岳程斐 霍 濤 陳雪芹 沈 強(qiáng) 曹喜濱

姿態(tài)控制是一個(gè)非線性控制問(wèn)題,在航空航天、機(jī)器人等領(lǐng)域受到了廣泛關(guān)注和研究[1-2].用于描述剛體姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成了三維特殊正交群(Three-dimensional special orthogonal group,SO(3)).作為一個(gè)無(wú)邊界的緊流形,S O(3) 不同胚于任何歐氏空間,這導(dǎo)致在S O(3) 上,不存在能夠使姿態(tài)全局漸近收斂到目標(biāo)姿態(tài)的連續(xù)時(shí)不變反饋控制律[3].受此拓?fù)湫再|(zhì)約束,使用光滑的反饋控制律能實(shí)現(xiàn)的最好結(jié)果是基于單一勢(shì)函數(shù)獲得幾乎全局的收斂性[4-5].而“幾乎全局”意味著該勢(shì)函數(shù)在SO(3)上存在一個(gè)測(cè)度為零的集合.該集合中的點(diǎn)稱為臨界點(diǎn),當(dāng)航天器初始姿態(tài)是臨界點(diǎn)時(shí),勢(shì)函數(shù)無(wú)法控制姿態(tài)收斂到目標(biāo)姿態(tài).

為解決上述單一勢(shì)函數(shù)存在的臨界點(diǎn)問(wèn)題,混合控制被引入姿態(tài)控制問(wèn)題中[6-7].混合控制是一種具有滯回特性的切換控制系統(tǒng),通過(guò)設(shè)計(jì)一族臨界點(diǎn)互異的勢(shì)函數(shù),系統(tǒng)狀態(tài)可在不同的勢(shì)函數(shù)之間進(jìn)行切換,從而改變系統(tǒng)狀態(tài)和臨界點(diǎn)的分布情況,實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制目標(biāo).具體而言,當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到當(dāng)前勢(shì)函數(shù)上不期望的臨界點(diǎn)時(shí),會(huì)切換到另一個(gè)具有更低值且不處于臨界點(diǎn)的勢(shì)函數(shù)上進(jìn)行控制.這一類勢(shì)函數(shù)被稱為協(xié)同勢(shì)函數(shù)族.當(dāng)單位矩陣是公共臨界點(diǎn)時(shí),稱此類協(xié)同勢(shì)函數(shù)族為共單位元的協(xié)同勢(shì)函數(shù)族.文獻(xiàn)[8]首次通過(guò)“角度擾動(dòng)”方法構(gòu)建了協(xié)同勢(shì)函數(shù),但并未給出協(xié)同性的證明.文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步給出了協(xié)同性對(duì)勢(shì)函數(shù)參數(shù)的要求.文獻(xiàn)[10]給出了“角度擾動(dòng)”方法中,協(xié)同勢(shì)函數(shù)族存在的充要條件,并將協(xié)同勢(shì)函數(shù)族應(yīng)用到無(wú)角速度測(cè)量的航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中.以上文獻(xiàn)均需要對(duì)臨界點(diǎn)進(jìn)行復(fù)雜計(jì)算.文獻(xiàn)[11]放松了“共單位元”要求,通過(guò)選擇固定的參考向量,設(shè)計(jì)出一族簡(jiǎn)單協(xié)同勢(shì)函數(shù)族,但缺點(diǎn)是其物理意義不明確.此外,上述文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)中的姿態(tài)約束.

在軌航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)時(shí),存在多種約束,其中一種典型約束是航天器的禁止或強(qiáng)制指向約束,即要求航天器在機(jī)動(dòng)中始終避開(kāi)或始終指向某個(gè)方向.例如,航天器光敏感器的指向應(yīng)當(dāng)始終避開(kāi)明亮天體[12-13].指向約束下實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)的方案大致可分為基于規(guī)劃的跟蹤控制方法[14-15]和基于避障勢(shì)函數(shù)方法[13,16]兩種.基于規(guī)劃的跟蹤控制方法將原問(wèn)題分解成2 個(gè)子問(wèn)題進(jìn)行單獨(dú)解決.首先,利用優(yōu)化方法規(guī)劃出合理的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑;然后,設(shè)計(jì)跟蹤控制器跟蹤所給路徑.文獻(xiàn)[15]整體性地考慮了姿態(tài)約束、機(jī)動(dòng)過(guò)程的指向安全裕度和力矩飽和問(wèn)題,提出預(yù)設(shè)性能的“規(guī)劃+跟蹤”控制方法,系統(tǒng)性地實(shí)現(xiàn)了航天器姿態(tài)受限機(jī)動(dòng).此類基于規(guī)劃方法的姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑具備可預(yù)見(jiàn)性,但缺點(diǎn)是結(jié)構(gòu)復(fù)雜,優(yōu)化算法和控制器性能都會(huì)影響到航天器的實(shí)際指向.相比之下,基于避障勢(shì)函數(shù)方法更加簡(jiǎn)單和有效.該方法將目標(biāo)姿態(tài)設(shè)計(jì)為極小值點(diǎn),并將勢(shì)函數(shù)的梯度引入控制器設(shè)計(jì),當(dāng)靠近姿態(tài)限制時(shí),勢(shì)函數(shù)值和梯度急劇增加,以此規(guī)避姿態(tài)限制.文獻(xiàn)[13]使用分?jǐn)?shù)形式的避障勢(shì)函數(shù),處理禁止指向約束問(wèn)題;文獻(xiàn)[16]使用對(duì)數(shù)形式的避障勢(shì)函數(shù)解決了同時(shí)具有禁止和強(qiáng)制指向約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題.然而,勢(shì)函數(shù)方法嚴(yán)重依賴勢(shì)函數(shù)的凸性假設(shè),機(jī)動(dòng)路徑不可預(yù)見(jiàn)且單一勢(shì)函數(shù)控制存在臨界點(diǎn)問(wèn)題,航天器姿態(tài)可能會(huì)收斂到勢(shì)函數(shù)的極小值,而非目標(biāo)姿態(tài).

為解決上述問(wèn)題,本文在考慮姿態(tài)約束情形下,基于旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)計(jì)用于混合控制的勢(shì)函數(shù)族,該勢(shì)函數(shù)族能夠?qū)θ我獾某跏甲藨B(tài)保證姿態(tài)收斂到目標(biāo)姿態(tài).本文的主要貢獻(xiàn)如下: 1)建立姿態(tài)禁止指向約束模型,考慮機(jī)動(dòng)安全裕度,為每個(gè)指向約束設(shè)計(jì)軟約束區(qū)域.在該區(qū)域內(nèi),將分?jǐn)?shù)/對(duì)數(shù)形式排斥勢(shì)函數(shù)引入?yún)f(xié)同勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)中,設(shè)計(jì)保證全局收斂的避障勢(shì)函數(shù).2)針對(duì)所設(shè)計(jì)的勢(shì)函數(shù),給出軟約束區(qū)域內(nèi)臨界點(diǎn)分布情況和勢(shì)函數(shù)參數(shù)的關(guān)系,指出當(dāng)勢(shì)函數(shù)參數(shù)滿足給定不等式組時(shí),航天器不會(huì)在避障過(guò)程中陷入非期望的臨界點(diǎn).3)將上述勢(shì)函數(shù)引入控制器設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)姿態(tài)受限下的全局收斂.

本文內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下: 第1 節(jié)對(duì)使用到的符號(hào)和性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)明,建立航天器的誤差姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型和姿態(tài)約束模型;第2 節(jié)給出基于“角度擾動(dòng)”構(gòu)建協(xié)同勢(shì)函數(shù)族的方法,將該協(xié)同勢(shì)函數(shù)與受限制姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題結(jié)合,分別討論分?jǐn)?shù)形式和對(duì)數(shù)形式下,勢(shì)函數(shù)在軟約束區(qū)域內(nèi)臨界點(diǎn)分布和勢(shì)函數(shù)參數(shù)的關(guān)系;第3 節(jié)以比例-微分控制為例,進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

本文以旋轉(zhuǎn)矩陣R作為姿態(tài)參數(shù)展開(kāi)研究,旋轉(zhuǎn)矩陣形成的三維特殊正交群記作SO(3):={R∈R3×3|RTR=RRT=I,det(R)=1}.I∈R3×3是單位矩陣.SO(3) 以矩陣乘法作為群乘法時(shí),是一個(gè)李群,其對(duì)應(yīng)的李代數(shù)用 so(3) 表示,so(3) 的群元是三階反對(duì)稱矩陣,即so(3)={S∈R3×3:ST=-S}.對(duì)于任意向量x∈R3,定義線性映射[·]×:R3→so(3) 和它的逆映射 [· ]∨:so(3)→R3為:

對(duì)? R1,R2,R3∈SO(3),如果映射Φ:SO(3)×SO(3)→R≥0滿足:

則映射 Φ 被稱為S O(3) 上的度量.如果度量滿足Φ(RR1,RR2)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為左不變的;如果滿足Φ(R1R,R2R)=Φ(R1,R2),?R∈SO(3),則稱之為右不變的.本文用到的SO(3)上的度量是角距離度量,即:

角距離度量是一種雙平移不變度量[17].利用平移不變性,角距離度量也可以寫(xiě)為:

令集合D ?SO(3),如果連續(xù)可微的函數(shù)V:SO(3)→R≥0滿足:

1)? R∈SO(3)D,V(R)＞0;

2)V(D)=0.

則V被稱為S O(3) 上相對(duì)于集合D的勢(shì)函數(shù).

1.2 性質(zhì)與引理

本節(jié)介紹對(duì)后續(xù)分析有幫助的性質(zhì)和引理.令A(yù)是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣,定義勢(shì)函數(shù):

下面列出在本文中使用的引理.

引理1.令0＜α＜α+Δα＜π/2,x∈(α,α+Δα],則函數(shù)f(x)=2 sinx/(cosα-cosx) 的取值范圍為 [f(α+Δα),+∞).

1.3 問(wèn)題描述

假設(shè)航天器本體系相對(duì)于慣性系的姿態(tài)用Rb∈SO(3) 表示,姿態(tài)機(jī)動(dòng)的目標(biāo)姿態(tài)用Rd∈SO(3) 表示.令ω表示航天器本體系下的角速度矢量,ω d表示期望角速度.假設(shè)慣性矩陣J是對(duì)角陣,則航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為:

航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中存在各種限制,本文考慮一種幾何視場(chǎng)約束,即航天器上某個(gè)指向需要避開(kāi)特定區(qū)域.如圖1 所示,圖1 中下標(biāo)B表示本體系,下標(biāo)I表示慣性系.令單位向量r∈R3表示與航天器固連的敏感指向,單位向量v∈R3表示慣性系下固定的不期望指向(例如明亮的星體),航天器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中,單位向量r和v夾角應(yīng)滿足:

圖1 姿態(tài)限制示意圖Fig.1 Illustration of attitude constraint

因此,本文中勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)的目標(biāo)是在所設(shè)計(jì)的勢(shì)函數(shù)指導(dǎo)下,航天器的姿態(tài)誤差Re趨向于I,同時(shí)始終滿足式(9).

2 協(xié)同勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)

2.1 勢(shì)函數(shù)與臨界點(diǎn)

利用內(nèi)積的定義和性質(zhì)2),勢(shì)函數(shù)V(R(t)) 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是:

例如,對(duì)于勢(shì)函數(shù)(4),有下列結(jié)果:

通過(guò)解上述方程可知,勢(shì)函數(shù)(4)共有4 個(gè)臨界點(diǎn)[8]:

式中,E(A) 表示A的所有單位特征向量組成的集合.

對(duì)任意的勢(shì)函數(shù)V,都存在至少4 個(gè)臨界點(diǎn)[20],基于勢(shì)函數(shù)梯度的反饋控制律在靠近臨界點(diǎn)時(shí),逐漸減小直至為零.為了實(shí)現(xiàn)全局收斂的結(jié)果,本文使用一族協(xié)同的共單位元?jiǎng)莺瘮?shù)進(jìn)行控制.給定一個(gè)有限的指標(biāo)集Q?N,{Vq}q∈Q是一族勢(shì)函數(shù),如果單位元I是所有勢(shì)函數(shù)公共的臨界點(diǎn),則稱這樣的一族勢(shì)函數(shù)為共單位元的勢(shì)函數(shù).對(duì)于勢(shì)函數(shù)族{Vq}q∈Q,如果存在一個(gè)常數(shù)δ＞0,使得:

則稱勢(shì)函數(shù)族 {Vq}q∈Q是協(xié)同的.粗略地,“共單位元”意味著在這一族勢(shì)函數(shù)控制下,姿態(tài)有相同的收斂方向(單位元I);“協(xié)同”意味著在某個(gè)勢(shì)函數(shù)臨界時(shí),存在另一個(gè)非臨界且取值更低的勢(shì)函數(shù),如果切換為非臨界的勢(shì)函數(shù)進(jìn)行控制,姿態(tài)將繼續(xù)向目標(biāo)姿態(tài)收斂.

為了說(shuō)明協(xié)同勢(shì)函數(shù)在姿態(tài)控制中的作用和切換邏輯,假設(shè)航天器的一條姿態(tài)軌跡經(jīng)過(guò)2 個(gè)非期望臨界點(diǎn)的鄰域,這2 個(gè)臨界點(diǎn)分別屬于P1,A和P2,A,則勢(shì)函數(shù)隨時(shí)間變化曲線和切換時(shí)各勢(shì)函數(shù)與臨界點(diǎn)關(guān)系如圖2 所示,其中狀態(tài)N和M在第3 節(jié)定義.在單一勢(shì)函數(shù)P1,A(或P2,A)的控制下,軌跡在t1(或t2)時(shí)刻,進(jìn)入勢(shì)函數(shù)所屬的非期望臨界點(diǎn)鄰域,此后基于勢(shì)函數(shù)梯度的姿態(tài)控制項(xiàng)將減小,甚至為零.為避免該問(wèn)題導(dǎo)致收斂過(guò)慢,將在進(jìn)入時(shí)刻進(jìn)行切換.如圖2 所示,在t3時(shí)刻,姿態(tài)軌跡處于勢(shì)函數(shù)P1,A的非期望臨界點(diǎn),勢(shì)函數(shù)停止收斂,此時(shí)存在勢(shì)函數(shù)P2,A在該點(diǎn)不臨界且其取值更低.因此,在混合控制中,根據(jù)勢(shì)函數(shù)差值在t2時(shí)刻提前進(jìn)行控制切換,由P1,A跳轉(zhuǎn)到P2,A;同樣在t1時(shí)刻,由P2,A跳轉(zhuǎn)到P1,A,最終混合控制中勢(shì)函數(shù)的變化曲線如圖2 橙色粗線所示.

圖3 kPA(R) 取值范圍隨 Φ R 的變化曲線Fig.3 The change curve of the range of kPA(R) with ΦR

為了構(gòu)建協(xié)同勢(shì)函數(shù)族,定義映射T:SO(3)→SO(3)為:

式中,k∈R,u∈S2.映射T的作用是對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣R左乘“擾動(dòng)”旋轉(zhuǎn)矩陣,該“擾動(dòng)”矩陣由指數(shù)映射生成,轉(zhuǎn)軸u和轉(zhuǎn)角kPA(R) 是待設(shè)計(jì)的軸角參數(shù).因此,簡(jiǎn)記Rc=T(R,k,PA,u)=RT R,其中RT是足時(shí),協(xié)同勢(shì)函數(shù)族{Pq,A(R)}q∈Q“擾動(dòng)”旋轉(zhuǎn)矩陣.令Q={1,2},q∈Q,當(dāng)參數(shù)k滿可以按如下形式構(gòu)建[8]:

2.2 受限制姿態(tài)控制的協(xié)同勢(shì)函數(shù)族設(shè)計(jì)

假設(shè)航天器初始姿態(tài)位于姿態(tài)障礙以外,航天器誤差運(yùn)動(dòng)模型和勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)目標(biāo)如第1.2 節(jié)所述.定義SO(3) 的一個(gè)子集為:

該子集定義了姿態(tài)限制的軟約束區(qū)域,進(jìn)入該區(qū)域時(shí)勢(shì)函數(shù)將進(jìn)行避障切換.為在全局收斂情況下完成受限制姿態(tài)機(jī)動(dòng),本文設(shè)計(jì)了如下形式的勢(shì)函數(shù)用于姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題:

式中,α+Δα＜π/2,Δα是待設(shè)計(jì)參數(shù),Pq,A(Re)是針對(duì)目標(biāo)姿態(tài)的吸引項(xiàng)勢(shì)函數(shù),PO(Re) 是待設(shè)計(jì)的用于避開(kāi)姿態(tài)障礙的排斥項(xiàng)勢(shì)函數(shù),以分?jǐn)?shù)形式的PO(Re) 為例:

式中,v d=RTdv;a和b是兩個(gè)正的參數(shù),文獻(xiàn)[13,21-22]取a=1 或a=2,本文考慮更一般情況即只要求a＞0.在實(shí)際的姿態(tài)機(jī)動(dòng)中,可能存在多個(gè)姿態(tài)限制,本文方法適用于單敏感軸多約束問(wèn)題.具體來(lái)說(shuō),為每個(gè)指向約束設(shè)計(jì)了不相交的軟約束區(qū)域,當(dāng)航天器姿態(tài)進(jìn)入軟約束區(qū)域內(nèi),即敏感軸在慣性系下指向Rbr和禁止指向v夾角小于α+Δα?xí)r,切換為避障勢(shì)函數(shù),因此只需討論單個(gè)約束下如何實(shí)現(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)即可.對(duì)于某個(gè)給定的姿態(tài)限制有下述引理成立.

引理5.對(duì)? Re∈E,ε=arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).

證明.旋轉(zhuǎn)矩陣R作用于單位向量后,會(huì)使單位向量發(fā)生旋轉(zhuǎn).角距離的定義指出,旋轉(zhuǎn)前/后向量的夾角不超過(guò)旋轉(zhuǎn)矩陣R的角距離.對(duì)? Re∈E,敏感軸為了轉(zhuǎn)動(dòng)到目標(biāo)指向,轉(zhuǎn)角至少是 arccos〈Rdr,v〉-(α+Δα).因此引理5 成立.

集合E在引理5 中的性質(zhì)如圖4 所示.對(duì)?Re∈/E,姿態(tài)的全局收斂性已經(jīng)由協(xié)同勢(shì)函數(shù)族{Pq,A(Re)}q∈Q保證[23].為保證全局收斂,本文討論避障區(qū)域內(nèi)勢(shì)函數(shù)族 {Vq(Re)}q∈Q臨界點(diǎn)分布情況.

圖4 引理5 的圖示Fig.4 Illustration of lemma 5

勢(shì)函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q在避障區(qū)域內(nèi)無(wú)臨界點(diǎn).在該勢(shì)函數(shù)族控制下,航天器可以避開(kāi)姿態(tài)障礙從任意的初始姿態(tài)機(jī)動(dòng)到目標(biāo)姿態(tài).

證明.為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě),對(duì)證明中多次出現(xiàn)的符號(hào)簡(jiǎn)寫(xiě)如下:

對(duì)? Re∈E,根據(jù)勢(shì)函數(shù)求導(dǎo)定義計(jì)算,可得:

利用性質(zhì)1)和映射ψ的定義,有:

將Rc和式(28)代入式(26),可得:

1)對(duì)? Re∈E,證明‖y‖存在下限.

向量y的2 范數(shù)為:

利用性質(zhì)3),有:

因此,對(duì)? Re∈E,勢(shì)函數(shù)PA(Rc) 存在最小值,即:

利用引理1,可知:

2)對(duì)?Re∈E,證明‖x‖存在上限.

將式(17)代入x,利用ψ(-B)=有:

利用范數(shù)三角不等式,有:

式中,uT[Reψ(ARc)]∈R,并且有:

式(38)可寫(xiě)為:

利用性質(zhì)4),有:

因此,可得‖x‖的上限為:

3)討論E內(nèi)勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn).若:

則有:

對(duì)于? Re∈E,有:

首先,勢(shì)函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q在避障區(qū)域內(nèi)無(wú)臨界點(diǎn);然后,在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)慣性系下敏感軸指向Rbr和禁止指向v的夾角趨于α?xí)r,PO(Re)趨于無(wú)窮大,因此姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程可以避開(kāi)障礙;最后,任給初始姿態(tài)Re(0),若該姿態(tài)是非臨界點(diǎn),則在勢(shì)函數(shù)的控制下向單位元I收斂.若該姿態(tài)是臨界點(diǎn),則Re(0) ∈/E,在協(xié)同性要求下,利用混合控制可實(shí)現(xiàn)向單位元I收斂[23].因此,航天器可以避開(kāi)姿態(tài)障礙,從任意的初始姿態(tài)機(jī)動(dòng)到目標(biāo)姿態(tài).

2.3 對(duì)數(shù)形式排斥勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)分析

在基于勢(shì)函數(shù)的受限制姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題中,除分?jǐn)?shù)形式排斥勢(shì)函數(shù)(21)外,還有對(duì)數(shù)形式的排斥勢(shì)函數(shù)[16,24]:

式中,a、b、c是常數(shù).在第2.2 節(jié)中,本文得出在考慮姿態(tài)受限情形下姿態(tài)全局收斂的參數(shù)設(shè)計(jì)要求(23).本節(jié)將證明對(duì)數(shù)形式排斥勢(shì)函數(shù)也可以經(jīng)過(guò)相似推導(dǎo)得出參數(shù)設(shè)計(jì)要求,以此說(shuō)明本文方法的可拓展性.

對(duì)于式(49),利用勢(shì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)相關(guān)定義計(jì)算,可得:

因此,有:

取函數(shù)f(γ) 為:

因此,式(54)有最小值,利用和定理1 類似的推理方式,可得對(duì)數(shù)形式排斥勢(shì)函數(shù)的參數(shù)設(shè)計(jì)要求.

文獻(xiàn)[10,23]利用“角度擾動(dòng)”方法構(gòu)建協(xié)同勢(shì)函數(shù)族,將其應(yīng)用在無(wú)約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制中,實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)全局收斂.本文將這種構(gòu)造方法應(yīng)用到受限姿態(tài)機(jī)動(dòng)任務(wù)的勢(shì)函數(shù)設(shè)計(jì)中,實(shí)現(xiàn)了帶有禁止指向約束的姿態(tài)全局收斂.與其他處理受限姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題的勢(shì)函數(shù)方法[15-16,24]相比,本文方法的優(yōu)點(diǎn)是不依賴勢(shì)函數(shù)凸性假設(shè),可避開(kāi)非期望的臨界點(diǎn)實(shí)現(xiàn)全局收斂;缺點(diǎn)是勢(shì)函數(shù)切換會(huì)造成控制律突變,不能處理強(qiáng)制指向約束.第3 節(jié)將通過(guò)仿真分析具體討論本文方法的優(yōu)缺點(diǎn).

3 方法驗(yàn)證

本節(jié)將建立航天器姿態(tài)受限情形下的混合控制模型,利用第2.2 節(jié)提出的協(xié)同勢(shì)函數(shù)族{Vq(Re)}q∈Q進(jìn)行控制,來(lái)驗(yàn)證方法有效性.

3.1 航天器混合控制模型

基于勢(shì)函數(shù)族 {Vq(Re)}q∈Q,定義下列兩個(gè)函數(shù):

在混合控制中,系統(tǒng)狀態(tài) (Re,ωe,q) 被分成M,N∈SO(3)×R3×Q兩個(gè)集合:

式中,δ為式(14)給定的協(xié)同間隙.令x=(Re,ωe),根據(jù)不同的系統(tǒng)狀態(tài),當(dāng) (x,q)∈M時(shí),式(7)、式(8)航天器模型可寫(xiě)為連續(xù)模型:

當(dāng) (x,q)∈N時(shí),可寫(xiě)為切換模型:

即系統(tǒng)狀態(tài)位于集合M中時(shí),勢(shì)函數(shù)指標(biāo)不變,航天器的狀態(tài)遵循微分方程式(7)、式(8)連續(xù)變化.文獻(xiàn)[23] 指出,協(xié)同勢(shì)函數(shù)族的所有非單位元的臨界點(diǎn)都落在集合N中,此時(shí)航天器狀態(tài)不改變,勢(shì)函數(shù)指標(biāo)發(fā)生切換,切換到非臨界且值最低的勢(shì)函數(shù)進(jìn)行控制.設(shè)計(jì)比例-微分反饋控制律如下:

在該控制律下的穩(wěn)定性分析見(jiàn)文獻(xiàn)[23].

3.2 參數(shù)設(shè)計(jì)和仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證避障和切換控制,本節(jié)進(jìn)行了3 種仿真案例分析.仿真中,姿態(tài)限制假定為3 個(gè),具體信息如表1 所示.針對(duì)這3 個(gè)姿態(tài)限制,勢(shì)函數(shù)中的參數(shù) Δα分別為10°、5°和8°.假設(shè)航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J=diag{4,5,4.5}kg·m2.根據(jù)式(23) 要求,勢(shì)函數(shù)參數(shù)設(shè)計(jì)為w=[0.3,0.4,0.6]T,u=w/‖w‖,A=diag{0.3,0.4,0.6},k=0.25,a=0.7,b=1/20.在上述參數(shù)下,對(duì)于每一個(gè)姿態(tài)約束,不等式組(23)都能得到滿足.根據(jù)式(13)、函數(shù)(4),在上述參數(shù)下的奇異點(diǎn)為 CritPA={I}∪R(π,ei),i=1,2,3,其中ei是3 維空間R3的標(biāo)準(zhǔn)正交基.協(xié)同勢(shì)函數(shù)族{Pq,A(Re)}q∈Q的 6 個(gè)非單位元臨界點(diǎn)可根據(jù)式(17)確定,當(dāng)姿態(tài)誤差處于這些臨界點(diǎn)時(shí),指向r在慣性系下的指向以三角符號(hào)表示,見(jiàn)圖5～7.可以看出,這些指向都落在集合E之外.

表1 慣性系下姿態(tài)限制Table 1 Attitude constraints in the inertial frame

圖5 無(wú)切換下姿態(tài)機(jī)動(dòng)仿真Fig.5 Attitude maneuver simulation without switching

控制器參數(shù)設(shè)置如下: 在案例1 中,設(shè)置δ=0.06,k p=1,k d=5,仿真時(shí)間為 6 0 s;在案例2 和案例3 中,設(shè)置δ=0.06,k p=1,k d=3,仿真時(shí)間為40 s.在3 個(gè)案例中,都假定航天器存在力矩飽和,力矩飽和值為0.5 N·m.

案例1.無(wú)任何切換

假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

案例1 使用上述初始條件進(jìn)行2 組仿真實(shí)驗(yàn),航天器的初始指向位于姿態(tài)約束CZ2 下方,目標(biāo)姿態(tài)位于姿態(tài)約束CZ2 和 CZ3 之間.航天器初始姿態(tài)誤差Re(0) 位于勢(shì)函數(shù)P1,A(Re) 的臨界點(diǎn)鄰域內(nèi),2 組仿真沒(méi)有進(jìn)行避障切換,分別在勢(shì)函數(shù)P1,A(Re)和P2,A(Re) 控制下,繞過(guò)CZ3 運(yùn)動(dòng)至目標(biāo)姿態(tài).在2 組仿真實(shí)驗(yàn)中,向量r的指向軌跡如圖5(a) 所示,勢(shì)函數(shù)值變化曲線如圖5(b) 所示.第1 組仿真實(shí)驗(yàn)從臨界點(diǎn)鄰域開(kāi)始機(jī)動(dòng),機(jī)動(dòng)路徑更長(zhǎng),在t＜20 s 時(shí),勢(shì)函數(shù)基本保持不變;在t=50 s時(shí),完成收斂.相比之下,第2 組仿真實(shí)驗(yàn)從非臨界點(diǎn)鄰域開(kāi)始姿態(tài)機(jī)動(dòng),機(jī)動(dòng)路徑更短,勢(shì)函數(shù)收斂更快,在t=30 s 時(shí),完成收斂.2 組仿真實(shí)驗(yàn)的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖5(c)和5(d)所示.由于第1 組仿真從臨界點(diǎn)鄰域開(kāi)始,導(dǎo)致收斂緩慢,因此圖5(c)的峰值出現(xiàn)時(shí)間晚于圖5(d).案例1 用于說(shuō)明臨界點(diǎn)問(wèn)題的極端情況,當(dāng)姿態(tài)靠近勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)時(shí),收斂變慢.根據(jù)式(10),若恰好處于臨界點(diǎn),則會(huì)完全停止收斂.

案例2.避障切換

在案例2 中,本文進(jìn)行了2 組仿真實(shí)驗(yàn).在第1 組仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在第2 組仿真實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

在2 組仿真實(shí)驗(yàn)中,目標(biāo)姿態(tài)下向量r的指向相同,位于CZ2 和CZ3 之間;而位于CZ1 下方的起始指向不同.在第1 組仿真初值下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中虛線所示,軌跡由CZ2 下方繞過(guò)CZ2,到達(dá)目標(biāo)點(diǎn).在繞過(guò)CZ2 時(shí),存在1 次轉(zhuǎn)折,這是由于勢(shì)函數(shù)在t=6 s 時(shí),進(jìn)行了避障切換,規(guī)避姿態(tài)約束CZ2.勢(shì)函數(shù)隨時(shí)間變化趨勢(shì)如圖6(b)中虛線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態(tài)機(jī)動(dòng)完成.在第2 組實(shí)驗(yàn)條件下,向量r的指向軌跡如圖6(a)中實(shí)線所示,軌跡穿過(guò)CZ1 和CZ2,到達(dá)目標(biāo)點(diǎn),分別在靠近CZ1 和CZ2 時(shí)有一次轉(zhuǎn)折.這是因?yàn)閯?shì)函數(shù)在t=1.6 s 時(shí)進(jìn)行避障切換,規(guī)避CZ1;在t=7s 時(shí)進(jìn)行避障切換,規(guī)避 CZ2.勢(shì)函數(shù)變化趨勢(shì)如圖6(b)中實(shí)線所示,在t=20 s 后,收斂到0,姿態(tài)機(jī)動(dòng)完成.2 組仿真的控制力矩和角速度誤差變化曲線如圖6(c)和6(d)所示,每次勢(shì)函數(shù)切換都導(dǎo)致了控制力矩和角速度突變,控制力矩在切換時(shí)飽和.案例2 說(shuō)明本文設(shè)計(jì)的勢(shì)函數(shù)在規(guī)避姿態(tài)約束上的有效性,以及切換控制對(duì)航天器狀態(tài)的影響.

圖6 避障切換下姿態(tài)機(jī)動(dòng)仿真Fig.6 Attitude maneuver simulation when avoiding attitude constraints

案例3.臨界點(diǎn)切換

假設(shè)航天器的目標(biāo)姿態(tài)、初始姿態(tài)誤差和航天器在本體下固連的指向分別為:

如圖7 所示,在上述初始條件下,向量r的初始指向位于CZ1 左下方,目標(biāo)指向位于CZ2 和CZ3 之間.該指向從 CZ2 下方繞過(guò)CZ2,到達(dá)目標(biāo)指向.航天器在12 s 前,基于勢(shì)函數(shù)P2,A進(jìn)行姿態(tài)控制;在t=12 s 時(shí),姿態(tài)靠近臨界點(diǎn),滿足切換控制模型式(61)和式(62),勢(shì)函數(shù)發(fā)生切換,切換到值更低的勢(shì)函數(shù)P1,A進(jìn)行姿態(tài)控制.如圖7(c)所示,控制力矩和角速度誤差在勢(shì)函數(shù)切換時(shí)突變.在t=25 s 后,勢(shì)函數(shù)收斂到0,姿態(tài)機(jī)動(dòng)完成.案例3 說(shuō)明本文方法在規(guī)避非期望臨界點(diǎn)時(shí)的一般情況,如圖2 所示,在進(jìn)入非期望臨界點(diǎn)某一給定的鄰域時(shí),就通過(guò)切換勢(shì)函數(shù)避開(kāi)該鄰域.

圖7 臨界點(diǎn)切換下姿態(tài)機(jī)動(dòng)仿真Fig.7 Attitude maneuver simulation when avoiding critical points

綜上所述,1)由上述仿真實(shí)驗(yàn)可知,為了規(guī)避非期望的臨界點(diǎn)和姿態(tài)限制,勢(shì)函數(shù)的切換會(huì)導(dǎo)致控制力矩發(fā)生突變,該突變值上限受勢(shì)函數(shù)參數(shù)的影響,在勢(shì)函數(shù)參數(shù)選取時(shí),應(yīng)在滿足式(23)基礎(chǔ)上,兼顧力矩突變大小.2)控制器的參數(shù)選取應(yīng)兼顧力矩和機(jī)動(dòng)時(shí)間與最終指向誤差等收斂效果的需求.3)勢(shì)函數(shù)非期望臨界點(diǎn)的分布是其固有性質(zhì),僅與勢(shì)函數(shù)參數(shù)有關(guān),與動(dòng)力學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)的不確定性無(wú)關(guān).但不確定性的存在會(huì)影響航天器對(duì)本文算法所給出的期望控制力矩的執(zhí)行,進(jìn)而影響航天器的實(shí)際機(jī)動(dòng)路徑,此時(shí)無(wú)法保證航天器能夠規(guī)避姿態(tài)約束和非期望臨界點(diǎn).

4 結(jié)束語(yǔ)

在姿態(tài)受約束情況下,基于旋轉(zhuǎn)矩陣設(shè)計(jì)可規(guī)避臨界點(diǎn)并實(shí)現(xiàn)姿態(tài)全局收斂的協(xié)同勢(shì)函數(shù).為每一個(gè)姿態(tài)約束設(shè)計(jì)軟約束區(qū)域,在軟約束區(qū)域內(nèi),避障勢(shì)函數(shù)由相對(duì)目標(biāo)姿態(tài)的吸引項(xiàng)和相對(duì)姿態(tài)約束的排斥項(xiàng)構(gòu)成,當(dāng)航天器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)到該區(qū)域內(nèi),切換為避障勢(shì)函數(shù).針對(duì)常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)形式和對(duì)數(shù)形式排斥項(xiàng),討論了本文的避障勢(shì)函數(shù)的臨界點(diǎn)分布和勢(shì)函數(shù)參數(shù)的關(guān)系,給出了避障區(qū)域內(nèi)不存在臨界點(diǎn)的參數(shù)要求.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,航天器能夠在本文設(shè)計(jì)的勢(shì)函數(shù)控制下規(guī)避姿態(tài)約束,收斂到目標(biāo)姿態(tài).由于本文進(jìn)行了勢(shì)函數(shù)切換,在切換時(shí)控制律不連續(xù),未來(lái)將考慮如何改善控制律突變對(duì)系統(tǒng)的影響.