實數(shù)連續(xù)性九個等價命題的證明

羅　敬，段　汕

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實數(shù)連續(xù)性九個等價命題的證明

羅敬，段汕*

（中南民族學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，湖北 武漢 430074）

敘述九種形式的實數(shù)連續(xù)性定理，并采用閉循環(huán)回路方式證明這九種常見實數(shù)連續(xù)性定理彼此等價。

實數(shù)連續(xù)性；等價命題；證明

1　實數(shù)連續(xù)性命題描述

1.1單調(diào)有界定理

1.2閉區(qū)間套定理

1.3有限覆蓋定理

1.4 界點定理

1.5 確界定理

1.6 實數(shù)連續(xù)性定理

1.7 聚點定理

定理1.7.1（聚點定理）：實數(shù)集的任一無限有界子集至少有一個聚點。

1.8 致密性定理

定理1.8.1(致密性定理):有界數(shù)列必含有收斂子列。

1.9 柯西收斂準則

2 實數(shù)連續(xù)性九個命題的等價性

前面我們敘述了實數(shù)連續(xù)性的九個命題，現(xiàn)在我們將證明實數(shù)連續(xù)性的九個命題中任意兩個等價。為了節(jié)省篇幅，我們用閉循環(huán)回路的方式證明。這些證明有助于加深對實數(shù)連續(xù)性的九個命題的理解及其等價性的理解，有助于掌握用這些定理證明分析中一些重要定理的思想方法。這是《數(shù)學分析》中很重要的基本功。下面我們按圖1所示順序證明它們等價：

圖1 九個命題的閉循環(huán)回路

2.1 單調(diào)有界定理→閉區(qū)間套定理

存在極限。設(shè)

2.2 間區(qū)間套定理→有限覆蓋定理

2.3 有限覆蓋定理→界點定理

故綜上可得：假設(shè)不成立。

2.4 界點定理→確界定理

2.5 確界定理→實數(shù)連續(xù)性定理

2.6 實數(shù)連續(xù)性定理→聚點定理

2.7 聚點定理→致密性定理

2.8 致密性定理→柯西收斂準則

證明: （1）柯西收斂準則的必要性

（2）證柯西收斂準則的充分性

2.9 柯西收斂準則→單調(diào)有界定理

至此，實數(shù)連續(xù)性九個定理的等價性得到了證明。這九個定理的數(shù)學形式雖然不同，但都描述了實數(shù)集的連續(xù)性。這樣，我們在解決有關(guān)實數(shù)連續(xù)性的問題時，表述的方式就更多樣化了。正如在任何語言中，同一思想可以用多種表達方法一樣，同一個數(shù)學事實可以有不同的表達方式和不同的證明方法。而在證明過程中，我們不只檢驗了定理，而且對定理有了更深的理解。隨著對數(shù)學的深入學習，數(shù)學呈現(xiàn)給我們的是一個更加精彩的世界，其中的發(fā)現(xiàn)更是無窮無盡的。應用這九個命題，我們可以證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零值定理、最值定理、一致連續(xù)性定理等,從而實數(shù)連續(xù)性的等價定理有更加廣泛的應用空間。

[1] 段鵬舉. 實數(shù)連續(xù)性的八個等價命題[J]. 宿州學院學報，2008,23(1).

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[6] 鄧東皋，尹小玲. 數(shù)學分析簡明教程[M]. 北京: 高等教育出版社，1999.9-13.

The Proof on the Equivalence among Nine Theorems of the Continuance of Real Number

LUO Jing, DUAN Shan

(School of Mathematics and Statistics ,South-Central University for Nationalities , Wuhan Hubei 430074 ,China)

This paper illustrates nine theorems of the continuance of real number,and proves the nine theorems are equivalent in the analytic way of closed circle.

Continuance of Real Number; Equivalent Preposition; Proof

O171

A

1009－5160(2012)03－0089－05

*通訊作者：段汕（1962-），女，教授，研究方向：圖像處理和模式識別.