周 杰，郝 彥，王朝平

（浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山 316004）

交通流理論是交通問題的基礎(chǔ)研究內(nèi)容之一，研究的目的是建立能夠描述實(shí)際交通一般特性的數(shù)學(xué)模型，揭示各種交通流現(xiàn)象的本質(zhì)特征．從而為指導(dǎo)交通規(guī)劃和設(shè)計，發(fā)展有效的交通控制管理策略和技術(shù)提供可靠的理論依據(jù)．交通擁堵作為車流交通復(fù)雜行為的典型特征之一，多年來已被眾多學(xué)者通過建立各種模型廣泛研究．這些模型主要有跟馳模型、流體力學(xué)模型以及元胞自動機(jī)模型等等．

跟馳模型是一種典型的微觀交通流模型．該模型假設(shè)車隊(duì)在單車道行駛時，不容許超車的情況下，后車跟隨前方的車輛行駛，因此稱為跟馳模型．跟馳模型較其他模型的一個顯著特點(diǎn)是易于得到其解析形式的解．在1953年，PIPES[1]建立了經(jīng)典跟馳模型，該模型成功描述了連續(xù)兩輛車的運(yùn)動過程．1995年，BANDO等[2]通過優(yōu)化速度函數(shù)，建立了優(yōu)化速度模型．該模型描述了在高速路上，高密度條件下車輛跟馳行為．在眾多車輛跟馳模型中，優(yōu)化速度模型首次反映出交通流的轉(zhuǎn)變原理．但是，與實(shí)際數(shù)據(jù)相比較，優(yōu)化速度模型存在不切實(shí)際的加速或減速現(xiàn)象．為了克服以上不足，HELBING和TILCH[3]在優(yōu)化速度模型基礎(chǔ)上，考慮速度差形式，建立廣義力學(xué)模型．姜銳[4-5]等在考慮正負(fù)速度差基礎(chǔ)上，建立了全速度差模型．較之優(yōu)化速度模型與廣義力學(xué)模型，該模型在理論上更加符合實(shí)際交通狀況．2011年，彭光含等[6]通過考慮優(yōu)化速度差，建立了優(yōu)化速度差模型，研究優(yōu)化速度差對交通穩(wěn)定性的作用．文獻(xiàn)[6]利用線性穩(wěn)定理論，推出了優(yōu)化速度模型的穩(wěn)定性條件．但是其沒有對模型進(jìn)行非線性分析．本文將考慮在中性穩(wěn)定區(qū)域以及不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，該模型的KdV方程和mKdV方程，并用它們的密度波解來刻畫交通擁堵．

本文的主要工作是從優(yōu)化速度差模型出發(fā)，得到模型的等價形式．利用約化攝動法，推導(dǎo)出模型的KdV方程和mKdV方程，并得到其孤立波解與扭結(jié)－反扭結(jié)波解．

1 優(yōu)化速度差模型的KdV方程

在文獻(xiàn)[6]中，彭光含等人提出優(yōu)化速度差模型，其形式為

其穩(wěn)定性條件為

其中性穩(wěn)定性條件為

為方便下文研究，式(1)可改寫為

本小節(jié)將從粗?；某叨瓤紤]長波模式，通過長波展開，利用約化攝動法[7]，研究在中性穩(wěn)定線附近亞穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的交通流狀況，導(dǎo)出模型的KdV方程及該方程給出的孤立波形式的密度波刻畫交通擁堵．

對空間變量n和時間變量t，分別引入慢變量X和T，

其中b是待定常數(shù)，0＜ε＜1[8]．令車頭間距可表示成

將式(5)和(6)代入(4)式，將ε做泰勒展開至ε6，得到非線性偏微分方程

在中性穩(wěn)定線附近的不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)，設(shè)

其中as由式(3)給出．令b=V′(h)，消去式(7)中ε的三階和四階形式，得到

對式(9)做如下變量代換

得到帶高階小量的標(biāo)準(zhǔn)KdV方程

若忽略高階小量ε，式(11)就是標(biāo)準(zhǔn)KdV方程，其孤立波解為

其中振幅A的取值將在下面給出．假設(shè)Rk(Xk,Tk)=R0(Xk,Tk)+εR1(Xk,Tk)，考慮式(11)中的O(ε)項(xiàng)，可以在孤立波解系中確定式(11)的唯一解．可解性條件為

這里為式(11)中的項(xiàng)．積分后，得到孤立波的振幅為

替換回原有變量，可以得到由孤立波表示的車頭間距為

從以上討論可以得到結(jié)論：中性穩(wěn)定曲線附近，可以得到KdV方程，其孤立波解刻畫了交通流的擁擠密度波．

2 優(yōu)化速度差模型的mKdV方程

本小節(jié)考慮臨界點(diǎn)附近的交通流狀況，借助速度優(yōu)化函數(shù)

的拐點(diǎn)特性，即V″(hc)=0，在中交通流不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)推導(dǎo)出模型的mKdV方程，其扭結(jié)－反扭結(jié)波解刻畫了交通擁堵密度波．

對空間變量n和時間變量t，分別引入慢變量X和T，X和T采用式(5)的形式.車頭間距表示成

將式(5)和(17)代入(4)式，將ε做泰勒展開至ε5，得到非線性偏微分方程

對式(19)做如下變量代換

得到帶高階小量的標(biāo)準(zhǔn)mKdV方程

若忽略高階小量O(ε)，式(19)就是標(biāo)準(zhǔn)mKdV方程，其扭結(jié)－反扭結(jié)波解為

由可解性條件，可以得到扭結(jié)－反扭結(jié)波的傳播速度為

替換回原有變量，可以得到mKdV方程的扭結(jié)－反扭結(jié)波解為

扭結(jié)－反扭結(jié)波表示的車頭間距為

從以上討論可以得到結(jié)論：不穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)臨界點(diǎn)附近，可以得到mKdV方程，其扭結(jié)－反扭結(jié)波解刻畫了交通流的擁擠密度波．

[1]PIPES L A.An Operational Analysis of Traffic Dynamics[J].Journal of Applied Physics,1953,24:274.

[2]BANDO M,HASEBE K,NAKAYAMA A,et al.Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation[J].Physical Review E,1995,51:1 035-1 042.

[3]HELBING D,TILCH B.Generalized Force Model of Traffic Dynamics[J].Physical Review E,1998,58:133-138.

[4]JIANG R,WU Q S,ZHU Z J.Full velocity difference model for a car-following theory[J].Physical Review E,2001,64：017101-1-4.

[5]JIANG R,WU Q S,ZHU Z J.A new continuum model for traffic flow and numerical tests[J].Transportation Research B,2002,36:405-419.

[6]PENG G H,CAI X H,LIU C Q,et al.Optimal velocity difference model of a car-following theory[J].Physics letters A,2011,375:3 973-3 977.

[7]KOMATSU T,SASA S.Kink soliton characterizing traffic congestion[J].Physical Review E,1995,52:5 574-5 582.

[8]CROSS M C,HOHENBERG P C.Pattern formation outside of equilibrium[J].Review of Modern Physics.1993,65:851-1 112.