● (柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

一杯陳年佳釀令人回味悠長——對(duì)一個(gè)三角最值問題的深入探究

●樊宏標(biāo)(柯橋中學(xué) 浙江紹興 312030)

人教版《數(shù)學(xué)》選修4-5作業(yè)本第71頁的第17題如下：

此題有一定的難度，學(xué)生不易求解.從作業(yè)的反饋情況來看，大致有2類典型的錯(cuò)誤．

錯(cuò)解1由基本不等式,得

錯(cuò)解2由柯西不等式,得

1 錯(cuò)因剖析

錯(cuò)解2運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行求解，同樣忽視了等號(hào)成立的條件．若等號(hào)成立，則必有

由此可知，忽視等號(hào)成立的條件是學(xué)生利用不等式求最值最容易犯的錯(cuò)誤．因此，在利用不等式求最值時(shí)，教師要提醒學(xué)生注意“等號(hào)成立的條件”，養(yǎng)成“即時(shí)驗(yàn)證”的良好習(xí)慣．

2 解法探究

解法1利用柯西不等式

由柯西不等式，得

再由柯西不等式，得

由于sin2x+cos2x=1，因此，對(duì)原題加以拓展，可轉(zhuǎn)化為：

m2+n2=(x2+y2)(m2+n2)≥(mx+ny)2，

當(dāng)且僅當(dāng)

故

解法2待定系數(shù)法

設(shè)m,n為正的常數(shù).由柯西不等式，得

(1)

(m2+n2)(sin2x+cos2x)≥(msinx+ncosx)2.

(2)

由式(1)和式(2),得

而式(3)中等號(hào)成立的條件是式(1)和式(2)中的等號(hào)同時(shí)成立，即

亦即

代入式(3),整理得

在日常的教學(xué)中，教師往往會(huì)到此為止，認(rèn)為思路已經(jīng)打通，源頭已經(jīng)找到，方法已經(jīng)點(diǎn)明，解題過程也就自然完成了．但筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的基本程式包括簡(jiǎn)單模仿、變式練習(xí)、自發(fā)領(lǐng)悟、自覺分析[1]，因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)分析題目的結(jié)構(gòu)特征，看還有沒有其他更好的解法．不料這一問，激起了學(xué)生極大的興趣，很快就有學(xué)生提出新的想法，共同探究，得到如下2種解法．

解法3運(yùn)用基本不等式

考慮到

當(dāng)且僅當(dāng)

即

解法4利用導(dǎo)數(shù)

令f′(x)=0,即

因?yàn)?/p>

所以

又因?yàn)?/p>

sin2x+cos2x=1，

此時(shí)

f(x)的單調(diào)性分析如表1所示.

表1 f(x)的單調(diào)區(qū)間

3 拓展延伸

課后，筆者又進(jìn)行了深入研究，對(duì)于上述問題，利用赫爾德(H?lder)不等式可作進(jìn)一步拓展，結(jié)論如下：

(1)當(dāng)t∈(0,2)時(shí)，y取得最大值；

(2)當(dāng)t∈(-∞,0)∪(2,+∞)時(shí)，y取得最小值．

asintx+bcostx,

從而

sin2x+cos2x=1,

從而

同理可證，當(dāng)t∈(-∞,0)時(shí)，

點(diǎn)評(píng)本文一開始的作業(yè)習(xí)題顯然是上述定理取t=-1的特殊情況，該題若用H?lder不等式證明，則更簡(jiǎn)單．

4 幾點(diǎn)思考

(1)在新課程理念下，筆者認(rèn)為教師的解題教學(xué)不是“講習(xí)題”，而是“用習(xí)題”.教師的作用就在于挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，使之更為豐滿、生動(dòng)，更具聯(lián)系性．

(2)教學(xué)中應(yīng)把“探索作為數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線”(布魯納)．通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境，促進(jìn)學(xué)生在活動(dòng)中感悟并獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法．在知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與運(yùn)用的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)．

(3)促進(jìn)課堂互動(dòng)，創(chuàng)建寬松、和諧的學(xué)習(xí)環(huán)境．教學(xué)中，要充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，以問題為中心，以探索為生命線，注重優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)解題教學(xué)絕對(duì)不能就題論題，就答案而講答案，而更應(yīng)關(guān)注為什么這樣解，以充分暴露解題的思維過程，并不斷地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題作解題后的反思.讓他們通過已知學(xué)未知，通過分析已經(jīng)解決的習(xí)題去領(lǐng)悟解題思想，通過解題思想去駕馭并活化知識(shí)與方法，增強(qiáng)分析能力，提高領(lǐng)悟水平，優(yōu)化思維品質(zhì)，從而真正提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

(4)注重問題的引申與拓展．從一道題出發(fā)，進(jìn)行多角度、多方位的思考，并縱橫聯(lián)想、拓展延伸.這樣處理一道題，便可以收到多方面的教學(xué)效益，既鞏固了大量的基礎(chǔ)知識(shí)，又拓寬了學(xué)生的思維空間．真是“典型習(xí)題剖析透，一石三鳥碩果收；縱橫馳騁留不住，海天寬闊任遨游”！

[1] 樊宏標(biāo)．從一個(gè)案例談數(shù)學(xué)解題的基本程式[J]．高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010(7)：5.