黃耀英，瞿立新，周宜紅，宮經偉，周紹武，李金河，陳文夫

(1.三峽大學水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002;2.武漢大學 水利水電學院，武漢 430072;3.中國長江三峽集團公司，湖北宜昌 443002)

1 研究背景

溫度監(jiān)控指標是混凝土大壩溫控防裂的重要指標［1］。為了達到溫控防裂的目的，需要控制澆筑倉最高溫度和降溫速率等。采用溫度雙控指標來動態(tài)控制混凝土澆筑倉最高溫度無疑是一條新途徑，即選取混凝土澆筑倉達到最高溫度前典型齡期，擬定該齡期對應的容許溫度和容許溫度變化率，當該齡期下的混凝土溫度和溫度變化率超過容許溫度和容許溫度變化率時，預示著在當前溫控措施下，澆筑倉混凝土溫度極可能超過容許最高溫度，必須采取更為有效的溫控措施才能避免澆筑倉混凝土溫度超過容許最高溫度。

近年來，最大熵理論在結構可靠性分析［2］、巖土工程反分析［3］、巖石力學參數(shù)概率分布［4］、大壩安全監(jiān)控指標的擬定［5］以及巖體結構加速流變破壞分析［6］等許多方面的應用取得了較好的效果。最大熵法不需要事先假設分布類型，直接根據(jù)各基本隨機變量的數(shù)字特征值進行計算，這樣就可以得到精度較高的概率分布密度函數(shù)［7］，進而求出混凝土澆筑倉溫度雙控指標。為此，本文結合西南某建設中的混凝土特高拱壩高溫季節(jié)澆筑的混凝土澆筑倉實測溫度，采用最大熵法擬定典型混凝土齡期的容許溫度和容許溫度變化率，以指導現(xiàn)場混凝土澆筑。

2 基本原理

2.1 信息熵的定義

1948年Shannon在創(chuàng)立信息論時，引入了信息熵的概念來研究信息的不確定性，即

式中:pi是信息源中信號xi出現(xiàn)的概率;ln pi是它帶來的信息量;H(x)表示信息量的大小，它是一個系統(tǒng)狀態(tài)不確定的量度。

對于連續(xù)型隨機變量，信息熵定義為

式中:f(x)是連續(xù)型隨機變量x的概率分布密度函數(shù)。

2.2 最大熵密度函數(shù)［4-5］

由最大熵原理可知，最小偏差的概率分布是使熵H(x)在根據(jù)已知樣本信息而施加的一些約束條件下達到最大值的分布，即

式中:R 為積分空間;μi(i=1，2，…，N)為第 i階原點矩第j個樣本值;n為樣本數(shù);N為所用矩的階數(shù)。事實上，隨機變量的特性基本上可以用它的前4階矩來描述［4］;1階矩即平均值刻畫隨機變量的取值“中心”;2階矩或方差刻畫隨機變量圍繞均值的離散程度;3階矩(或偏度系數(shù))刻畫隨機變量的對稱性(偏倚程度);4階矩(或峰度系數(shù))刻畫隨機變量的集中和分散程度(尖平程度)。

可以調整f(x)來使熵H(x)達到最大值，具體可采用拉格朗日乘子法來分析這個問題。假設建立的拉格朗日函數(shù)為

令?L/?f(x)=0，可得

式(7)為最大熵概率密度函數(shù)的解析形式。

將式(7)代入式(4)，有

整理后可得

將式(7)和式(9)代入式(5)，有

呂溫出使吐蕃途中寫了《經河源漢村作》，詩中“伏臘華風亦暗存”指河湟地區(qū)已經幾乎淪陷為吐蕃管轄，在吐蕃統(tǒng)治下的漢族遺民只能暗自保存民族風俗；“暫駐單車空下淚，有心無力復何言”是詩人停車后真實地看到眼前漢族遺民居住的村落、遺民的生活現(xiàn)狀，作者無奈沒有能力為同胞去改變現(xiàn)狀，只能無助地流淚，無力地感嘆。《蕃中答退渾詞二首》中“萬群鐵馬從奴虜，強弱由人莫嘆時”[2]444也是呂溫出使吐蕃途中所作，吐谷渾部落淪陷，漢族遺民成了“沒蕃人”，看到昔日祖國的使者，“沒蕃人”哭訴現(xiàn)狀，表達對祖國的思念。呂溫在出使吐蕃途中，用詩歌記錄下這一時期流離失所的百姓——被歷史遺忘的遺民們對故土的思念。

為便于求解拉格朗日乘子系數(shù)，將式(10)改為

式中:ri為殘差，可用優(yōu)化算法來求式(12)表示的殘差平方和的最小值。當r＜ε時，即認為該式收斂，從而解得(λ1，λ2，…，λN)。這里積分區(qū)域 R 可近似?。邸－5σ，ˉx+5σ］，ˉx和σ分別為樣本均值和標準差。

2.3 粒子群算法

為了獲得高精度的最大熵概率密度函數(shù)，本文采用粒子群算法來優(yōu)化求解拉格朗日乘子系數(shù)。粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)是Kennedy等在1995年提出的一種智能計算方法［8］。粒子群算法較其它進化算法具有簡單易實現(xiàn)、參數(shù)少、較強的全局收斂能力和魯棒性等優(yōu)勢［9］。標準PSO，粒子的速度和位置的更新公式為

式中:ω為慣性權重;c1，c2為加速常數(shù)，通常取c1=c2=2;rand和Rand為2個(0，1)隨機數(shù);Pbest為局部最好位置;Gbest為全局最好位置。

2.4 溫度雙控指標的擬定

由上述方法確定出隨機變量x的最大熵概率密度函數(shù)f(x)。令xm為監(jiān)測效應量的容許值，當x＞xm時，混凝土澆筑倉將出現(xiàn)超過容許最高溫度，其概率為

求出x的最大熵概率密度函數(shù)f(x)后，估計xm的主要問題是確定失效概率Pα，其值根據(jù)大壩重要性來確定，對于西南某特高拱壩，澆筑倉溫度超過容許最高溫度的概率較小，取α=5%，此時

分別獲得混凝土澆筑倉達到最高溫度前的典型齡期對應的溫度和溫度變化率樣本，然后由式(7)求出最大熵密度函數(shù)f(x)，最后采用式(16)計算典型齡期對應的容許溫度和容許溫度變化率。

3 實例分析

3.1 粒子群算法的拉格朗日乘子系數(shù)優(yōu)化

為驗證粒子群算法尋優(yōu)的準確度及效率，隨機生成1 000 個標準正態(tài)分布樣本，μ1=－0.004 35，μ2=0.995 5，μ3=－0.021 78，μ4=2.839 443，對應其最大熵密度函數(shù)為:f(x)=exp(－0.935 89+0.001 147x－0.462 77x2－0.001 93x3－0.006 93x4)，采用迭代步來確定收斂，在迭代200次時即出現(xiàn)最優(yōu)值，對應殘差平方和r＜10－32，其計算迭代過程及標準正態(tài)分布函數(shù)和計算的最大熵概率密度函數(shù)對比如圖1，由此可見粒子群算法能較好地對拉格朗日乘子系數(shù)尋優(yōu)。

圖1 迭代過程與結果對比圖Fig.1 Iteration process and results

3.2 工程實例

西南某建設中的特高拱壩位于四川省雷波縣和云南省永善縣接壤的金沙江峽谷段，攔河大壩為混凝土雙曲拱壩，壩頂高程610m，最大壩高285.5m，大壩共31個壩段，為達到溫控防裂的目的，在混凝土澆筑倉埋設常規(guī)溫度計，并且在典型壩段埋設分布式光纖進行溫度監(jiān)測工作。由于該拱壩規(guī)模巨大，混凝土材料抗裂性能一般，從提高施工期混凝土抗裂安全性出發(fā)，混凝土最高溫度統(tǒng)一按27℃進行控制。

本文統(tǒng)計了該拱壩5#—25#壩段在高溫季節(jié)澆筑(5—9月份)的97倉混凝土實測溫度過程線，統(tǒng)計分析表明實測最高溫度一般在混凝土齡期的5.6 d時達到。由此選取混凝土齡期為2.5 d和3 d時的溫度和溫度變化率作為樣本進行分析，溫度樣本以及溫度變化率樣本的均值和標準差見表1。

表1 統(tǒng)計樣本均值和標準差Table 1 Average values and standard deviations of statistical samples

在計算混凝土齡期為2.5 d和3 d時的溫度和溫度變化率對應的最大熵概率密度函數(shù)時，為防止粒子群算法在尋優(yōu)過程中陷入局部最優(yōu)解，令ω=中maxstep為最大迭代步取1 000，k為當前迭代次數(shù);c1=c2=2;粒子數(shù)N取30;由于隨機變量的特性基本上可以用它的前4階矩來描述，所以僅計算(λ1，λ2，λ3，λ4)，即空間 D 為4 維。為提高計算收斂速度和精度［10］，在計算溫度樣本對應的最大熵概率密度函數(shù)時，將式(7)略作轉化為，μ1和 σ 分別為均值和標準差。各階原點矩及拉格朗日乘子系數(shù)見表2，溫度及變化率對應密度函數(shù)見圖2。

表2 樣本原點矩及優(yōu)化的拉格朗日系數(shù)Table 2 Origin moments of samples and optimized Lagrange parameters

圖2 概率密度函數(shù)Fig.2 Probability density functions

假設超溫概率α=5%時，采用式(16)計算獲得混凝土齡期為2.5 d和3 d時的容許溫度和容許溫度變化率，見表3。

表3 典型齡期下容許溫度和容許溫度變化率Table 3 Allowable temperatures and temperature rates at typical concrete ages

新澆筑混凝土因水泥水化熱，溫度逐漸升高，經過若干天后達到最高溫度，然后降溫。與之相對，溫度變化率在初期大，后期逐漸減小，達到最高溫度后開始降溫，溫度變化率由正值轉為負值。顯然，如果澆筑倉混凝土最高溫度超過容許最高溫度，那么在混凝土齡期為第n天(n=2.5 d或n=3 d)時，混凝土的溫度和溫度變化率一般應超過某個容許值。因此，基于上述擬定的混凝土典型齡期的溫度雙控指標，采用下述方式對高溫季節(jié)澆筑的混凝土澆筑倉溫度進行預警:，重點關注并采取更有效的溫控措施;，關注并采取更有效的溫控措施;，溫度跟蹤監(jiān)測;，正常，按現(xiàn)有的溫控措施執(zhí)行。

式中:Tn和(?T/?t)n分別是混凝土齡期為n天(n=2.5 d或 n=3 d)時的溫度及溫度變化率;［Tn］和［(?T/?t)n］分別是混凝土齡期為n天時，擬定的容許溫度和容許溫度變化率。

4 結語

本文將最大熵法應用于混凝土澆筑倉溫度雙控指標的擬定，得到如下結論:

(1)結合西南某建設中的混凝土特高拱壩高溫季節(jié)澆筑倉實測溫度，采用最大熵法擬定了混凝土澆筑倉溫度雙控指標，即混凝土澆筑倉達到最高溫度前典型齡期對應的容許溫度和容許溫度變化率。最大熵法不需要事先假設樣本分布類型，直接根據(jù)各基本隨機變量的數(shù)字特征值進行計算，就可以得到精度較高的概率分布密度函數(shù)，由此求出的溫度雙控指標是可行的。

(2)為了獲得高精度的最大熵概率密度函數(shù)，采用粒子群算法來優(yōu)化求解拉格朗日乘子系數(shù)，工程實例分析表明，采用粒子群算法來優(yōu)化求解拉格朗日乘子系數(shù)具有簡單易實現(xiàn)、參數(shù)少的優(yōu)勢。

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