王於平， 肖建強(qiáng)

（1.南京林業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，南京 210037； 2.南京工程學(xué)院土木工程系，南京 211100）

參數(shù)邊界條件下奇型Sturm-Liouville算子的半逆問題

王於平1， 肖建強(qiáng)2

（1.南京林業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，南京 210037； 2.南京工程學(xué)院土木工程系，南京 211100）

譜；勢函數(shù)；半逆問題；參數(shù)邊界條件

1 引言及預(yù)備知識

在譜理論中，反譜問題是熱點(diǎn)問題之一，1929年Ambartsumyan［1］首次研究了這類問題，1946年以后，Borg［2］，Levinson［3］，Levitan［4］等都做了大量的工作；近幾年，Sakhnovich［6］，Rostyslav，Mykytyuk，Yaroslav［7］，Koyunbakan，Panakhov［8-9］等研究了半逆問題并取得了一些可喜的成果；Fulton［11］，Binding，Browne，Seddighi［12］，Binding，Browne，Browne，Waston［13］，Zhang，Huang［14］等研究了參數(shù)邊界條件下Sturm-Liouville的問題，取得了一些有一定影響的成果.由于參數(shù)邊界條件下Sturm-Liouville的問題比較復(fù)雜，這類問題的半逆問題難以解決，文［13］利用Crum和Darboux變換解決了一類Sturm-Liouville問題的特征根的重?cái)?shù)、估計(jì)式等問題，使研究這類參數(shù)邊界條件下的奇型Sturm-Liouville算子的半逆問題變?yōu)榭赡?，本文利用Koyunbakan和Panakhov的方法和［13］的結(jié)果，討論（0，π）上的勢函數(shù)中含1／sin2x的Sturm-Liouville算子L滿足參數(shù)邊界條件y（0，λ）＝0或y′（0，λ）-hy（0，λ）＝0和y′（π，λ）＋（aλ＋b）y（π，λ）＝0的半逆問題，得到了新的結(jié)果，即由一組譜和（π／2，π）上的勢函數(shù)q（x）唯一確定（0，π）上勢函數(shù)的q（x）.本文推廣了文［9］的結(jié)果.

我們先介紹勢函數(shù)中含1／sin2x的Sturm-Liouville算子［5］.Legendre函數(shù)是典型的超幾何函數(shù)，它是在球?qū)ΨQ問題中產(chǎn)生的，這類算子是由經(jīng)典的Legendre方程經(jīng)過下面變換得到的.Legendre方程是

根據(jù)［13］的結(jié)果，滿足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville問題的特征值有三種情況，經(jīng)過Crum和Darboux變換，其它兩種情況都可以轉(zhuǎn)化為滿足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville問題僅具有實(shí)的、簡單的點(diǎn)譜.因此，我們只要考慮滿足（8），（9（i）），（10）和（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville問題具有實(shí)的、簡單的點(diǎn)譜｛λn｝.根據(jù)［5，13，14］，不難得到

引理3 （i）當(dāng)（10）中a≠0時(shí)，設(shè)滿足（8），（9（i）），（10）的Sturm-Liouville問題具有實(shí)的、簡單的點(diǎn)譜｛λn｝（n≥0），則｛λn｝是（10）的根，并滿足下面漸近式

（ii）當(dāng)（10）中a≠0時(shí)，設(shè)滿足（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville問題具有實(shí)的、簡單的點(diǎn)譜｛λn｝（n≥0），則｛λn｝是（10）的根，并滿足下面漸近式

根據(jù)［5］，可以得到

引理4［5］當(dāng)（10）中a＝0時(shí)，滿足（8），（9（ii）），（10）的Sturm-Liouville問題具有實(shí)的、簡單的點(diǎn)譜｛λn｝（n≥0），則｛λn｝是（10）的根，并滿足下面漸近式

根據(jù)［15］，利用變換算子性質(zhì)，可以得到

引理5 方程（8），（9（ii））的解可寫為

其中積分核A（x，t）是下面的偏微分方程的解

2 主要結(jié)果

下面證明本文的定理1及定理2.

定理1的證明 根據(jù)引理1，方程（8），（9（i））和（11），（12（i））的解分別為

類似地可以證明定理2，不再贅述.

［1］ Ambartsumyan V A.über eine frage der eigenwerttheorie［J］.Zeitschrift für Physik，1929，53：690-695.

［2］ Borg G.Eine umkehrung der Sturm-Liouvillesehen eigenwertaufgabe［J］.Acta Mathematica，1945，78：1-96.

［3］ Levinson N.The inverse Sturm-Liouville problem［J］.Mathematica Tidsskrift 13，1949，25-30.

［4］ Levitan B M.On the determination of the Sturm-Liouville operator from one and two spectra［J］.Mathematics of the USSR Izvestija，1978，12：179-193.

［5］ Hochstadt H.The Functions of Mathematical Physics［M］.New York：Wiley Interscience，1971.

［6］ Sakhnovich L.Half inverse problems on the finite inteval［J］.Inverse Problems，2001，17：527-532.

［7］ Rostyslav H，Mykytyuk O，Yaroslav V.Half-inverse spectral problems for Sturm-Liouville operators with singular potentials［J］.Inverse Problem，2004，20（5）：1423-1444.

［8］ Koyunbakan H，Panakhov E S.Half-inverse problem for diffusion operators on the finite interval［J］.J.Math.Anal.Appl.，2007，326：1024-1030.

［9］ Koyunbakan H，Panakhov E S.Half-inverse problem for operators with singular potential［J］.Integral Transforms and Special Functions，2007，18（10）：765-770.

［10］ Hochstadt H，Lieberman B.An inverse Sturm-Liouville problem with mixed given data［J］.SIAM Journal of Applied Mathematics，1978，34：676-680.

［11］ Fulton C T.Two-point boundary value problems with eigenvalue parameter contained in the boundary conditions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc.1977，77A：293-308.

［12］ Binding P A，Browne P J，Seddighi K.Sturm-Liouville problems with eigenparmeter dependent boundary condtions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc.1993，37：57-72.

［13］ Binding P A，Browne P J，Bowne W J，Watson B A.Transformation of Sturm-Liouville problems with decreasing affine boundary conditions［J］.Proc.Edinb.Math.Soc，2004，47：533-552.

［14］ Zhang Mao zhu，Huang Zhen you.aclass of sturm-liouville problems with eigenparameter dependent two boundary conditions［J］.Acta Analysis Functionalis Applicata，2008，10（4）：366-372.

［15］ Levitan B M and Sargsjan I S.Sturm-Liouville and Dirac operators［M］.Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1990.

Half-inverse Problem for Singular Sturm-Liouville Operators with an Eigenparameter Boundary Condtion

WANG Yu-ping1， XIAO Jian-qiang2
（1.Department of Applied Mathematics，Nanjing Forestry University，Nanjing，Jiangsu 210037，China；2.Department of Civil Engineering，Nanjing Institute of Technology，Nanjing，Jiangsu 211100，China）

spectrum；potential function；half-inverse problem；eigenparamenter boundary condtions

O175.12

A

1672-1454（2012）03-0053-06

2009-12-04