聚合物脊型光波導(dǎo)的有限元分析

曾維友，毛書哲，陳偉

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)系，湖北 十堰442002）

在集成光器件的研究中，為實(shí)現(xiàn)器件的高度集成化，減小損耗和器件長(zhǎng)度，研究人員發(fā)展了緊湊型集成光器件。非線性有機(jī)聚合物介電常數(shù)較低，易于與多種襯底材料結(jié)合，制備工藝相對(duì)簡(jiǎn)單［1］，目前成為制作緊湊型集成光器件的熱點(diǎn)材料之一。

光波導(dǎo)是有機(jī)聚合物光電器件中的重要結(jié)構(gòu)單元，為了設(shè)計(jì)出性能優(yōu)越的聚合物光電器件，先從理論上對(duì)光波導(dǎo)進(jìn)行分析優(yōu)化是必要的。由于聚合物材料的物化特性，光波導(dǎo)的制備常采用旋涂和反應(yīng)離子束刻蝕等工藝［2］，因而光波導(dǎo)通常用脊型波導(dǎo)結(jié)構(gòu)。就脊型光波導(dǎo)而言，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜沒有嚴(yán)格的解析解，因此要用數(shù)值方法對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。分析光波導(dǎo)的數(shù)值方法有模耦合理論、轉(zhuǎn)移矩陣法、有限元法、有效折射率法、時(shí)域有限差分法和束傳播法等［3］。有限元法是近似求解數(shù)理邊值問題的一種數(shù)值技術(shù)，廣泛應(yīng)用于工程和數(shù)學(xué)問題。目前，二維問題的有限元方法已相當(dāng)成熟，在電磁學(xué)和其他方面起著顯著的作用。

本文利用有限元法分析了聚合物脊型光波導(dǎo)中的基模和高階模，得出了不同脊高、脊寬及芯層厚度情況下基模和高階模的色散特性和場(chǎng)分布，為應(yīng)用有機(jī)聚合物設(shè)計(jì)集成光電器件提供了一定的指導(dǎo)。

1 理論分析

脊型光波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，脊的寬度為w，上、下包層的折射率分別為n1和n3，芯層的折射率為n2，芯層的厚度為d，脊的高度為h。在集成光波導(dǎo)中的傳導(dǎo)模通?？煞譃闇?zhǔn)TE模（導(dǎo)出函數(shù)為Ex）和準(zhǔn)TM模（導(dǎo)出函數(shù)為Hx），因此波導(dǎo)內(nèi)的場(chǎng)可以歸結(jié)為求解一個(gè)二維標(biāo)量波動(dòng)方程的解［4］：

式中：k0為真空中的波矢，k0=2π/λ，λ 為波長(zhǎng)； β 為導(dǎo)模的傳輸常數(shù)；Φ為Ex或Hx。

對(duì)脊波導(dǎo)橫截面進(jìn)行三角形剖分，則每個(gè)單元的場(chǎng)可表示為

式中：｛Φ｝e是三角單元頂點(diǎn)處的場(chǎng)值；｛N｝是三角單元插值函數(shù)；T表示轉(zhuǎn)置矩陣。

利用變分原理，將式（2）代入式（1），并把所有三角形單元組合起來就得到了波導(dǎo)的特征值方程：

式中：｛Φ｝是整個(gè)截面的場(chǎng)分布；neff為有效折射率，neff=β/k0；矩陣［K］及［M］由式（4）～（5）表示：

用MATLAB編寫相應(yīng)的有限元程序，根據(jù)式（3）可求出導(dǎo)模的特征值，用求得的特征值解出對(duì)應(yīng)的特征向量，就可以得到脊波導(dǎo)橫截面上的場(chǎng)分布。

2 聚合物脊型波導(dǎo)的色散特性分析

聚合物脊型波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，上包層采用紫外固化環(huán)氧NOA61，折射率n1為1.55，芯層由生色團(tuán)ICP－E構(gòu)成，折射率n2為1.67，下包層用紫外固化環(huán)氧 UV15，折射率 n3為 1.50［5］，工作波長(zhǎng) λ為1.55μm。用自適應(yīng)網(wǎng)格剖分技術(shù)對(duì)波導(dǎo)進(jìn)行三角剖分，結(jié)果如圖2所示，脊型區(qū)域網(wǎng)格劃分得較細(xì)，原因在于這個(gè)區(qū)域場(chǎng)變化較快，網(wǎng)格劃分得較小，計(jì)算結(jié)果將更精確些。

波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定導(dǎo)模的數(shù)目，圖3是用有限元法計(jì)算出的TM基模和高階模的橫向場(chǎng)分布，波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)為脊寬 6 μm，脊高 0.3 μm，芯層厚度為1.6 μm，這種情況下波導(dǎo)支持4種TM模，圖3中給出了其中的2種，改變波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)，高階模的截止將隨之變化?；５墓β手饕性诩剐螀^(qū)域，而高階模功率卻比較分散，傳輸時(shí)損耗比基模大，因此在實(shí)際應(yīng)用中通常需將波導(dǎo)設(shè)計(jì)成單模形式，這可以通過優(yōu)化波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)實(shí)現(xiàn)。

圖4是不同芯層厚度情況下各階TM模有效折射率隨脊寬的變化曲線，脊高均為0.3 μm，圖5是有效折射率隨脊高的變化曲線。從圖4～5中可以看出，聚合物脊型光波導(dǎo)具有下列一些特點(diǎn)：1）有效折射率隨脊寬的增加而增加，但變化比較緩慢，隨著模式階數(shù)的增加有效折射率明顯降低；2）在脊寬和脊高相同的情況下，有效折射率隨芯層厚度的增加而增加，芯層越厚，波導(dǎo)支持的模式越多；3）有效折射率隨脊高的增加而增加，脊高越大，波導(dǎo)支持的模式越多。TE模也具有這些特點(diǎn)，并且同一階TM模的有效折射率較TE模要小些。從圖4可以看出，當(dāng)脊高h(yuǎn)為0.3μm、芯層厚度d為1.3μm、脊寬w為5μm時(shí)，波導(dǎo)支持TM00、TM10模式；從圖5中可以看出，當(dāng)脊高進(jìn)一步減小時(shí)，TM10模截止了，波導(dǎo)只支持TM00模，如果增大芯層厚度或脊寬都會(huì)出現(xiàn)高階模。因此從分析中可以得出，為實(shí)現(xiàn)單模傳輸，芯層厚度應(yīng)設(shè)計(jì)d不大于1.3μm、脊寬w不大于5μm、脊高h(yuǎn)不大于0.2μm。

3 結(jié)論

用有限元法分析了有機(jī)聚合物脊型光波導(dǎo)的色散特性及其橫場(chǎng)分布，為實(shí)現(xiàn)單模傳輸，需要對(duì)芯層厚度、脊寬和脊高進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在芯層厚度小于 1.3 μm、脊寬小于 5 μm、脊高小于0.2μm的區(qū)域?yàn)楣獠▽?dǎo)的單模傳輸區(qū)域。本文的研究結(jié)果為有機(jī)聚合物脊型光波導(dǎo)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

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［5］ 廖進(jìn)昆，唐雄貴，陸榮國，等.聚合物脊形光波導(dǎo)的變分有效折射率法分析［J］.光學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（12）：2267－2271.