黃曉芬，楊立兵

(1.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158 2.海南師范大學(xué)附屬中學(xué)，海南?？?71126)

0 引言

如果一階微分方程

u(x，y)=c(c是任意常數(shù)).

定義如果二元可微函數(shù) μ=μ(x，y)，使得 μ(x，y)M(x，y)dx+μ(x，y)N(x，y)dy=0 是一個(gè)全微分方程，則稱 μ =μ(x，y)是方程 M(x，y)dx+N(x，y)dy=0 的一個(gè)積分因子.

對(duì)于一階的常微分方程，如果它是全微分方程，可以用湊微分法，線積分法［1］等方法來(lái)求解出u=u(x，y)，從而得到通解.若它不是全微分方程，我們可以試圖通過(guò)尋找積分因子［4，5］，使得這個(gè)方程是一個(gè)全微分方程，從而求出通解，比如，一階的線性方程［2］，變量分離方程［1］，伯努利方程［3］均可通過(guò)積分因子求解.

1 相關(guān)引理和結(jié)論

則有

由于M(x，y)和N(x，y)是齊次的，不妨設(shè)它們是m次的齊次的多項(xiàng)式，

則有

由上面的兩個(gè)式子可推出

2 應(yīng)用舉例

致謝作者感謝海南省自然科學(xué)基金111006和海南省自然科學(xué)基金610221的支持!

［1］王高雄，周之銘，朱恩銘，王壽松.常微分方程(第三版)［M］.北京.高等教育出版社，2006.

［2］陳偉.解一階線性常微分方程的積分因子法［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2008，11(3):27－28.

［3］胡勁松，鄭克龍.用“積分因子”法求解Berloulli方程［J］.四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，18(3):86－87.

［4］姚紅梅.新復(fù)合型積分因子的存在定理及應(yīng)用［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10(15):3673－3674.

［5］屈芝蓮.新積分因子的存在定理及應(yīng)用［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2011，11(2):302－303.