非牛頓流體在多孔介質(zhì)中滲吸現(xiàn)象的研究

王世芳, 吳濤,肖明

(1.湖北第二師范學(xué)院物理與電子信息學(xué)院,湖北 武漢 430205；2.武漢工程大學(xué)理學(xué)院,湖北 武漢 430074)

滲吸是潤(rùn)濕相流體在多孔介質(zhì)中主要依靠毛細(xì)力作用置換另一種非潤(rùn)濕相流體的物理過(guò)程.滲吸是一種常見物理輸運(yùn)現(xiàn)象,廣泛存在于土壤學(xué)、石油工程、纖維材料等一些相關(guān)實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域.毛細(xì)上升是一種基本的物理現(xiàn)象,廣泛存在于自然過(guò)程及人類活動(dòng)中.毛細(xì)效應(yīng)在化學(xué)工程、冶金技術(shù)、地下水工程、石油工程、紡織物干燥等領(lǐng)域中也具有重要作用[1-3],尤其是在多孔介質(zhì)滲吸中起著不可估量的作用,如利用自發(fā)滲吸驅(qū)油已成為低滲裂縫油藏采油的一個(gè)重要機(jī)理[4].因此,依靠毛細(xì)力產(chǎn)生的滲吸現(xiàn)象越來(lái)越來(lái)越受到關(guān)注.

目前,大部分研究者主要研究牛頓流體在多孔介質(zhì)中的流動(dòng)特性和傳輸現(xiàn)象,但是在自然資源恢復(fù)與儲(chǔ)存工程等地表系統(tǒng)中,非牛頓流體卻處處存在.因此,研究非牛頓流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)行為對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用領(lǐng)域是十分非必要的.Bingham流體是一種常見的非牛頓流體,這種流體僅當(dāng)剪切應(yīng)力超過(guò)某一有限值時(shí)才開始流動(dòng),這有限應(yīng)力值τ0稱為該流體的屈服應(yīng)力.

Roquet和Saramito[5]用有限單元方法模擬了圓柱體中賓漢姆流體的流動(dòng).Balhoff和Thompson[6]也用有限單元方法模擬了軸對(duì)稱收縮管道中賓漢姆流體的流動(dòng).1921年,Washburn[7]給出了水在單根毛細(xì)管中滲吸高度及滲吸質(zhì)量隨時(shí)間變化的解析表達(dá)式.他的模型認(rèn)為多孔介質(zhì)是由直徑相同、并列排列的毛細(xì)管組成的.然而,大量的實(shí)驗(yàn)證明,多孔介質(zhì)的孔隙是呈分形結(jié)構(gòu)且孔隙空間在3-4個(gè)數(shù)量級(jí)的范圍內(nèi)是自相似的,孔隙大小在1 nm至100 μm內(nèi)變化.Benavente[8]等人通過(guò)引入迂曲度和孔形狀等描述多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)LW方程進(jìn)行了修正.在他們的模型里,迂曲度等于3,是一經(jīng)驗(yàn)常數(shù),不具有明確的物理意義,且他們的模型預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得不好. Cai[9]等人基于多孔介質(zhì)的分形特征提出了牛頓流體在多孔介質(zhì)中的自發(fā)順向滲吸的分形模型,并得到了牛頓流體在多孔介質(zhì)中滲吸高度與滲吸質(zhì)量的解析表達(dá)式.本文中主要研究了非牛頓Bingham流體在毛細(xì)力作用下在多孔介質(zhì)中的滲吸現(xiàn)象,得到了非牛頓Bingham流體滲吸高度與滲吸質(zhì)量的分形解析表達(dá)式.

1 理論模型

(1)

(2)

(3)

(4)

大量實(shí)驗(yàn)證明多孔介質(zhì)的孔隙大小的分布滿足分形分布,孔隙直徑在λ到λ+dλ區(qū)間里的孔隙數(shù)目：

(5)

(6)

滿足分形分布的多孔介質(zhì)孔隙面積為：

(7)

(8)

(9)

Bingham流體在多孔介質(zhì)中滲吸上升的平均流速可以表示為：

(10)

多孔介質(zhì)內(nèi)流體流動(dòng)通道的實(shí)際平均長(zhǎng)度[ 12-13]：

(11)

(12)

(13)

聯(lián)立(10)式和(13)式得到滲吸高度隨時(shí)間的變化關(guān)系：

(14)

(15)

(15)式表明滲吸所能達(dá)到的平衡高度與多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)特征(DT,Df,λmax和β)、液體的流變特性(密度ρ、粘度μ、屈服應(yīng)力τ0)有關(guān).

Bingham濕潤(rùn)液體吸入到多孔介質(zhì)的質(zhì)量隨時(shí)間的變化關(guān)系可以通過(guò)下面積分得到：

(16)

(17)

將(14)式代入到(17)式并應(yīng)用(16)式可得：

(18)

(19)

(19)式代表了在滲吸初期忽略重力因素情況下,牛頓流體在多孔介質(zhì)中累積滲吸質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系.代入初始條件M(0)=0,并對(duì)(19)式積分得到：

(20)

(20)式表明在滲吸初期,多孔介質(zhì)中滲吸的牛頓流體質(zhì)量M與時(shí)間的平方根t1/2成正比,這與cai[13]等人得出的結(jié)論相一致.

2 結(jié)果分析

由于大部分多孔介質(zhì)孔隙分布具有分形特征,因此可以把多孔介質(zhì)看作是由一束獨(dú)立的、不同尺寸、彼此不相交的毛細(xì)管組成.考慮毛細(xì)管迂曲度,研究非牛頓Bingham流體在多孔介質(zhì)中滲吸的物理機(jī)制,包括其上升高度和上升質(zhì)量隨時(shí)間的變化.

多孔介質(zhì)的孔隙分形維數(shù)可以由(8)式確定.多孔介質(zhì)的最大孔隙直徑可以采用顆粒呈等邊三角形排列的模型和顆粒呈正方形排列的模型所得的最大孔隙直徑的算術(shù)平均值[13],即

(21)

ds為固體顆粒直徑,在文中取ds=0.02 cm,φ為多孔介質(zhì)的孔隙率.

本文中選取Bingham流體的流變特性參數(shù)如下：密度ρ=1.00×103kg/m3,稠度系數(shù)μ=0.001 Pa·s.表面張力σ=72.7×10-3N/m,接觸角θ°=π/6,多孔介質(zhì)的孔隙率φ=0.4,迂曲度分形維數(shù)DT=1.1.一旦多孔介質(zhì)的孔隙率φ給定,分形維數(shù)Df就可以由(8)式確定.

圖1為基于(14)式,考慮非牛頓Bingham流體的重力因素后,Bingham流體在多孔介質(zhì)中滲吸高度隨時(shí)間的變化關(guān)系.從圖1可以看出,在滲吸的初期,Bingham流體在多孔介質(zhì)中上升的速度比較大,然后速度逐漸減小直至達(dá)到平衡高度.圖1還說(shuō)明了屈服應(yīng)力對(duì)滲吸的平衡高度有一定的影響,滲吸的平衡高度隨屈服應(yīng)力的減小而增大.

基于(10)式,圖2顯示了不考慮重力因素下,流體流變特性τ0=0時(shí),流體在多孔介質(zhì)中滲吸累積質(zhì)量與滲吸時(shí)間平方根呈線性關(guān)系.這與Lucas-Washburn方程是一致的,也與Cai[13]等人得到的結(jié)論一致.

圖3是基于(18)式,考慮Bingham流體的重力因素后,Bingham流體在多孔介質(zhì)中累積質(zhì)量隨時(shí)間的變化關(guān)系.從圖3可以看出,在滲吸初期,流體在多孔介質(zhì)中的滲吸速度很快,然后速度逐漸減小,以至于Bingham流體在多孔介質(zhì)中滲吸總質(zhì)量基本保持不變而趨近于平衡.另外,圖3還反映了屈服應(yīng)力τ0越大,多孔介質(zhì)中滲吸流體質(zhì)量越少,這是因?yàn)榍?yīng)力越大,Bingham流體受到的粘滯阻力越大,因此滲吸到多孔介質(zhì)中流體質(zhì)量就越少.

圖1 考慮重力作用時(shí)滲吸高度隨時(shí)間的變化關(guān)系

圖2 不考慮重力因素時(shí)滲吸質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系

圖3 考慮重力因素時(shí)滲吸質(zhì)量與時(shí)間的關(guān)系

3 結(jié)論

本文中提出一種關(guān)于非牛頓Bingham流體在多孔介質(zhì)中發(fā)生滲吸的簡(jiǎn)單分形模型,其滲吸高度及滲吸質(zhì)量不僅與Bingham流體的流變特性(粘度、屈服應(yīng)力、密度)有關(guān),還與多孔介質(zhì)的微結(jié)構(gòu)參數(shù)(分形維數(shù)、最小孔隙直徑、最大孔隙直徑)有關(guān).結(jié)果表明在滲吸初期,滲吸速度比較大,然后滲吸速度逐漸減慢直至達(dá)到到平衡狀態(tài)；屈服應(yīng)力τ0越大,Bingham流體在多孔介質(zhì)中滲吸高度與滲吸累積質(zhì)量越小.此結(jié)論可能為低滲透油藏中提高石油采油產(chǎn)量提供一定的理論指導(dǎo)意義.

[1] Abraham Marmur, Cohen Ruben D. Characterization of porous media by the kinetics of liquid penetration：the vertical capillaries model[J].Journal of Colloid and Interface Science,1997,189(2):299-304.

[2] Pezron I , Bourgain G, Quere D. Imbibition of a fabric[J].Journal of Colloid and Interface Science,1995,173(2)：319-327.

[3] Zhmud B V, Tiberg F,Hallstensson K. Dynamics of capillary rise[J].Journal of Colloid and Interface Science,2000,228(2):263-269.

[4] Cuiec L E, Bourbiaux B, Kalaydjian F. Oil recovery by imbibition in low-permeability chalk[J].SPE Form Eval,1994,9(3)：200-208.

[5] Roquet N, Saramito P. An adaptive finite element method for Bingham fluid flows around a cylinder[J].Comput Meth Appl Mech Eng,2003,192(31):3317-3341.

[6] Balhoff M T, Thompson K E. Modeling the steady flow of yield stress fluids in packed beds[J].AICHE J,2004,50(12)：3034-3048.

[7] Washburn E W. The dynamics of capillary flow[J].Phys Rev,1921,17(3):273-283.

[8] Benavente D, Lock P,geles García Del Cura M, et al. Predicting the capillary imbibition of porous rocks from microstructure[J].Transp Porous Media,2002,49(1)：59-76.

[9] Cai Jianchao, Yu Boming, Mei Maofei, et al. Capillary rise in a single tortuous capillary[J].Chin Phys Lett,2010,27(5):054701-1-4.

[10] Bird R B, Stewart W E, Lightfoot E N. Transport phenomena[M].New York:John Wiley & Sons Inc,1960:11-20.

[11] Yu Boming, Li Jianhua. Some fractal characters of porous media[J].Fractals,2001,9(3):365-372.

[12] Yu B M, Cai J C, Zou M Q. On the physical properties of apparent two-phase fractal porous media[J].Vadose Zone J,2009,8(1):177-186.

[13] Cai Jianchao, Yu Boming, Zou Mingqing, et al. Fractal characterization of spontaneous co-current imbibition in porous media[J].Energy Fuels,2010,24:1860-1867.