態(tài)空間和觀測(cè)空間。若k－1時(shí)刻狀態(tài)集為Xk－1，則k時(shí)刻的狀態(tài)集可以表示為：

其中：Sk｜k－1（Xk－1）表 示 k 時(shí) 刻 仍 存 活 的 目 標(biāo) 集；Bk｜k－1（Xk－1）表示由k－1時(shí)刻衍生的目標(biāo)集；Γk表示k時(shí)刻出現(xiàn)的新目標(biāo)集。一般用f（Xk｜Xk－1）表示多目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度。類似地，k時(shí)刻的觀測(cè)集可表示為：Zk＝Gk（Xk）∪Ck（Xk），其中Gk（Xk）表示由 Xk產(chǎn)生的觀測(cè)值隨機(jī)有限集；Ck（Xk）表示雜波或者虛警產(chǎn)生的隨機(jī)有限集。

1.2 隨機(jī)有限集的概率假設(shè)密度濾波

隨機(jī)有限集理論的引入為多目標(biāo)的Bayes濾波提供了與單目標(biāo)的Bayes濾波一致的完美形式，但需要建立相應(yīng)的概率分布和概率密度的概念。由于涉及到計(jì)算集導(dǎo)數(shù)和廣義積分問(wèn)題，在隨機(jī)有限集理論中概率分布一般采用信任函數(shù)的形式，即：對(duì)于隨機(jī)有限集Ξ的概率分布表示為［5］：

1.2.1 多目標(biāo)Bayes濾波 假設(shè)k－1時(shí)刻多目標(biāo)的全局后驗(yàn)密度為pk－1（Xk－1｜Z1∶k－1），則k時(shí)刻多目標(biāo)全局密度預(yù)測(cè)方程為［4］：

其中：μs表示一種合適的測(cè)度［5］。更新后得到k時(shí)刻多目標(biāo)的全局后驗(yàn)密度：

在目標(biāo)數(shù)目不定或數(shù)目較大的情況下全局密度的計(jì)算非常困難，使得基于全局密度的多目標(biāo)Bayes濾波在工程上難以實(shí)現(xiàn)。所以Mahler等從統(tǒng)計(jì)的角度提出了多目標(biāo)情況下“一階矩密度”的概念，即概率假設(shè)密度。

其中：δx表示中心為x 的 Dirac delta函數(shù)；DΞ（x0）是在x0點(diǎn)期望的目標(biāo)密度；∫SDΞ（x）dx時(shí)出現(xiàn)在S內(nèi)的期望的目標(biāo)數(shù)，而利用DΞ（x）的極值可以給出目標(biāo)的狀態(tài)估計(jì)。

PHD濾波器（PHDF）就是對(duì)多目標(biāo)后驗(yàn)密度的概率假設(shè)密度Dk｜k遞推過(guò)程，也是通過(guò)預(yù)測(cè)更新2個(gè)步驟來(lái)實(shí)現(xiàn)。假設(shè)k－1時(shí)刻后驗(yàn)密度為υk－1。

PHD預(yù)測(cè)方程：

PHD更新方程：

1.2.2 概率假設(shè)密度 隨機(jī)有限集Ξ的概率假設(shè)密度表示為：

其中：ek｜k－1，fk｜k－1，pD，gk｜k－1同前定義；βk｜k－1，βk分 別表示Bk｜－1，Bk的PHD；kk表示雜波的PHD。PHD濾波一般通過(guò)粒子濾波（SMC）來(lái)實(shí)現(xiàn)，粒子的更新權(quán)值之和等于估計(jì)的目標(biāo)數(shù)。

2 基于隨機(jī)有限集和模糊關(guān)聯(lián)的多目標(biāo)跟蹤

2.1 模糊關(guān)聯(lián)

模糊關(guān)聯(lián)（FDA）算法是以模糊均值聚類（FCM）算法為基礎(chǔ)的，F(xiàn)DA的目的就是把每條航跡的預(yù)測(cè)值vi（i＝1，2…c）作為聚類中心，然后利用FCM方法把每個(gè)觀測(cè)和可能航跡之一關(guān)聯(lián)起來(lái)。FCM是一種能自動(dòng)對(duì)數(shù)據(jù)樣本分類的方法。他通過(guò)優(yōu)化模糊目標(biāo)函數(shù)得到每個(gè)樣本點(diǎn)相對(duì)類中心的隸屬度，從而決定樣本點(diǎn)的歸屬。即：找出最佳隸屬度uik和最佳模糊聚類中

PF－PHDF雖然能給出在當(dāng)前時(shí)刻目標(biāo)的估計(jì)狀態(tài)，但是它沒(méi)有保留任何目標(biāo)航跡。然而有些數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法可以基于PF－PHDF給出目標(biāo)的跟蹤航跡，因此，需要結(jié)合數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法來(lái)獲得目標(biāo)的航跡，將模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)算法引入到PHDF方法當(dāng)中對(duì)復(fù)雜情況下多目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。具體過(guò)程見(jiàn)圖1。

由圖1可已看出：由k時(shí)刻的觀測(cè)值通過(guò)PFPHD得到每個(gè)粒子的狀態(tài)、權(quán)值、和目標(biāo)數(shù)，并通過(guò)模糊聚類（FCM）得到每個(gè)目標(biāo)k時(shí)刻的估計(jì)狀態(tài)，然后根據(jù)模糊關(guān)聯(lián)（FAD）得到多目標(biāo)跟蹤航跡，最后通過(guò)建立臨時(shí)航跡的方法確定形成多目標(biāo)航跡。

圖1 PF－PHDF與模糊關(guān)聯(lián)跟蹤實(shí)現(xiàn)過(guò)程Fig.1 Tracking with the PF－PHDF and fuzzy associate

2.2 算法的具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

步驟一 初始化PHD，即：Dk｜k。在k＝0時(shí)刻，用帶權(quán)重的粒子初始化概率假設(shè)密度D0｜0，即：初始密度函數(shù)為初始的粒子個(gè)數(shù)。

PF－PHD的具體過(guò)程是：

步驟四 模糊關(guān)聯(lián)的具體實(shí)現(xiàn)步驟：

（2）利用FCM算法求分割矩陣U，分割矩陣中的元素uik代表航跡i和觀測(cè)k之間的關(guān)聯(lián)度量，分割矩陣包含了所有航跡和所有觀測(cè)的隸屬度。相似性度量由下式確定

（3）對(duì)最大隸屬度值uMik進(jìn)行搜索，將觀測(cè)kM賦給航跡iM，然后把uMik對(duì)應(yīng)的行和列上的值賦值為0。重復(fù)搜索一直到所有觀測(cè)或者所有航跡有關(guān)聯(lián)對(duì)象，或者當(dāng)時(shí)的最大隸屬度小于隸屬度初始閾值。

步驟五 判斷臨時(shí)航跡內(nèi)是否為空，如果臨時(shí)航跡內(nèi)有航跡，接下來(lái)就和臨時(shí)航跡內(nèi)的航跡關(guān)聯(lián)，轉(zhuǎn)到步驟四。然后分析關(guān)聯(lián)不上的航跡和觀測(cè)，即找出所有沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的航跡和沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的觀測(cè)，沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的觀測(cè)形成新的航跡，沒(méi)有關(guān)聯(lián)上的航跡暫時(shí)保留在臨時(shí)航跡內(nèi)。

步驟六 確認(rèn)目標(biāo)，分離并剔除雜波。被保留的航跡連續(xù)3個(gè)時(shí)刻都沒(méi)有相應(yīng)的觀測(cè)與之關(guān)聯(lián)，認(rèn)為該目標(biāo)在第一次沒(méi)有關(guān)聯(lián)對(duì)象的時(shí)候已經(jīng)消失或離開(kāi)觀測(cè)區(qū)域。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證算法的性能，便于比較，仿真實(shí)驗(yàn)條件如同文獻(xiàn)［6］，實(shí)驗(yàn)步長(zhǎng)為50。傳感器的觀測(cè)空間為二維平面區(qū)域S＝［－400，400］×［－400，400］，時(shí)間間隔T＝1s，PD＝0.99，ek｜k－1＝0.95，λa＝3。

每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)模型和觀測(cè)模型分別為：

w1k，w2k，vk都是均值為0的高斯白噪聲，標(biāo)準(zhǔn)差分別為1、0.1和0.5。初始粒子數(shù)為1 000，每個(gè)目標(biāo)分配的粒子數(shù)目為500。多目標(biāo)估計(jì)誤差用Wasserstein距離［5］。仿真結(jié)果見(jiàn)圖2～3。

圖2和3顯示了50s內(nèi)PF－PHD方法跟蹤真實(shí)軌跡的估計(jì)值，從圖中可以看出，PF－PHDF的跟蹤結(jié)果只是每個(gè)時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)的估計(jì)值，沒(méi)有跟蹤軌跡，而且偶爾估計(jì)誤差比較大，有的雜波點(diǎn)沒(méi)有去掉，這是因?yàn)橹焕镁垲惣夹g(shù)估計(jì)的狀態(tài)值具有不可靠性［8］。

圖4是經(jīng)過(guò)PF－PHDF濾波后，然后利用多假設(shè)關(guān)聯(lián)的方法給出多個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，但是無(wú)法分辨出雜波點(diǎn)，而且通常目標(biāo)的軌跡也不連續(xù)，這是由于漏檢或者是PHDF濾波過(guò)程中濾掉了真實(shí)目標(biāo)點(diǎn)。圖5是本文提出方法的跟蹤航跡，可以看出本文方法明確了給出了每個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由于保留臨時(shí)航跡思想的引入，濾除了雜波點(diǎn)并修復(fù)了漏檢等情況造成的目標(biāo)軌跡的中斷。圖6是2種方法跟蹤目標(biāo)數(shù)的比較，文獻(xiàn)［6］的估計(jì)目標(biāo)數(shù)中作者首先去掉了每個(gè)時(shí)刻的雜波點(diǎn)數(shù)，也就是2種發(fā)放估計(jì)的真實(shí)目標(biāo)數(shù)的比較，明顯看出本文方法能比較準(zhǔn)確的估計(jì)出目標(biāo)數(shù)。圖7是文獻(xiàn)［6］方法和本文方法的跟蹤誤差比較，從圖中可以看出，本文方法的狀態(tài)估計(jì)誤差明顯小于文獻(xiàn)［6］的方法，進(jìn)一步表明了本文方法的優(yōu)越性。

圖7 本文方法和文獻(xiàn)［6］方法的狀態(tài)估計(jì)誤差比較Fig.7 Wasserstein distance between point estimate outputs of MHT－PHD filter［6］and the proposed filter

表1給出了3種PHD濾波器的時(shí)間復(fù)雜度的對(duì)比結(jié)果，從表中看出，PF－PHD的實(shí)時(shí)性能最好，實(shí)時(shí)性能最差，而 FDA－PF－PHD 實(shí)時(shí)性能比 MHT－PFPHD要好。這是因?yàn)槊看侮P(guān)聯(lián)MHT的計(jì)算量比FDA的計(jì)算量大?？傮w看來(lái)本文提出的方法的跟蹤精度較高，跟蹤速度相對(duì)較快。

表1 CPU運(yùn)行時(shí)間對(duì)比Table 1 Comparison of CPU running time

4 結(jié)語(yǔ)

目標(biāo)數(shù)目不定的多目標(biāo)跟蹤問(wèn)題無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用中都是具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。本文利用隨機(jī)集的概率假設(shè)密度濾波的方法確定目標(biāo)數(shù)目并估計(jì)出每個(gè)時(shí)刻的目標(biāo)狀態(tài)，然后利用模糊數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的方法給出各個(gè)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)軌跡，同時(shí)提出了建立臨時(shí)航跡的方法。通過(guò)大量的仿真實(shí)驗(yàn)與文獻(xiàn)算法的跟蹤性能進(jìn)行比較，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新算法有效地避免漏檢造成的目標(biāo)丟失，得到每個(gè)目標(biāo)的航跡。特別對(duì)于目標(biāo)發(fā)生交叉的情況，能很好地區(qū)分每個(gè)目標(biāo)的航跡，并能很好的去除雜波點(diǎn)。CPU耗時(shí)比文獻(xiàn)［6］的方法減少了20℅。下一步將繼續(xù)研究?jī)?yōu)化算法，進(jìn)一步提高多目標(biāo)跟蹤的實(shí)時(shí)性，另外考慮研究PHDF的收斂性和穩(wěn)定性［13－15］，進(jìn)一步提高 PHD在多目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的實(shí)用性。

［1］ 徐曉濱，文成林，劉榮利.基于隨機(jī)集理論的多源信息統(tǒng)一表示與建模方法 ［J］.電子學(xué)報(bào)，2008，36（6）：1174－1181.

［2］ Mahler R.Random sets：unification and computation for information fusion－a retrospective assessment［C］.the 7th International Conference on Information Fusion，Sweden：ICIF，2004：1－20.

［3］ Chenglin Wen，Zhiliang Li，Xiaobin Xu.A new method for extracting fuzzy evidence from fuzzy information based on the random set theory ［C］.Chongqing：7th World Congress on Intelligent Control and Automation，2008：4999－5003.

［4］ Mahler R.Statistical multisource－multitarget information fusion［M］.Boston：Artech House Publishers，2007.

［5］ Vo B，Singh S，Doucet A.Sequential monte carlo methods for multi－target filtering with random finite sets ［J］.IEEE Trans Aerospace and Electronic Systems，2005，41（4）：1224－1245.

［6］ Panta K，Vo B，Singh S.Novel data association technique for the probability hypothesis density filter ［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43（2）：556－570.

［7］ Papi F，Battistelli G，Chisci L，et al.Multitarget tracking via joint PHD filtering and multiscan association［C］.Seattle：the 12th International Conference on Information Fusion，2009：1163－1170.

［8］ Ba－Ngu Vo，Wing－Kin Ma.The Gaussian mixture probability hypothesis density filter［J］.IEEE Trans.Signal Processing，2006，54（11）：4091－4104.

［9］ Clark D，Vo B T，Vo B N，et al.Gaussian Mixture Implementations of Probability Hypothesis Density Filters for Non－linear Dynamical Models［C］.The IET Seminar on Target tracking and Data Fusion：Algorithms and Applications.Birmingham，UK：IET Press，2008：21－28.

［10］ Clark D，Vo B T，Vo B N，et al.Gaussian Particle Implementations of Probability Hypothesis Density Filters［C］.IEEE Aerospace Conference.Montana，USA：AIAA Press，2007：1－11.

［11］ 張俊根，姬紅兵，蔡紹曉.基于高斯粒子JPDA濾波的多目標(biāo)跟蹤算法 ［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2010，32（11）：2686－2690.

［12］ Mahler R.PHD filters of higher order in target number［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2007，43（3）：1523－1543.

［13］ 高存臣，徐偉麗.一類線性中立型不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性［J］.中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，40（7）：155－158.

［14］ Clark D，Bell J.Convergence results for the particle PHD filter［J］.IEEE Trans Signal Processing，2006，54（7）：2652－2661.