三個基本初等區(qū)間函數(shù)的研究

高德寶

（黑龍江八一農(nóng)墾大學理學院數(shù)學系，大慶163319）

區(qū)間分析（又稱區(qū)間計算、區(qū)間數(shù)學）理論是定義在區(qū)間數(shù)集上的數(shù)學理論。區(qū)間分析思想很早以前就出現(xiàn)于文獻［1，2］等中，公認的區(qū)間分析理論的奠基人是美國數(shù)學家Ramon E.Moore。他和R.Baker Kearfott，Michael J.Cloud 三人在 2009年發(fā)表了專著《區(qū)間分析導論》[3]。區(qū)間分析理論已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于科學計算和工程領(lǐng)域，如文［4，5，6，7］。

Moore 在文［3］中對以區(qū)間數(shù)為變量的初等函數(shù)做了很大程度上的論述。特別是對單調(diào)函數(shù)，如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)等。由于區(qū)間數(shù)是由兩個區(qū)間端點來確定的，故可以說區(qū)間數(shù)變量是實數(shù)域上的二維變量。而Moore 在同一個平面上表述了函數(shù)的像與原像之間的關(guān)系，在這種情形下，難發(fā)現(xiàn)與找到映射的幾何性質(zhì)以及函數(shù)本身所固有的一些性質(zhì)。由于區(qū)間數(shù)是由兩個量來確定的，故從實數(shù)意義上來講，區(qū)間數(shù)函數(shù)應(yīng)該是由兩個變量確定的兩個函數(shù)。所以區(qū)間函數(shù)應(yīng)該是二維空間到二維空間上的映射。從這個角度出發(fā)，本文具體的探索了有關(guān)區(qū)間數(shù)函數(shù)的概念、計算、映射及其性質(zhì)。

1 區(qū)間數(shù)的基本概念及其運算

定義 1 稱 A=［al，ar］={x｜al≤x≤ar，x∈R}為一個區(qū)間數(shù)。當al=ar時，區(qū)間數(shù)退化為一實數(shù)。所有區(qū)間數(shù)的集合記為I（R）。

定義 2 給定兩個區(qū)間數(shù) A=［al，ar］，B=［bl，br］。有如下區(qū)間數(shù)之間的四則運算運算：

在除法中，應(yīng)假設(shè)0?B。

上面所提及的理論基本上來源于文獻［3，9］。

注1：集合I（R）內(nèi)的元素與半平面{（x，y）｜x≤y，x∈R，y∈R}內(nèi)的點具有一一對應(yīng)關(guān)系。

習慣上，我們用［x，y］表示實數(shù)域上的閉區(qū)間，（x，y）表示平面內(nèi)的點。本文對閉區(qū)間［x，y］（∈I（R））與點（x，y）（x≤y）不作任何區(qū)別。

定義 3 設(shè)［x1，y1］，［x2，y2］是兩個區(qū)間數(shù)。若 x1=x2，y1=y2，我們則稱這兩個區(qū)間數(shù)相等。記作［x1，y1］=［x2，y2］。

注2：本文用I（R）表示實數(shù)集R 上的所有閉區(qū)間的集合。例如：I（［2，3））表示區(qū)間［2，3）上所有閉區(qū)間的集合。

2 區(qū)間函數(shù)

所謂區(qū)間函數(shù)就是以區(qū)間數(shù)為自變量與因變量的函數(shù)。下面本文給出了一種具體的定義方式。

定義4 如圖1 所示，設(shè)D，E≤I（R），若對于任意的［x，y］∈D，按照某一法則 f，有唯一的區(qū)間數(shù)［u，v］∈E 與之對應(yīng)，則稱f 是區(qū)間函數(shù)。其中D 稱為定義域，與D 對應(yīng)的所有［u，v］的集合稱為f 的值域。有時，我們也稱這個［u，v］是［x，y］的象，稱［x，y］是［u，v］的一個原象。用數(shù)學符號把它表達出來就是：

［u，v］=f（［x，y］）。

形如一元實函數(shù)，有些區(qū)間函數(shù)具有一些特殊的性質(zhì)，比如說奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性等。本文僅涉及單調(diào)性，下面我們具體闡述區(qū)間函數(shù)單調(diào)性的定義。

在一元函數(shù)中，一些函數(shù)具有單調(diào)性的特性。而區(qū)間函數(shù)是多元函數(shù)，又因為區(qū)間數(shù)［x，y］本身與具有全序關(guān)系的實數(shù)不同，不具有自然的全序關(guān)系，故一般的情況下無法討論它們的單調(diào)性。但有許多文獻（如［8，9］等）討論了區(qū)間數(shù)的偏序關(guān)系，我們可以在某個序關(guān)系下研究區(qū)間數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。本文著重討論下面文［3］中偏序關(guān)系下的單調(diào)性。

定義5 在I（R）中任取兩個區(qū)間數(shù)［x1，y1］，［x2，y2］若 x1≤x2，y1≤y2，我們則稱［x1，y1］在［x2，y2］之前，或［x2，y2］在［x1，y1］之后。

這個偏序關(guān)系，我們用“≤”來表示。這樣，如果［x1，y1］在［x2，y2］之前，那么［x1，y1］≤［x2，y2］。

定義6 設(shè)f 在區(qū)間數(shù)集D 上有定義。我們說

（1） 如果對于D 上的任意兩個區(qū)間數(shù)［x1，y1］，［x2，y2］，當［x1，y1］≤［x2，y2］時，有f（［x1，y2］）≤f（［x2，y2］），我們說f 在D 上是單調(diào)遞增的。

（2）如果對于 D 上的任意兩個區(qū)間數(shù)［x1，y1］和［x2，y2］，當［x1，y1］≤［x2，y2］時，有f（［x1，y2］）≤f（［x2，y2］），我們說f 在D 上是單調(diào)遞減的。

注3：由于實數(shù)是區(qū)間數(shù)的特殊情形，故基本初等區(qū)間函數(shù)定義的基本原則是：當區(qū)間數(shù)退化為實數(shù)時，基本初等區(qū)間函數(shù)就是基本初等實函數(shù)。

2.1 區(qū)間指數(shù)函數(shù)和區(qū)間對數(shù)函數(shù)

定義 7 任?。踴，y］∈I（R），對于任意的 t∈［x，y］，有指數(shù)函數(shù)at（a＞0，a≠1）使得at∈［u，v］∈I（（0，+∞）），同時對于任意的w∈［u，v］∈I（（0，+∞）），存在t∈［x，y］，使得 w=at。從而對于任意的區(qū)間數(shù)［x，y］∈I（R），按照實數(shù)指數(shù)函數(shù)at的對應(yīng)法則，存在區(qū)間數(shù)［u，v］∈I（（0，+∞））與之對應(yīng)。區(qū)間數(shù)之間的這種函數(shù)關(guān)系，我們稱其為區(qū)間指數(shù)函數(shù)。記作

［u，v］=a[x，y]。

定理1 設(shè)a[x，y]在I（R）上有定義。

（1）當 0＜a＜1 時，a[x，y]=［ay，ax］；

（2）當 a＞1 時，a[x，y]=［ax，ay］。

證明 當0＜a＜1 時，由于at 是單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)，故當 t∈［x，y］時，at∈［ay，ax］。

同時當 w∈［ay，ax］，存在 t∈［x，y］，使得 at=w。故

a[x，y]=［ay，ax］。

同理，當a＞1 時，由于at 是單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，故 a[x，y]=［ax，ay］。

定理2 設(shè)I（R）具有偏序關(guān)系“≤”。

（1）當 0＜a＜1，區(qū)間指數(shù)函數(shù) a[x，y]是單調(diào)遞減的；

（2）當 a＞1 時，區(qū)間指數(shù)函數(shù) a[x，y]是單調(diào)遞增的。

證明當0＜a＜1 時，在I（R）中任取兩個區(qū)間數(shù)［x1，y1］，［x2，y2］且假設(shè) x1≤x2，y1≤y2。

由于 a［x1，y1］=［ay1，ax1］，a［x2，y2］=［ay2，ax2］ 且 ay1≥ay2，ax1≥ax2，故有

［ay1，ax1］≤［ay2，ax2］。

根據(jù)定義6 有：指數(shù)函數(shù)a[x，y]是單調(diào)遞增的。

同理可證當 0＜a＜1，區(qū)間指數(shù)函數(shù) a[x，y]是單調(diào)遞減的。

易知at（a＞0，a≠1）的自然定義域為I（R）。因為ax＞0，所以 u＞0。指數(shù)函數(shù)［u，v］=a[x，y]將 xy 平面上的集合I（R）映射到uv 平面上的集合{（u，v）｜0＜u≤v，u∈R，v∈R}（見圖1）。

當a=e 時，指數(shù)函數(shù)也可以表示為［u，v］=exp（［x，y］）。

類似于指數(shù)函數(shù)，我們可以在I（（0，+∞））和I（R）之間定義區(qū)間對數(shù)函數(shù)。記作

［u，v］=loga（［x，y］）（a＞0，a≠1）。

類似于定理1 與定理2 的證明過程，我們可證得以下兩個關(guān)于區(qū)間對數(shù)函數(shù)的定理。

定理3 設(shè)loga（［x，y］）在I（（0，+∞））上有定義。

（1）當0＜a＜1 時，loga（［x，y］）=［logay，logax］；

（2）當a＞1 時，loga（［x，y］）=［logax，logay］。

易知loga（［x，y］）的自然定義域為I（（0，+∞））。故對數(shù)函數(shù)［u，v］=loga（［x，y］）將xy 平面上的集合I（（0，+∞））映射到uv 平面上的集合I（R）（見圖2）。

定理4 設(shè)在I（（0，+∞））中具有偏序關(guān)系“≤”。

（1）當0＜a＜1 時，區(qū)間對數(shù)函數(shù)loga（［x，y］）是單調(diào)遞減的；

（2）當a＞1 時，區(qū)間對數(shù)函數(shù)loga（［x，y］）是單調(diào)遞增的。

當 a=e 時，指數(shù)函數(shù)也可以表示為［u，v］=ln（［x，y］）。

比較圖2 與圖3 知：對數(shù)函數(shù)的原象，象所形成的圖形分別與指數(shù)函數(shù)函數(shù)的象，原象所形成的圖形是相同的。從這個意義上來講，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是互逆的。

2.2 區(qū)間冪函數(shù)

定義8 設(shè)D，E?I（R）。任?。踴，y］∈D，對于任意的t∈［x，y］，有冪函數(shù)ta（a∈R）使得ta∈［u，v］∈E，同時對于任意的 w∈［u，v］∈E，存在 t∈［x，y］，使得w=ta。從而對于任意的區(qū)間數(shù)［x，y］∈D，按照冪函數(shù)ta的對應(yīng)法則，存在區(qū)間數(shù)［u，v］∈E 與之對應(yīng)。區(qū)間數(shù)之間的這種函數(shù)關(guān)系，我們稱其為區(qū)間冪函數(shù)。記作

［u，v］=［x，y］a。

設(shè)冪函數(shù) ta在閉區(qū)間［x，y］上有定義，則 ta 在［x，y］上連續(xù)。從而ta的值域為

從而冪函數(shù)的具體計算公式為

上面的計算公式對所有區(qū)間冪函數(shù)都是成立的，下面討論幾種特殊情形。根據(jù)實數(shù)冪函數(shù)的定義以及冪函數(shù)的連續(xù)性，易知有下面的結(jié)論。

定理 5 設(shè)［x，y］a是區(qū)間冪函數(shù)，則

（1）當 a≥0，x∈［0，+∞］時，［x，y］a=［xa，ya］。

（2）當 a＜0，x∈（0，+∞）時，［x，y］a=［ya，xa］。

（3）當a=n 是正整數(shù)時，有

上式給出了當x∈［0，+∞］時，區(qū)間冪函數(shù)比較簡明的計算公式。但若 y∈（-∞，0） 或 0∈（x，y），當x=y 時，［x，y］a在實數(shù)域內(nèi)可能無意義?？紤]到這種情形，我們需要下面的引理。

引理1 設(shè)實數(shù)冪函數(shù)ta在（-∞，0）上有定義，則

證明 當t＜0 時，根據(jù)有關(guān)復(fù)數(shù)理論[10]，我們有

上式結(jié)果為實數(shù)的充分必條件是（a+2ka）π=mπ（m，k=0±1，±2，…），即

在這種情形下，

ta=｜t｜acos（mπ）=（-1）m｜t｜a=±｜t｜a，m=0，±1，±2，…。利用引理1 以及函數(shù)ta的單調(diào)性，容易證明下面定理6 的結(jié)論。

定理 6 設(shè)［x，y］a在 I（（-∞，0））上有定義和 t＜0。

（1）如果 ta=｜t｜a且 a＞0，那么［x，y］a=［ya，xa］；

（2）如果 ta=｜t｜a且 a＜0，那么［x，y］a=［xa，ya］；

（3）如果 ta=-｜t｜a且 a＞0，那么［x，y］a=［xa，ya］；

（4）如果 ta=-｜t｜a且 a＜0，那么［x，y］a=［ya，xa］。

3 總結(jié)

本文在給出區(qū)間數(shù)函數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，定義了基本初等區(qū)間指數(shù)函數(shù)、區(qū)間對數(shù)函數(shù)和區(qū)間冪函數(shù)。并進一步的討論了這些函數(shù)的一些固有性質(zhì)。其次，以區(qū)間對數(shù)函數(shù)和區(qū)間指數(shù)函數(shù)的自然定義域和值域分別為原象和象，在兩個平面上給出了這兩個函數(shù)的映射圖形。

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