平面解析幾何中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換及應(yīng)用

陳 英 楊 華 趙浩彥

(北京林業(yè)大學(xué) 省部共建森林培育與保護(hù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100083)

在平面解析幾何中，有直角坐標(biāo)的平移和旋轉(zhuǎn)，還有極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)換。直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)的平移，講究的是一個(gè)相對(duì)坐標(biāo)和絕對(duì)坐標(biāo)。坐標(biāo)的平移，是由坐標(biāo)軸的平移和轉(zhuǎn)動(dòng)造成的。如果能弄清楚原坐標(biāo)的移動(dòng)距離、移動(dòng)方向、轉(zhuǎn)過(guò)的角度(相對(duì)于原坐標(biāo)移動(dòng)之前)，那么所要求的坐標(biāo)，也做原坐標(biāo)同樣的變換就可以在新坐標(biāo)中找到對(duì)應(yīng)的位置。以下筆者就坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)來(lái)討論新坐標(biāo)在原坐標(biāo)中的位置。

1 坐標(biāo)換算原理

假設(shè)旋轉(zhuǎn)前的坐標(biāo)為X、Y，旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為Xi、Yi，坐標(biāo)原點(diǎn)均為O，旋轉(zhuǎn)角度為θ(如圖1所示)，原坐標(biāo)系中存在一點(diǎn)P(x、y)，經(jīng)過(guò)θ角度的旋轉(zhuǎn)后，P點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值P1(x1、y1)能用相應(yīng)的換算公式計(jì)算出來(lái)。而P點(diǎn)與現(xiàn)坐標(biāo)軸Xi之間的角度為α。

由于原坐標(biāo)所在新坐標(biāo)的象限有所不同，故可以導(dǎo)致x1、y1的換算公式不同，下面我們分象限依次討論：

1.1 原坐標(biāo)Y在新坐標(biāo)的第二象限

1.1.1 點(diǎn)P1在第一象限，且界于X與Yi之間(如圖2所示)

1.1.2 點(diǎn)P1在第一象限，且界于X與Xi之間(如圖3所示)

1.1.3 點(diǎn)P1在第二象限，且界于Y與Yi之間(如圖4所示)

1.1.4 點(diǎn)P1在第二象限，且界于Xi與Y之間(如圖5所示)

1.1.5 點(diǎn)P1在第三象限，且界于X與Xi之間(如圖6所示)

1.1.6 點(diǎn)P1在第三象限，且界于X與Yi之間(如圖7所示)

1.1.7 點(diǎn)P1在第四象限，且界于Y與Yi之間(如圖8所示)

1.1.8 點(diǎn)P1在第四象限，且界于Y與Xi之間(如圖8所示)

由以上結(jié)果可知：原坐標(biāo)Y在新坐標(biāo)的第二象限時(shí)，新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值P1(x1、y1)相應(yīng)的換算公式有(1)和(2)兩種：

按照相同的方法，我們能得出X、Y在其他象限時(shí)候，P1(x1、y1)相應(yīng)的換算公式。

1.2 原坐標(biāo)Y別在新坐標(biāo)的第一象限時(shí)，換算公式有(3)和(4)兩種

1.3 原坐標(biāo)Y在新坐標(biāo)的第四象限時(shí)，換算公式有(5)和(6)兩種

1.4 原坐標(biāo)Y在新坐標(biāo)的第三象限時(shí)，換算公式有(7)和(8)兩種

2 總結(jié)

由以上(1)-(8)換算公式可知，無(wú)論怎么旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的新坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的換算公式都只有(Ⅰ)和(Ⅱ)兩種：

根據(jù)三角函數(shù)公式sin(2kπ+δ)=sinδ,cos(2kπ+δ)=cosδ和sin(-δ)=-sinδ，cos(-δ)=cosδ[1]可知：公式(Ⅰ)和(Ⅱ)相等，即：

由此可知，平面直角坐標(biāo)系中，存在一點(diǎn)P(x、y)，無(wú)論經(jīng)過(guò)什么角度旋轉(zhuǎn)，P點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值P1(x1、y1)都可以表示為：

3 坐標(biāo)換算的應(yīng)用

假設(shè)林業(yè)做標(biāo)準(zhǔn)地調(diào)查時(shí)，以正北方向?yàn)樵鴺?biāo)的Y軸方向，應(yīng)用全站儀將樣地里的每棵樹(shù)都定位，后將全站儀順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后，即原坐標(biāo)Y在新坐標(biāo)的第二象限時(shí)，應(yīng)用上述計(jì)算公式可得到原來(lái)每棵樹(shù)相應(yīng)的新坐標(biāo)，表1為原坐標(biāo)中樹(shù)木點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的換算情況。

表1 樹(shù)木點(diǎn)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后換算情況

續(xù)表

樹(shù)號(hào)原坐標(biāo)(X)原坐標(biāo)(Y)轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)(X)轉(zhuǎn)換后坐標(biāo)(Y)106.9040.1554.7724.991116.9020.4244.5815.180126.481-0.6755.0604.105135.829-1.6155.2642.980148.433-3.8358.6753.251155.613-5.8048.073-0.135

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)的計(jì)算公式可用一般的函數(shù)計(jì)算器計(jì)算，其運(yùn)算過(guò)程直觀、明了，具有較強(qiáng)的實(shí)用性和可操作性，適用于野外作業(yè)[2]。

參考文獻(xiàn)：

[1]虞濤.高中課本中的數(shù)學(xué)基本解題方法(上冊(cè))[M].上海：華東師范大學(xué)出版社,2008.

[2]李明貴.最小二乘法在平面直角坐標(biāo)換算中的應(yīng)用[J].四川林勘設(shè)計(jì),2009,9(3):83～85.