曾懷靈，賀建國

（長沙礦山研究院有限責(zé)任公司， 湖南長沙 410012）

MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

曾懷靈，賀建國

（長沙礦山研究院有限責(zé)任公司， 湖南長沙 410012）

介紹了MATLAB優(yōu)化工具箱中各種優(yōu)化模型及其在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，并給出了優(yōu)化實(shí)例和結(jié)果。采用MATLAB優(yōu)化工具箱來求解機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題，不僅提高了設(shè)計(jì)效率，而且編程簡單、結(jié)果可靠。

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)；MATLAB；優(yōu)化模型；夾具設(shè)計(jì)

機(jī)械產(chǎn)品的設(shè)計(jì)，一般需要經(jīng)過調(diào)查分析、方案擬定、技術(shù)設(shè)計(jì)、零件工作圖繪制等環(huán)節(jié)［1］。傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法基本上是采取人工試湊和定性分析比較等粗略方法。而機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是以數(shù)學(xué)規(guī)劃為理論基礎(chǔ)，以計(jì)算機(jī)為工具，尋求最佳機(jī)械設(shè)計(jì)方案的現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，取代了傳統(tǒng)的可行性設(shè)計(jì)［2］。目前，優(yōu)化設(shè)計(jì)已有很多成熟的優(yōu)化方法，都有各自的特點(diǎn)和適用范圍。在MATLAB優(yōu)化工具箱中就有很多實(shí)用的優(yōu)化函數(shù)，利用這些優(yōu)化函數(shù)去解決機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的問題不僅方便實(shí)用，而且編程簡單易懂。

1 MATLAB在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

MATLAB（Matrix Laboratory）是由美國Mathworks公司開發(fā)的集數(shù)值計(jì)算功能、符號運(yùn)算功能和圖形處理功能于一身的超級科學(xué)計(jì)算語言。MATLAB有多個(gè)工具箱，其中優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）可以為線性、非線性最小化、非線性最小二乘、二次規(guī)劃、方程求解、多目標(biāo)優(yōu)化等問題提供可靠的求解方法。

1.1 線性規(guī)劃及其應(yīng)用

線性規(guī)劃在機(jī)械設(shè)計(jì)中應(yīng)用非常少，主要是因其要求目標(biāo)函數(shù)、約束條件都是線性的，而機(jī)械設(shè)計(jì)問題一般都是非線性的。目前，線性規(guī)劃在一維下料問題中應(yīng)用比較多，如文獻(xiàn)［3］～［5］。求解線性規(guī)劃問題常用的方法有單純形法、大M法等。在MATLAB中由linprog函數(shù)來求解線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃模型如下：

式中，f、b、beq、lb、ub、x為向量，A、Aeq為矩陣。

linprog函數(shù)調(diào)用格式為：

其中，x為線性規(guī)劃的最優(yōu)解；

fval為目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的函數(shù)值（可省略）；

exitflag為迭代終止條件（可省略），為正數(shù)時(shí)，表示目標(biāo)函數(shù)收斂于解x處；為負(fù)數(shù)時(shí)，表示目標(biāo)函數(shù)不收斂；為零，則表示已經(jīng)達(dá)到函數(shù)評價(jià)或迭代的最大次數(shù)；

output為優(yōu)化詳細(xì)信息輸出（可省略）；

lambda為求得最優(yōu)解的拉格朗日乘子（可省略），反應(yīng)了各個(gè)約束條件在求解最優(yōu)值的有效性；

f為目標(biāo)函數(shù)；

x0為迭代初值（可省略）；

options設(shè)置優(yōu)化項(xiàng)目參數(shù)（可省略）。

1.2 二次規(guī)劃及其應(yīng)用

通常把約束條件全為線性的而目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)的最優(yōu)化問題稱為二次規(guī)劃［6］。二次規(guī)劃在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用比較少，在文獻(xiàn)［7］～［8］中利用二次規(guī)劃法求解接觸、有限元問題。在MATLAB中求解二次規(guī)劃問題可用quadprog函數(shù)。二次規(guī)劃模型如下：

式中，H為對稱矩陣，其余參數(shù)意義同式（1）。

quadprog函數(shù)調(diào)用格式為：

其中參數(shù)意義同式（2）。

1.3 無約束優(yōu)化及應(yīng)用

無約束優(yōu)化有很多種算法，如最速下降法、Newton法、擬Newton法、共軛梯度法、信賴域法等。其中，擬Newton法利用了Newton法的二次收斂性使得可靠性更高，同時(shí)這種算法收斂速度也很快，所以在目前應(yīng)用得相當(dāng)廣泛。而擬Newton法中應(yīng)用比較多的主要有BFGS算法和DFP變尺度法。在MATLAB優(yōu)化工具箱中求解無約束優(yōu)化問題采用fminbnd函數(shù)、fminunc函數(shù)和fminsearch函數(shù)，其中默認(rèn)的算法就是BFGS算法。fminunc函數(shù)和fminbnd函數(shù)要求目標(biāo)函數(shù)必須連續(xù)，而函數(shù)fminsearch常用來處理不連續(xù)的函數(shù)。fminbnd函數(shù)可以求解區(qū)間［x1，x2］內(nèi)單變量非線性函數(shù)的最小值。

無約束優(yōu)化模型如下：

minf（x）

fminbnd函數(shù)調(diào)用格式為：

其中，x1、x2為求解區(qū)間上下界，其余參數(shù)意義同式（2）。

fminunc函數(shù)調(diào)用格式為：

其中，grad為目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的梯度值，hessian為目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的hessian矩陣值，其余參數(shù)意義同式（2）。

fminsearch函數(shù)調(diào)用格式為：

其中參數(shù)意義同式（2）。

1.4 有約束優(yōu)化及應(yīng)用

在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中大多數(shù)問題是有約束優(yōu)化問題。為了保證設(shè)計(jì)的機(jī)械零件安全可靠，設(shè)計(jì)時(shí)必須確定相應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，而這些設(shè)計(jì)準(zhǔn)則就成了目標(biāo)函數(shù)的約束條件［9］。這些設(shè)計(jì)準(zhǔn)則包括強(qiáng)度準(zhǔn)則、剛度準(zhǔn)則、壽命準(zhǔn)則、振動穩(wěn)定性準(zhǔn)則和可靠性準(zhǔn)則，大多數(shù)是非線性的。對于非線性約束優(yōu)化問題有很多解法，早期都是通過構(gòu)造懲罰函數(shù)將有約束優(yōu)化轉(zhuǎn)換為無約束優(yōu)化問題求解，而現(xiàn)在已經(jīng)被更為有效的基于K－T方程解的方法所取代。在MATLAB優(yōu)化工具箱中采用序列二次規(guī)劃法（SQP）求解約束優(yōu)化問題，采用的函數(shù)為fmincon函數(shù)。

有約束優(yōu)化模型如下：

式中，C（x）、Ceq（x）分別為非線性函數(shù)，其余參數(shù)意義同式（1）。

fmincon函數(shù)的調(diào)用格式為：

其中，nonlcon為非線性約束條件包括C（x）和Ceq（x），其余參數(shù)意義同式（6）。

1.5 多目標(biāo)優(yōu)化及應(yīng)用

對于大量的工程設(shè)計(jì)方案要評價(jià)其優(yōu)劣，往往需要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)。如在機(jī)械加工中，往往要求機(jī)械加工成本最低、生產(chǎn)率最高和刀具壽命最長。顯然，這樣的問題就屬于多目標(biāo)優(yōu)化問題。多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法很多，其中一種常用的方法就是將多目標(biāo)優(yōu)化問題重新構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，即評價(jià)函數(shù)，從而將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為求評價(jià)函數(shù)的單目標(biāo)優(yōu)化問題。這類方法主要有：主要目標(biāo)法、線性加權(quán)和法、理想點(diǎn)法和極大極小法等。另一種是將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問題來求解，這一類主要有分層序列法。在MATLAB中常用fminimax函數(shù)求解最大最小化問題，用fgoalattain函數(shù)求解多目標(biāo)達(dá)到問題。

最大最小化問題模型如下：

式中，參數(shù)意義同式（8）。

fminimax函數(shù)的調(diào)用格式為：

其中，maxfval為在最優(yōu)解處目標(biāo)函數(shù)中最大目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值，其余參數(shù)意義同式（9）。

多目標(biāo)達(dá)到問題模型如下：

式中，goal變量為目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)值，weight變量為權(quán)重用于控制低于或超過fgoalattain函數(shù)指定目標(biāo)的相對程度，其余參數(shù)意義同式（8）。

fgoalattain函數(shù)的調(diào)用格式為：

其中，attainfactor是目標(biāo)達(dá)到情況，當(dāng)attainfactor≥0時(shí)，目標(biāo)達(dá)到值沒有溢出；當(dāng)attainfactor＜0時(shí)，目標(biāo)達(dá)到值有溢出，其余參數(shù)意義同式（9）。

2 MATLAB優(yōu)化工具箱應(yīng)用實(shí)例

在礦用高強(qiáng)度圓環(huán)鏈材料力學(xué)性能的安標(biāo)檢驗(yàn)檢測工作中，需要設(shè)計(jì)一對能承受350t（約3500 kN）拉力的實(shí)驗(yàn)夾具來連接拉力機(jī)和礦用高強(qiáng)度圓環(huán)鏈夾具。已知夾具的材料為45鋼板材，屈服強(qiáng)度σs為355MPa，取安全系數(shù)s為1.2，要求設(shè)計(jì)的夾具質(zhì)量最?。ɑ蝮w積最?。８鶕?jù)設(shè)計(jì)要求，夾具上表面的尺寸及受力情況如圖1所示。

圖1 夾具表面尺寸及受力示意

2.1 建立優(yōu)化模型

通過分析，設(shè)夾具的設(shè)計(jì)變量為L、R（Δr＝R－r）以及板材的厚度h，設(shè)計(jì)目標(biāo)為minV（L，R，h）：

根據(jù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則得如下約束條件：

（1）對于V形槽面，夾具受力面在受力時(shí)不能被壓潰：

（2）對于圓孔面，夾具受力面在受力時(shí)不能被壓潰：

（3）如圖1所示，Δr處截面積最小，最易拉裂，為此需滿足：

（4）由圖1可知在V形槽面的L截面處存在最大彎曲應(yīng)力，按照設(shè)計(jì)要求夾具計(jì)算彎曲應(yīng)力應(yīng)低于屈服強(qiáng)度（忽略應(yīng)力集中影響）：

綜合上述，約束條件化簡后優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

2.2 MATLAB優(yōu)化工具箱求解

（1）編寫目標(biāo)函數(shù)M文件myfun.m，其中L＝x（1），R＝x（3），h＝x（3）

（2）編寫約束函數(shù)M文件mycon.m

（3）編寫運(yùn)行程序M文件my.m

運(yùn)行my.m文件，結(jié)果如下：

3 結(jié) 論

在機(jī)械設(shè)計(jì)中引入優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不僅能使設(shè)計(jì)的機(jī)械零件滿足性能要求，還能使其在某些特定方面達(dá)到最優(yōu)。利用MATLAB優(yōu)化工具箱求解機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問題不僅避免了傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法中人工試湊、分析比較過程中的繁雜與重復(fù)，而且編程簡單、結(jié)果可靠。在上述實(shí)例中，利用MATLAB軟件中fmincon函數(shù)求解夾具設(shè)計(jì)問題，最終設(shè)計(jì)的夾具要比采用傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的質(zhì)量輕、成本低，并且設(shè)計(jì)效率高。

［1］孫靖民.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［2］劉鶴松，姜 晶.基于MATLAB算法的機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.煤礦機(jī)械，2004（11）：11－12.

［3］唐 健，劉 浩.從線性規(guī)劃談一維下料［J］.南京工程學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，3（3）：1－5.

［4］王連杰.基于線性規(guī)劃的一維優(yōu)化下料系統(tǒng)研究與開發(fā)［D］.大連：大連理工大學(xué)，2003.

［5］張春玲，崔耀東.一維優(yōu)化下料問題［J］.桂林工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，24（1）：103－106.

［6］曹衛(wèi)華，郭 正.最優(yōu)化方法及MATLAB的實(shí)現(xiàn)［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2005.

［7］黃敬賢，張 杰.解彈性接觸問題的二次規(guī)劃法［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，1988（1）：1－6.

［8］孫惠學(xué).二次規(guī)劃法求解軸對稱組合模具接觸強(qiáng)度［J］.太原重型機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，14（1）：79－84.

［9］濮良貴，紀(jì)名剛.機(jī)械設(shè)計(jì)［M］.北京：高等教育出版社，2001.

2012－02－24）

曾懷靈（1987－），男，湖南永州人，碩士研究生，主要從事機(jī)電液方向的研究與設(shè)計(jì)工作。