王少敏，熊 明，茶國(guó)智

（1.大理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理 671003；2.大理學(xué)院工程學(xué)院，云南大理 671003）

一類非自治二階系統(tǒng)的周期解

王少敏1，熊 明1，茶國(guó)智2

（1.大理學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，云南大理 671003；2.大理學(xué)院工程學(xué)院，云南大理 671003）

文章的主要目的是研究一類二階哈密頓系統(tǒng)的周期解的存在性。通過使用最小作用原理獲得了一個(gè)新的存在性定理。

周期解；最小作用原理；Sobolev's不等式

1 引言和主要結(jié)果

考慮二階系統(tǒng)

其中T＞0，F(xiàn)：［0，T］×RN→R滿足如下假設(shè)：

（A）：F（t，x）對(duì)于每個(gè)x∈RN關(guān)于t可測(cè)，對(duì)于a.e.t∈［0，T］關(guān)于x是連續(xù)可微的，存在a∈C（R+，R+），b∈L（10，T；R+）使得

H1T=｛u：［0，T］→RN｜u是絕對(duì)連續(xù)，u（0）=u（T），u∈L（20，T；RN）｝是一個(gè)Hilbert空間，具有范數(shù)

相應(yīng)泛函為

在H1T上連續(xù)可微且弱下半連續(xù)且

眾所周知，u∈H1T是問題（1）的一個(gè)解的充要條件是u是φ的一個(gè)臨界點(diǎn)〔3〕。

在假設(shè)（A）和一些適當(dāng)?shù)臈l件下，通過使用最小作用原理和臨界點(diǎn)理論中的極大極小方法，人們已經(jīng)獲得了很多存在性結(jié)果〔1-10〕。特別地，文獻(xiàn)〔2〕獲得了如下定理。

則問題（1）至少存在一個(gè)周期解極小化φ。

由于受到定理A〔2〕的啟發(fā)，我們獲得了一個(gè)新的存在性定理，這個(gè)新結(jié)果推廣了Ma〔2〕中的定理A，即α=2的情形。本文的主要結(jié)果如下。

則問題（1）至少存在一個(gè)周期解極小化φ。

2 定理的證明

由（3）式及Sobolev's不等式得

由（2）式及Wirtinger’s不等式得

因此，有

所以φ（u）→+∞（‖u‖→∞）。因此，φ在H1T上達(dá)到極小。由文獻(xiàn)〔3〕中的定理1.1和推論1.1，完成了證明。

〔1〕Tang C L.Periodic solutions for non-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity〔J〕.Proc.Amer.Math.Soc.，1998（126）：3263-3270.

〔2〕Ma J，Tang C L.Periodic solutions for some nonautonomous second-order systems〔J〕.J.Math.Anal.Appl.，2002（275）：482-494.

〔3〕Mawhin J and Willem M.Critical Point Theory and Hamiltonian Systems〔M〕.Berlin:Springer-Verlag，1989.

〔4〕Tang C L.Periodic solutions for non-autonomous second order systems with sublinear nonlinearity〔J〕.Proc.Amer.Math.Soc.，1998（126）：3263-3270.

〔5〕Tang C L.Periodic solutions of non-autonomous second order systems with quasisub-additive potential〔J〕.J.Math.Anal. Appl.，1995（189）：671-675.

〔6〕Tao Z L，Tang C L.periodic and subharmonic solutions of second order Hamiltonian systems〔J〕.J.Math.Anal.Appl.，2004（293）：435-445.

〔7〕Tang C L.Periodic solutions of non-autonomous second order systems〔J〕.J.Math.Anal.Appl.,1996（202）：465-469.

〔8〕Wu X P，Tang C L.Periodic solutions of a class of non-autonomous second order systems〔J〕.J.Math.Anal.Appl.，1999（236）：227-235.

〔9〕Rabinowitz P H.On subharmonic solutions of Hamiltonian systems〔J〕.Comm.Pure Appl.Math.，1980（33）：609-633.

〔10〕Tang C L，Wu X P.Periodic solutions for second order systems with not uniformly coercive potentia〔lJ〕.J.Math.Anal. Appl.，2001（259）：386-397.

Periodic Solutions for Some Non-autonomous Second Order Systems

WANG Shaomin1,XIONG Ming1,CHA Guozhi2
（1.College of Mathematics and Computer,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China; 2.College of Engineering,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China）

The purpose of this paper is to study the existence of periodic solutions of a class of second order Hamiltonian systems. One new existence theorem is obtained by using the least action principle.

periodic solutions;the least action principle；Sobolev's inequality

O177［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A［文章編號(hào)］1672-2345（2012）04-0011-03

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目（09Y0367）

2011-06-17

王少敏，副教授，主要從事非線性分析研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）