● (海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

基于知識結(jié)構(gòu)的教學(xué)改進(jìn)——矩形判定探究教學(xué)片段的思考與改進(jìn)

●沈順良(海鹽縣教研室 浙江海鹽 314300)

《新課標(biāo)》提出：教學(xué)中要注重數(shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，應(yīng)注意溝通各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系，通過類比、聯(lián)想、知識的遷移和應(yīng)用等方式，使學(xué)生體會知識之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問題的能力.在一次教研活動中，筆者和同仁們對矩形判定教學(xué)的2個片段展開了討論并進(jìn)行了相應(yīng)的改進(jìn)，本文試將原來的教學(xué)片段、討論與思考、改進(jìn)后的教學(xué)作一個呈現(xiàn).教學(xué)內(nèi)容為浙教版《數(shù)學(xué)》八年級下冊第6．1節(jié)矩形第二課時(矩形判定).

圖1

1 知識回顧

1.1 原來的教學(xué)片段

師：如圖1，前面我們學(xué)習(xí)了矩形的性質(zhì)，矩形有哪些性質(zhì)？

生：矩形的4個角都是直角，矩形的對角線相等.

師：矩形的定義又是什么？

生：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

師：其中包含了哪2個條件？

生：一個角是直角、平行四邊形.

師：今天我們就來學(xué)習(xí)矩形的判定.

1.2 討論與思考

上述的知識回顧已經(jīng)把前面已學(xué)的矩形定義和矩形性質(zhì)復(fù)習(xí)了，這也是知識復(fù)習(xí)的明線索.然而作為幾何中四邊形的教學(xué)，各類四邊形的研究還遵循著2條暗的線索：一是從基本幾何圖形的定義到性質(zhì)再到判定，其中性質(zhì)定理和判定定理包含著互逆的內(nèi)在關(guān)系；二是從角、邊、對角線的角度分別研究.因此，在復(fù)習(xí)中還需激活研究幾何圖形的線索和研究的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，然后通過類比來得到需要研究或?qū)W習(xí)的目標(biāo).

1.3 改進(jìn)后的教學(xué)片段

師：前面我們學(xué)習(xí)了平行四邊形，平行四邊形是按照怎樣的線索或流程來學(xué)習(xí)的？

生1：首先是它的定義，然后是它的性質(zhì)定理，再是它的判定定理，最后是定義、性質(zhì)定理、判定定理的運(yùn)用.

生2：這與以前學(xué)習(xí)的三角形是相似的.

師：對.生2回答得很好，我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)四邊形與前面我們學(xué)過的三角形有很多相似之處，研究的角度類似，研究的對象也相似，學(xué)習(xí)三角形時從一般三角形到逐步加上條件研究特殊三角形.平行四邊形性質(zhì)定理和判定定理的條件和結(jié)論都是從平行四邊形的哪些角度來研究的？

生3：主要是從角、邊、對角線這3個角度來考慮的.

師：上一節(jié)課我們開始學(xué)習(xí)一類特殊的平行四邊形——矩形，按照這樣的線索我們學(xué)習(xí)了什么？分別是怎么樣的？

生4：學(xué)習(xí)了矩形的定義和性質(zhì)，定義是有一個角是直角的平行四邊形是矩形，性質(zhì)定理有2條：矩形的4個角都是直角，矩形的對角線相等.

師：對.其中明顯地體現(xiàn)出矩形是以平行四邊形為基礎(chǔ)，從角、邊、對角線的角度來研究的.能否說說接下來我們該研究矩形的什么方面？

生4：研究矩形的判定.

師：對.

(教師出示課題.)

……

點(diǎn)評上述復(fù)習(xí)過程中注重了研究幾何圖形的方法、結(jié)構(gòu)線索的激活和引導(dǎo)，學(xué)生自然運(yùn)用類比來整理學(xué)過的知識，在理解其內(nèi)在結(jié)構(gòu)聯(lián)系的同時明確了學(xué)習(xí)的目標(biāo).研究角度的引導(dǎo)也為后面的判定定理探究作好了鋪墊.對于生2的回答，教師的及時評價很好地引導(dǎo)學(xué)生從三角形的知識結(jié)構(gòu)類比到四邊形的知識結(jié)構(gòu)，也為矩形之后學(xué)習(xí)菱形、正方形作了準(zhǔn)備.

2 探究教學(xué)

2.1 原來的教學(xué)片段

師：如何判定一個平行四邊形是矩形？如何判定一個四邊形是矩形？

生：用定義來判定，即2個條件：一個角是直角、平行四邊形.

師：還有什么方法可以判別一個四邊形是矩形？你能從角的角度來考慮嗎？

圖2

生：有3個角是直角的四邊形是矩形.為什么？

師：有2個角是直角的四邊形是矩形嗎？你能畫個圖說明嗎？

生：有2個角是直角的四邊形不一定是矩形的(如圖2).

師：那四邊形有4個直角呢？為什么只要3個角是直角呢？

生：四邊形內(nèi)角和為360°，有3個直角就是4個角都是直角了.

師：還有其他判定平行四邊形是矩形的方法嗎？你能否從對角線的角度來考慮呢？

生：對角線相等的平行四邊形是矩形.

師：對.判別矩形的方法有幾種？

生：3種:利用定義、3個角是直角和對角線相等.

師：如何判定這些方法是正確的？

……

2.2 討論與思考

判定方法的探究為什么是在四邊形或平行四邊形的基礎(chǔ)上去思考？為什么是從角是否是直角、對角線長度是否相等的角度來考慮？上述過程其實(shí)是教師牽著學(xué)生走，更多地關(guān)注了探究結(jié)果的得到而不是探究過程引導(dǎo)下的自然獲得.其實(shí)判定定理與性質(zhì)定理存在著互逆的關(guān)系，其條件和結(jié)論有密切的內(nèi)在聯(lián)系，是否可以從它們之間的關(guān)系來引導(dǎo)?另外作為判斷特殊幾何圖形的條件，能否借助多媒體的直觀來輔助?

2.3 改進(jìn)后的教學(xué)片段

師：研究平行四邊形的性質(zhì)和判定是在什么幾何圖形基礎(chǔ)上的？

生5：是在四邊形的基礎(chǔ)上.

師：現(xiàn)在我們研究矩形應(yīng)該是在什么基礎(chǔ)上呢？

生5：四邊形和平行四邊形.

師：是的.判定和性質(zhì)都是從哪些角度去研究？

生6：與前面類似，從角、邊、對角線的角度去研究.

師：矩形的判定定理和性質(zhì)定理有什么聯(lián)系？

生7：應(yīng)該是倒過來的，一個是以矩形為條件的，另一個是以矩形為結(jié)論的.

師：對.它們是互逆關(guān)系.上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了矩形的性質(zhì)定理，你是否可以從性質(zhì)定理的逆命題角度探索呢？

生8：我有2個猜想：4個角都是直角的四邊形是矩形；對角線相等的四邊形是矩形.

師：你們覺得這2個猜想正確嗎？

生9：第一個猜想是正確的.因?yàn)?組同旁內(nèi)角互補(bǔ)，能得出2組邊的平行，即是平行四邊形，再加上一個角是直角,由定義得到是矩形.

生10：我覺得可以將第一個猜想中的條件改為3個角是直角的.因?yàn)樗倪呅蝺?nèi)角和是360°，3個角是直角其實(shí)就是4個角是直角.

師：對.那么能否將條件再改為2個角是直角？

生10：不能，我可以畫個圖說明(如圖2).

師：很好.這樣我們得到了矩形的一個判定定理：有3個角是直角的四邊形是矩形.那第2個猜想正確嗎？

生11：不正確,我可以畫個圖說明(如圖3).

(教師在多媒體上通過幾何畫板演示說明.)

圖3

生11：在第2個猜想中加上條件：對角線互相平分就可以了，即對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.

師：我們可以通過幾何畫板來呈現(xiàn)該結(jié)論是否成立.

(教師在多媒體上設(shè)定對角線相等且平分，演示四邊形動態(tài)圖形.)

生12：第2個猜想是在四邊形基礎(chǔ)上的，若改為平行四邊形的基礎(chǔ)就可以了，也就是對角線相等的平行四邊形是矩形.

師：為什么可以這樣改動呢？

生12：對角線平分的四邊形本身就是平行四邊形.

師：對.這樣我們得到了判定矩形的另一個判定定理:對角線相等的平行四邊形是矩形.下面請大家分別對這2個判定定理加以證明.

……

點(diǎn)評通過前后知識關(guān)系的引導(dǎo)，讓學(xué)生能類比三角形中從一般到特殊的知識結(jié)構(gòu)，四邊形也是從一般四邊形到特殊四邊形，即在四邊形和平行四邊形的基礎(chǔ)上研究矩形，從而讓學(xué)生明確了在四邊形或平行四邊形中增加條件使之成為矩形.通過前面研究角度的鋪墊和性質(zhì)與判定互逆的關(guān)系，自然引導(dǎo)學(xué)生從逆定理的角度獲得了2個與判定定理相近的猜想，再加以多媒體的輔助探究，學(xué)生真正參與了矩形判定得到的過程.在此過程中同時滲透了類比、互逆的思想，也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)其他特殊四邊形打下了知識和方法的基礎(chǔ).

初中數(shù)學(xué)《新課標(biāo)》安排了“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”4個學(xué)習(xí)領(lǐng)域，每個領(lǐng)域中的知識都是相互關(guān)聯(lián)的.四邊形是繼三角形后的教學(xué)內(nèi)容，其內(nèi)容的安排次序類似于三角形.從研究的幾何圖形看是從一般圖形到特殊圖形，即一般四邊形到特殊四邊形(平行四邊形、矩形、菱形、正方形);從各圖形研究的次序看都是先有定義，再有性質(zhì)，然后是判定，最后是運(yùn)用;從研究的角度看都是角、邊、對角線.根據(jù)這樣的知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，矩形教學(xué)中應(yīng)該充分利用其密切聯(lián)系,通過類比來引導(dǎo)研究，其中包括研究的內(nèi)容、次序、方法等，這樣的教學(xué)既有利于新知識學(xué)習(xí)過程中的探究引導(dǎo)，也有利于學(xué)生對知識的理解和前后知識網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，也有利于后續(xù)知識的學(xué)習(xí).