張英俏

（延邊大學理學院 物理系，吉林 延吉133002）

基于光纖連接的腔系統(tǒng)實現(xiàn)兩比特離散量子傅立葉變換

張英俏

（延邊大學理學院 物理系，吉林 延吉133002）

提出了在外加經(jīng)典場驅(qū)動的情況下，利用光纖連接的2個腔系統(tǒng)執(zhí)行兩比特離散量子傅立葉變換的方案．該方案通過發(fā)送2個原子交替通過一系列經(jīng)典場和腔場來實現(xiàn)，而且該兩比特方案可推廣至N比特離散量子傅立葉變換．

離散量子傅立葉變換；腔QED；光纖

0 引言

離散量子傅立葉變換（DQFT）作為一種重要的量子算法，可表示為下面的線性幺正變換

其中｜j〉＝｜j1j2…jn〉是1個給定的n比特態(tài)，且有ji∈ ｛0，1｝，0．jljl＋1…jm＝jl/2＋jl＋1/4＋… ＋jm/2m－l＋1．近幾年，研究者已經(jīng)提出了許多執(zhí)行離散量子傅立葉變換的方案，其中包括利用選定原子依次通過一系列經(jīng)典場和高Q腔執(zhí)行離散量子傅立葉變換的方案［1］．此后，又有幾個利用腔量子電動力學執(zhí)行離散量子傅立葉變換的可選方案被提出，這些方案中有的是通過設計可調(diào)節(jié)的兩比特條件相位門［2］，有的是通過使用兩比特受控非門和SWCZ門［3］，有的是利用一步CRkS門代替復雜的受控Rk門和SWAP門操作［4］．此外，核磁共振系統(tǒng)［5］和光學系統(tǒng)［6－7］也被用于實現(xiàn)離散量子傅立葉變換．目前，雖然在實現(xiàn)離散量子傅立葉變換方面取得了大量進展，但在實際實驗中仍存在許多問題．本文提出1個利用2個由光纖連接的腔系統(tǒng)執(zhí)行兩比特離散量子傅立葉變換的方案．

1 原子-腔光-纖相互作用

考慮2個全同原子處于2個由光纖連接的腔中，每個原子有1個激發(fā)態(tài)｜r〉j和2個基態(tài)｜e〉j和｜g〉j．｜e〉j→｜r〉j躍遷由拉比頻率為Ω的經(jīng)典場驅(qū)動，其失諧量為Δ．｜g〉j→｜r〉j躍遷由腔模耦合，其耦合常數(shù)為g，失諧量為~Δ．該系統(tǒng)的相互作用哈密頓為

其中aj和aj?分別是第j個腔模的消滅算符和產(chǎn)生算符．在Δ，~Δ?Ω，g的條件下，激發(fā)態(tài)｜r〉j能夠被絕熱消除掉，因此HI可寫成

其中b和b?分別是光纖模的消滅和產(chǎn)生算符，υ是光纖與腔模的耦合常數(shù)．

定義3個玻色子模［9］：

描述原子 －腔耦合和腔 －光纖耦合的哈密頓可分別改寫為：

和

且基于薛定諤方程（?＝1）

2個原子1，2的不同初始態(tài)分別演化為：

2 原子——經(jīng)典微波場的相互作用

原子與經(jīng)典微波場的相互作用使得原子產(chǎn)生下面的幺正旋轉(zhuǎn)變換［1，10］：

上式為1個單比特量子門，且有φ＝Ωt/2．將沿著x，y和z軸旋轉(zhuǎn)的基本旋轉(zhuǎn)門定義為［11］：

因此Rα（θ）（α＝x，y，z）門可由經(jīng)典微波脈沖實現(xiàn)：

相似地，相位門S和哈德馬門H 可由經(jīng)典微波脈沖實現(xiàn)：

3 執(zhí)行兩比特離散量子傅立葉變換

假設2個原子初始時處于量子態(tài)：a0｜gg〉12＋a1｜ge〉12＋a2｜eg〉12＋a3｜ee〉12，且2個腔模和光纖模初始時處于真空態(tài)．執(zhí)行兩比特離散量子傅立葉變換的詳細過程如下：

步驟1 讓原子1經(jīng)過一系列經(jīng)典場使得原子1能經(jīng)歷旋轉(zhuǎn)操作H 和Rz（π/4），這一過程可由原子 －微波共振相互作用實現(xiàn)．

步驟2 讓原子1經(jīng)過2次經(jīng)典場分別實現(xiàn)躍遷｜g〉→｜e〉和｜e〉→｜r〉．適當選擇經(jīng)典場的振幅和相位使原子1經(jīng)歷下面的躍遷過程：

步驟3 讓原子1和2分別進入2個由光纖連接的腔，且使2個腔分別處于拉比頻率為Ω的經(jīng)典場的驅(qū)動．經(jīng)過相互作用時間χt＝π后，原子1和2離開腔，因此有

步驟5 利用經(jīng)典微波脈沖驅(qū)動原子1和2使得原子1分別經(jīng)歷變換Rz（－π/4），H和Rz（－π/2），原子2經(jīng)歷變換Rz（－π/4）．

步驟6 讓原子1和2分別進入2個由光纖連接的腔，且使2個腔分別處于拉比頻率為Ω的經(jīng)典場的驅(qū)動．經(jīng)過相互作用時間χt＝π/2后，原子1和2離開腔，有

步驟7 讓原子1和2經(jīng)過一系列經(jīng)典場以使原子1和2分別經(jīng)歷變換S和H．經(jīng)過這一過程后，1個兩比特離散量子傅立葉變換得以實現(xiàn)．

4 結論

本文提出了利用光纖連接處于經(jīng)典場驅(qū)動下的2個腔系統(tǒng)執(zhí)行兩比特離散量子傅立葉變換的方案，該方案的實現(xiàn)需滿足條件．在此條件下，原子的自發(fā)輻射和腔衰減的影響可忽略不計，而且該兩比特方案可推廣至N 比特離散量子傅立葉變換．

［1］ Scully M O，Zubairy M S．Cavity QED implementation of the discrete quantum Fourier transform［J］．Phys Rev A，2002，65：052324（4）．

［2］ Wang H F，Zhang S，Yeon K H．Implementing quantum discrete Fourier transform by using cavity quantum electrodynamics［J］．J Korean Phys Soc，2008，53：1787－1790．

［3］ Wang H F，Shao X Q，Zhao Y F，et al．Protocol and quantum circuit for implementing the N－bit discrete quantum Fourier transform in cavity QED［J］．J Phys B：At Mol Opt Phys，2010，43：065503（7）．

［4］ Wang H F，Zhu A D，Zhang S，et al．Simple implementation of discrete quantum Fourier transform via cavity quantum electrodynamics［J］．New J Phys，2011，13：013021（11）．

［5］ Weinstein Y S，Pravia M A，F(xiàn)ortunato E M，et al．Implementation of the quantum Fourier transform［J］．Phys Rev Lett，2001，86：1889－1891．

［6］ Barak R，Ben－Aryeh Y．Quantum fast Fourier transform and quantum computation by linear optics［J］．J Opt Soc Am B，2007，24：231－240．

［7］ Howell J C，Yeazell J A．Reducing the complexity of linear optics quantum circuits［J］．Phys Rev A，2000，61：052303（5）．

［8］ Serafini A，Mancini S，Bose S．Distributed quantum computation via optical fibers［J］．Phys Rev Lett，2006，96：010503（4）．

［9］ Zheng S B，Yang C P，Nori F．Arbitrary control of coherent dynamics for distant qubits in a quantum network［J］．Phys Rev A，2010，82：042327（6）．

［10］ Imamoglu A，Awschalom D D，Burkard G，et al．Quantum information processing using quantum dot spins and cavity QED［J］．Phys Rev Lett，1999，83：4204－4207．

［11］ Raimond J M，Brune M，Haroche S．Manipulating quantum entanglement with atoms and photons in a cavity［J］．Rev Mod Phys，2001，73：565－582．

［12］ Barenco A，Bennett C H，Cleve R，et al．Elementary gates for quantum computation［J］．Phys Rev A，1995，52：3457－3467．

Implementation of the two－qubit discrete quantum Fourier transform with optical－fiber－connected cavities

ZHANG Ying－qiao
（Department of Physics，College of Science，Yanbian University，Yanji 133002，China）

Scheme on implementation of the two－qubit discrete quantum Fourier transform（DQFT）is proposed based on two optical－fiber－connected cavities，which are，respectively，driven by two classical fields．The scheme is finished by sending two atoms，alternatively，through a series of classical fields and optical－fiberconnected cavities．Furthermore，the two－qubit scheme can be used to the N－qubit DQFT．

discrete quantum Fourier transform；cavity QED；optical fiber

O431

A

1004－4353（2012）03－0200－04

20120705 作者簡介：張英俏（1978—），女，理學博士，講師，研究方向為量子信息學．

國家自然科學基金科學部主任基金資助項目（11147174）；延邊大學科技發(fā)展計劃項目（601010024）