● (溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

一道經(jīng)典試題的研究與拓展

●馬玉斌(溫州中學(xué) 浙江溫州 325014)

閱讀張景中先生的“走進(jìn)教育數(shù)學(xué)叢書”之一《繞來繞去的向量法》，書中第75頁例5.21引起了筆者的興趣.

圖1

圖2

題目如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點O，用SA,SB,SC分別表示△BOC,△COA,△AOB的面積，則

本文對這一問題進(jìn)行探討，并進(jìn)一步對問題加以拓展.

1 證法探究

原題即證

e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

設(shè)x=e1sinα+e2sinβ+e3sinγ,因為

x·e1=(e1sinα+e2sinβ+e3sinγ)·e1=sinα+sinβcosγ+cosβsinγ=sinα+sin(2π-α)=0,

同理

x·e2=0，

所以

x=e1sinα+e2sinβ+e3sinγ=0.

同理可得

S△C′O′A′=S△A′O′B′=SASBSC，

圖3

圖4

因此

S△A′O′B′=S△C′O′A′=SB′O′C′，

證法3如圖3，過點O作OE//BC,OD//AC.設(shè)點O到邊BC,AC,AB上的高依次為ha,hb,hc，則

證法4如圖4,延長BO交AC于點D,原題即證

懷遠(yuǎn)石榴雖然品質(zhì)良好，但是缺乏宣傳，知名度十分有限。懷遠(yuǎn)縣的石榴很少利用新媒體的宣傳方式，只是依靠品質(zhì)與口碑?dāng)U大銷路。當(dāng)今社會，信息繁多，如何吸引消費者的關(guān)注成為了產(chǎn)品銷售的重要因素之一?！熬葡悴慌孪镒由睢钡臅r代早已不復(fù)存在，缺乏宣傳的產(chǎn)品很容易導(dǎo)致無人問津。而懷遠(yuǎn)的石榴卻恰恰忽視了宣傳這個重要因素。雖然懷遠(yuǎn)的石榴拿到了國家的農(nóng)產(chǎn)品獎項，但是由于缺乏宣傳，懷遠(yuǎn)石榴的知名度僅限于安徽省北部的地區(qū)即周邊省。這樣會使得即使懷遠(yuǎn)石榴及其相關(guān)產(chǎn)品生產(chǎn)出來，也只會積壓在倉庫內(nèi)，造成資源浪費。因此，知名度小是該地區(qū)石榴產(chǎn)業(yè)化的重大阻礙。

故

證法5設(shè)∠BOC=α，∠COA=β，∠AOB=γ.因為

圖5

圖6

同理可得

證法6已知有結(jié)論1和結(jié)論2：

圖7

故

即

從而

2 問題拓展

圖8

類似地必有：

從而

拓展2設(shè)點O是△ABC所在平面上的一點，則

利用原題的結(jié)論及五心的性質(zhì)，可以得到證明(略).

類似于平面向量的結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，同樣可以證明，限于篇幅略去.

[1]張景中，彭翕成.走進(jìn)教育數(shù)學(xué)：繞來繞去的向量法[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]江建國，趙曙.只有“放”得充分才能“收”得有效——“平面向量的幾何意義及應(yīng)用”復(fù)習(xí)課簡錄及思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011(5)：21-22.

[3]鮑利人，李太新 .三角形“五心”向量形式又一充要條件及其證法[J].數(shù)學(xué)通訊,2004(8):16-17.