劉 易，任學敏

（同濟大學 應用數(shù)學系，上海 200092）

隨著全球經(jīng)濟一體化的進程，各國貨幣的兌換變得更為便捷.本國公司在貸款時，可根據(jù)實際情況或需求在本幣貸款和外幣貸款中進行選擇.前者是直接借入本幣，在貸款到期日按本幣還款；而后者是公司借入外幣，將其兌換成本幣用于投資經(jīng)營，在貸款到期日兌換回外幣用以還款.當外幣的利率低于本幣，且貨幣可自由兌換時，公司通常會采用外幣貸款來降低貸款成本.如在東南亞金融危機前泰國實行盯住美元的匯率制度，因而當美元由貶值轉(zhuǎn)向升值時，泰銖相應升值.泰國央行被迫不斷提高利率，本幣貸款成本上升，大量泰國公司尋求外幣貸款以降低融資成本，且由于盯住制度（金融實務(wù)中又稱佩齊制）屏蔽了匯率風險，而使得外幣貸款備受追捧.然而危機爆發(fā)后，泰國政府宣布放棄盯住制度，泰銖的大幅度貶值使得公司資產(chǎn)兌換成外幣后資產(chǎn)價值急劇下降，公司無力償還外幣貸款額，造成資不抵債而違約.由此可見，當外國利率較低時，本國公司采用外幣貸款在降低公司的貸款成本的同時，可能的匯率風險也增加了公司潛在的風險.本文試圖在此情況下，對公司本、外幣貸款時公司違約概率和貸款價值建立相應的模型.匯率和公司資產(chǎn)值相關(guān)性分析表明，當兩者存在正相關(guān)或負相關(guān)程度較小時，公司采用外幣貸款時公司違約概率相對較大；反之當兩者負相關(guān)程度較大時，采用外幣貸款的違約概率反而相對較小.因而從違約概率的角度出發(fā)，給出公司選擇本、外幣貸款的一個基本標準，即當某外國的利率較低，且兩國匯率與本國公司資產(chǎn)存在負相關(guān)程度較大時，本國公司采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款.

對公司貸款的定價主要有兩種方法：約化方法和結(jié)構(gòu)化方法.在約化方法中，違約時間是由一個外生的跳過程來刻畫的，用Poisson過程來描述，如Jarrow and Turnbull［1］，Duffie and Singleton等［2］.結(jié)構(gòu)化方法是以期權(quán)定價理論為基礎(chǔ)的，Merton［3］通過公司的資本和負債的變動過程來刻畫違約.Black ＆Cox［4］對其進行推廣提出了首次通過模型，當公司資產(chǎn)值下降到事先約定的違約邊界時發(fā)生違約.Zhou［5］引入了跳擴散過程，使得即使臨近到期日公司也可能由其資產(chǎn)的大幅下降而造成違約.

本文采用結(jié)構(gòu)化模型中的首次通過模型，假設(shè)公司除此份本幣或外幣貸款外無其他債務(wù).對于本幣貸款，公司的違約邊界如Black ＆Cox［4］所示，采用公司本幣的負債值的貼現(xiàn)來刻畫，一旦公司資產(chǎn)首次觸及違約邊界，公司即因資不抵債而違約.而對于外幣貸款，由于公司在貸款到期日需以外幣還款，因而違約邊界為外幣還款額的貼現(xiàn).當公司資產(chǎn)兌換成外幣后的資產(chǎn)價值小于違約邊界時，公司因資不抵債而違約.當公司違約時，貸款者只能回收得到部分的貸款還款額；反之，則在貸款到期日收到全部的貸款還款額.文中對上述情形分別給出了相應的偏微分方程定解問題，通過求解得到定價公式并對公司違約概率和貸款價值進行比較.分析了借款公司的資產(chǎn)與匯率之間的相關(guān)性對公司違約概率和貸款價值的影響，從公司違約概率的角度出發(fā)，給出了公司選擇本、外幣貸款的一個基本標準.

1 模型的基本假設(shè)

假設(shè)1（匯率） 設(shè)St為本幣兌外幣匯率，服從下列隨機微分方程：

式中：常數(shù)r，rF和σ1分別為本幣無風險利率、外幣無風險利率和匯率的波動率；（W1）tt≥0為標準布朗運動.

假設(shè)2（公司） 設(shè)貸款公司的資產(chǎn)Vt（以本幣計），服從下列隨機微分方程：

式中：常數(shù)σ2為公司資產(chǎn)的波動率；（W2t）t≥0為標準布朗運動，且與（W1t）t≥0相關(guān)，即 Cov（dW1t，dW2t）＝ρdt

設(shè)貸款公司違約后的回收率為常數(shù)R，0≤R＜1.

假設(shè)3（貸款） 分別考慮公司以本幣貸款和外幣貸款的情況，公司除此之外不存在其他債務(wù).設(shè)兩者的到期日均為T，且以本幣計時，初始時刻的貸款額均為F.

（1）本幣貸款：本國公司在時刻0借入本幣F，在時刻T償還貸款，本幣還款額為FerT.若公司在貸款到期日之前違約，違約時刻貸款的回收值為部分到期本幣還款額，反之貸款的價值為全部到期本幣還款額.

（2）外幣貸款：本國公司在時刻0借入外幣FS0，在時刻T償還貸款，外幣還款額為FS0erFT.若公司在貸款到期日之前違約，違約時刻貸款的回收值為部分到期外幣還款額，反之貸款的價值為全部到期外幣還款額.

設(shè)U （X，S，t）和U1（X ，t）分別為t時刻以外幣計的外幣貸款價值和以本幣計的本幣貸款價值；以外幣和本幣貸款時，公司的違約概率分別為P （X，S，t）和P1（X ，t）.

假設(shè)4（公司違約） 設(shè)τ為公司采用外幣貸款情況下公司的違約時刻，采用結(jié)構(gòu)化模型中的首次通過模型來刻畫違約，公司資產(chǎn)需兌換成外幣用于還款，則違約時刻分別為

這里b1t為公司采用外幣貸款時的違約邊界，采用與Black ＆Cox［4］中對違約邊界的假設(shè)，設(shè)為公司負債值的貼現(xiàn)，即b1t＝FS0erFTe-rF（T-t）＝FS0erFt.

設(shè)τ2為公司采用本幣貸款情況下公司的違約時刻，則違約時刻分別為

這里b2t為公司采用本幣貸款時的違約邊界，設(shè)為公司本幣還款額的貼現(xiàn)值，即b2t＝Fert.

2 模型的建立

2.1 公司違約概率的數(shù)學模型

在按外幣貸款時，t時刻公司的違約概率滿足如下表達式：

P （X ，t）是以下終邊值問題在區(qū)域｛ln b1t≤X＜∞，0＜t≤T｝上的解［6］.

公司采用外幣貸款時，t時刻公司的違約概率為P （V，S，t）有如下形式的顯示解：

式中：N（·）為正態(tài)分布累積函數(shù).

作奇開拓，并由 Poisson公式［7］得

代回原來的變量即可得式（8）.

同理可得，采用本幣貸款時，t時刻公司的違約概率為Q2（X ，t）有如下形式的顯示解：

2.2 本、外幣貸款價值的數(shù)學模型

為給出公司采用外幣貸款時貸款的現(xiàn)金流，根據(jù)借款公司資產(chǎn)的不同情況，對貸款的價值進行分析.從貸款者的角度，有：

（1）當借款公司資產(chǎn)兌換成外幣后的價值大于外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即＞b1t時，則t時刻貸款的價值為外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即FS0erFt.

（2）當借款公司資產(chǎn)兌換成外幣后的價值不大于外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即≤b1t時，借款公司因資不抵債而違約，則t時刻貸款的價值為部分外幣到期還款額的貼現(xiàn)，即RFS0erFt.

綜合上述所有情況，t時刻貸款的價值為

由Feynman-Kac公式，外幣貸款的價值（17）滿足如下偏微分方程終邊值問題：

t時刻貸款價值的解析表達式如下：

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作奇開拓，并由 Poisson公式［7］得

代回原來的變量即可得式（19）.

相應地可得以本幣計的本幣貸款的貸款價值如下：

3 數(shù)值計算及分析

計算得到數(shù)值結(jié)果包含：

（1）公司以本、外幣貸款時，違約概率的比較.

（2）公司以本、外幣貸款時，貸款價格的比較.

（3）公司以外幣貸款時，資產(chǎn)與匯率的相關(guān)性對公司違約概率的影響.

（4）公司以外幣貸款時，匯率對公司違約概率和貸款價值的影響.

本文的主要目的是通過比較本、外幣貸款情況下公司的違約概率，給出選擇本、外幣貸款時的基本標準，并分析匯率與貸款公司相關(guān)性對于外幣貸款的影響.為了能對初始時刻本、外幣貸款的價值進行比較，設(shè)初始時刻的匯率S0＝1.選取的數(shù)據(jù)如下：

圖1為公司分別采用本、外幣貸款時，違約概率的比較.通過觀察可知，公司違約概率均隨時間的上升而上升.這是因為，時間越長，公司違約的可能性越大.當匯率與公司資產(chǎn)呈正相關(guān)時，外幣貸款時公司違約概率高于本幣貸款時公司違約概率.這是因為在以外幣貸款時，公司不僅存在著自身資產(chǎn)變動的影響，同時面臨著匯率的風險，兩者的同向變化會加大貸款違約的可能性.

圖1 本、外幣貸款時公司違約概率的比較Fig.1 The comparison between default probability for domestic and foreign currency loan

圖2為公司分別采用本、外幣貸款時，貸款在初始時刻價值的比較.可以看到，貸款價值均隨時間的上升而下降.這是因為，時間越長，則公司違約的可能性越大，貸款的風險越大價值越低.且當匯率與公司資產(chǎn)呈正相關(guān)時，外幣貸款時貸款價值低于本幣貸款時貸款價值.這是因為，在以外幣貸款時，公司不僅存在著自身資產(chǎn)變動的影響，同時面臨著匯率的風險，因而貸款價值小于本幣貸款時貸款價值.

圖2 本、外幣貸款時貸款價值的比較Fig.2 The comparison of loan value between the domestic and the foreign currency loan

圖3為公司以外幣貸款時，資產(chǎn)與匯率的相關(guān)性對公司違約概率的影響.可以看到，隨著借款者公司資產(chǎn)與匯率相關(guān)性的下降，公司的違約概率下降.當兩者具有較大負相關(guān)性時，公司采用外幣借款時的違約概率要小于本幣借款時的違約概率.這是因為，當公司資產(chǎn)與匯率為正相關(guān)時，兩者同向的變化可能導致資產(chǎn)兌換成外幣后的價值更低，使得公司違約的可能性更大.且隨著相關(guān)性的下降，兩者同向變化的可能性下降，因而公司違約概率下降.反之，當兩者為負相關(guān)時，盡管公司資產(chǎn)下降，但匯率上升的可能性增加，使得資產(chǎn)兌換成外幣后的價值上升，反而使得公司違約概率下降.且隨著負相關(guān)程度的上升，這種負相關(guān)對公司違約概率的下降的影響更顯著，特別當負相關(guān)程度較大時，公司外幣貸款時的違約概率將小于本幣貸款時的違約概率.所以認為本國公司在選擇貸款者時，通常情況下采用本幣貸款可以規(guī)避匯率的風險.但當某外國的利率較低，且兩國匯率與本國公司資產(chǎn)存在負相關(guān)程度較大的外國貸款者，則此時采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款.

圖3 資產(chǎn)和匯率相關(guān)性對外幣貸款時公司違約概率的影響Fig.3 The impact of correlation between firm asset and exchange rate on default probability

圖4 公司違約概率和貸款價值與匯率的關(guān)系Fig.4 The relationship among exchange rate，default probability and the value of the loan

圖4為公司以外幣貸款時，公司違約概率以及貸款價值與匯率的關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，隨著匯率的上升，公司違約概率下降，且貸款的價值上升.這是因為，外幣隨著匯率的上升而相應地貶值，公司采用外幣貸款的貸款成本下降，則其違約概率下降，外幣貸款的價值上升.

4 結(jié)論

針對本、外幣貸款，分別建立了公司違約概率和貸款價值模型，并給出了顯示解.通過計算發(fā)現(xiàn)，公司本、外幣貸款時公司的違約概率和貸款價值的相對大小依賴于公司資產(chǎn)和匯率相關(guān)性.當兩者存在正相關(guān)或負相關(guān)程度較小時，公司采用外幣貸款時的違約概率相對較大；當兩者負相關(guān)程度較大時，采用外幣貸款的違約概率相對較小.因而以公司違約概率為衡量本、外幣貸款的標準之一，認為當某外國的利率較低，且兩國匯率與本國公司資產(chǎn)存在負相關(guān)程度較大時，從違約概率的角度出發(fā)，本國公司采用外幣貸款要優(yōu)于本幣貸款，公司可結(jié)合自身情況和需求進行選擇.

［1］Jarrow R A，Turnbull S.Pricing derivatives on financial securities subject to credit risk［J］.Journal of Finance，1995，50（1）：53.

［2］Duffie D，Singleton K.Modeling term structures of defaultable bonds［J］.Review of Financial Studies，1999，12：687.

［3］Merton，R.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rates［J］.Journal of Finance，1974，29：449.

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［6］姜禮尚，徐承龍，任學敏，等.金融衍生產(chǎn)品定價的數(shù)學模型與案例分析［M］.北京：高等教育出版社，2008.JIANG Lishang，XU Chenglong，REN Xuemin，et al.The mathematic model and the case analysis of financial derivatives pricing［M］.Beijing：Higher Education Press，2008.

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