景元萍, 郭 斌, 張永勝

(1. 洛陽理工學院 數(shù)理部, 河南 洛陽 471023; 2. 吉林大學 數(shù)學研究所, 長春 130012)

0 引 言

考慮如下邊值問題:

(1)

當p=2時, 對邊值問題

(2)

的研究目前已有許多結(jié)果[1-7]. 當g(x,u)為非奇異的情形時, Bensoussan和Boccardo等[1-2]對g(x,u)是Ω×(0,+∞)上Carathédory函數(shù)的情形進行了研究. 對g(x,u)具有奇異點的情形, Arcoya等[3-4]證明了當g(x,u)=u-γ(0<γ≤1)時問題(2)解的存在性. 之后, Arcoya等[5]又對一般情形的g(x,u)研究了問題(2)解的性質(zhì), 給出了解的存在條件. 對于更一般的非線性算子(p-Laplace算子), 文獻[6-7]研究了該類問題解的存在性. 基于上述研究結(jié)果, 本文通過巧妙設計檢驗函數(shù), 并借助p-Laplace算子在加權(quán)函數(shù)下的第一特征值, 獲得了問題(1)有限能量解的不存在結(jié)果.

(3)

1 主要結(jié)果

定理1設f∈Lr(Ω)(r≥N/p),f≥0,f≠0. 若下列條件成立, 則問題(1)不存在正的有限能量解:

(H1) 存在非負函數(shù)h∈C[(0,+∞),[0,+∞)), 滿足

(H2) 0≤h(s)≤g(x,s) a.e.x∈Ω, ?s>0,h(s)=0,s>1.

引理1假設λ(f)是特征值問題

(4)

引理1的證明可參見文獻[8].

根據(jù)假設(H1), 易證:σ∈C1([0,+∞)),σ′(0)=h0,σ(s)=0 ?s=0;σ(s)=1,s>1;σ(s)≤1,s≤1;σ′(s)=σ(s)h1/p(s),G′(s)=[2/λ(f)]G(s)h(s).

引理2假設(H1)成立, 則函數(shù)

在[0,+∞)上連續(xù)可微, 且滿足方程

進一步,φ滿足不等式:φ(s)≤[λ(f)/2]σp(s), ?s>0.

證明: 只需證明φ(s)在s=0點連續(xù)可微. 由于G(t)單調(diào)遞增, 因此

所以φ(s)在s=0點連續(xù). 下面證明φ(s)在s=0點可微.

從而φ(s)在[0,+∞)上連續(xù)可微.

(5)

根據(jù)假設條件(H2), 可得

(6)

結(jié)合引理2, 有

(7)

[1] Bensoussan A, Boccardo L, Murat F. On a Nonlinear Partial Differential Equation Having Natural Growth Terms and Unbounded Solution [J]. Ann Inst H Poincaré Anal Nonlinéaire, 1988, 5(4): 347-364.

[3] Arcoya D, Barile S, Martínez-Aparicio P J. Singular Quasilinear Equations with Quadratic Growth in the Gradient without Sign Condition [J]. J Math Anal Appl, 2009, 350(1): 401-408.

[4] Arcoya D, Martínez-Aparicio P J. Quasilinear Equations with Natural Growth [J]. Rev Mat Iberoamericana, 2008, 24(2): 597-616.

[5] Arcoya D, Carmona J, Leonori T. Existence and Nonexistence of Solutions for Singular Quadratic Quasilinear Equations [J]. J Differential Equations, 2009, 246(10): 4006-4042.

[6] YUAN Hong-jun, CHEN Ming-tao. Some Notes on the Positive Solutions for a Class of Quasi-linear Elliptic Equations with Degeneracy and Singularity [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2005, 43(6): 741-745. (袁洪君, 陳明濤. 一類具有退化性和奇異性的擬線性橢圓方程正解的注記 [J]. 吉林大學學報: 理學版, 2005, 43(6): 741-745.)

[7] WEI Xiao-dan. Existence and Multiplicity of Solutions for a Nonlinear Singular Elliptic Equation [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2008, 46(4): 653-654. (魏曉丹. 一類非線性奇異橢圓方程解的存在性和多重性 [J]. 吉林大學學報: 理學版, 2008, 46(4): 653-654.)

[8] Arcoya D, Ruiz D. The Ambrosetti-Prodi Problem for thep-Laplace Operator [J]. Commu Partial Diff Equa, 2006, 31(6): 849-865.