基于離散指數(shù)映射的網(wǎng)格曲面上曲線設(shè)計(jì)與復(fù)用

韓 林 劉 斌

華僑大學(xué)，廈門，361021

0 引言

在幾何造型中，曲面上的曲線設(shè)計(jì)是一項(xiàng)重要的內(nèi)容。參數(shù)曲面上的曲線表達(dá)研究越來(lái)越多［1-3］，但對(duì)于網(wǎng)格曲面上的曲線，尚沒(méi)有理想的表示和設(shè)計(jì)方法。隨著計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)和現(xiàn)代制造業(yè)的發(fā)展，由平面和參數(shù)曲面表示的傳統(tǒng)規(guī)則特征已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)代工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)在外形上的要求，尤其是在計(jì)算機(jī)動(dòng)畫、數(shù)字影視制作，以及柔性制品的交互設(shè)計(jì)中，參數(shù)曲面造型更是存在較多空白。三角網(wǎng)格模型能夠表示任意復(fù)雜形狀，以其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)成為主流表示方法之一，故研究網(wǎng)格曲面上曲線的設(shè)計(jì)方法與配套技術(shù)具有適用價(jià)值和理論意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)曲面上曲線的生成方法已有一些研究：Hofer等［4］給出了一種光滑流形曲面上三次樣條曲線的生成方法；Rodriguez等［5］、Park等［6］將De Casteljau算法應(yīng)用于簡(jiǎn)單的流形曲面；Morera等［7］給出了測(cè)地Bezier曲線的生成方法；杜宏云［8］在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上給出了測(cè)地自由曲線的生成算法；朱文明等［9］從細(xì)分的角度構(gòu)造出流形曲面上的細(xì)分曲線。劉斌等［10］提出了一種插值于流形網(wǎng)格曲面上給定點(diǎn)列的測(cè)地B樣條曲線生成方法，該方法以網(wǎng)格曲面上兩點(diǎn)間的最短測(cè)地線代替歐氏空間中的兩點(diǎn)間直線，將歐氏空間中的德布爾算法拓展到曲面空間，形成與經(jīng)典B樣條曲線具有統(tǒng)一表示形式的曲面上自由曲線的表達(dá)形式。由于測(cè)地B樣條具有局部控制性、凸包性等優(yōu)點(diǎn)，故本文以文獻(xiàn)［10］所提出的方法來(lái)生成網(wǎng)格上的自由曲線，進(jìn)行交互操作。

欲實(shí)現(xiàn)測(cè)地B樣條曲線在彎曲空間中的基本交互操作，使其類似于B樣條曲線在歐氏空間中的基本操作，例如平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等，有效方法之一就是網(wǎng)格參數(shù)化的方法。三角網(wǎng)格參數(shù)化是對(duì)這些三角網(wǎng)格幾何和拓?fù)湫畔⑦M(jìn)一步處理的基礎(chǔ)［11］，各種各樣的參數(shù)化方法研究一直是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的熱點(diǎn)。通過(guò)分析各種參數(shù)化方法的優(yōu)缺點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)離散指數(shù)映射近似法［12］計(jì)算高效，而且在局部范圍內(nèi)保留了三維空間中每一點(diǎn)的距離與方向不變的特性，將其應(yīng)用于實(shí)時(shí)交互操作與復(fù)用設(shè)計(jì)，具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

本文在分析上述領(lǐng)域研究現(xiàn)狀的基礎(chǔ)上，把指數(shù)映射參數(shù)化的方法引入到網(wǎng)格曲面上自由曲線的設(shè)計(jì)中，提出一種網(wǎng)格曲面上測(cè)地B樣條曲線的復(fù)用操作方法（主要包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等），為優(yōu)秀設(shè)計(jì)成果的保存和重用提供了支持，提高了形狀設(shè)計(jì)的智能程度和效率。

1 離散指數(shù)映射

1.1 指數(shù)映射

在曲面S：r＝r（u1，u2）上取定一點(diǎn)p，p點(diǎn)的切平面為Tp，任取切向量v∈Tp，作測(cè)地射線Cp，v從p點(diǎn)出發(fā)并且以v／｜v｜為初始切向，則Cp，v由p和v／｜v｜唯一確定，如圖1所示。

圖1 曲面S上點(diǎn)P處的指數(shù)映射

取Cp，v的正向弧長(zhǎng)s參數(shù)化ui（s），i＝1，2，使p點(diǎn)在S 上的曲線坐標(biāo)為（u1（0），u2（1））。定義映射：

即像點(diǎn)Qs＝r（u1（s），u2（s））是CP，v上從p點(diǎn)出發(fā)且經(jīng)過(guò)弧長(zhǎng)s后到達(dá)的點(diǎn)。由此定義映射為

則此映射稱為曲面S上點(diǎn)p處的指數(shù)映射［13］。

指數(shù)映射expp本質(zhì)上就是在p點(diǎn)附近的曲面上產(chǎn)生一個(gè)二維的坐標(biāo)系統(tǒng)，將曲面S上的點(diǎn)映射到p點(diǎn)的切平面Tp上，并稱p點(diǎn)為種子點(diǎn)。對(duì)任一單位向量v∈Tp來(lái)說(shuō)，都存在一個(gè)用弧長(zhǎng)來(lái)參數(shù)化的測(cè)地線gv，使得gv（0）＝p 且g′（0）＝v。對(duì)p點(diǎn)周圍相鄰的任一鄰域點(diǎn)Q而言，都會(huì)有唯一的測(cè)地線gv通過(guò)它。因此，Q可用極坐標(biāo)（ρ，φ）映射到Tp上，ρ是從p到Q的測(cè)地線距離，φ是v在TP上的極角，這就是測(cè)地極坐標(biāo)表示形式。極坐標(biāo)可在Tp上被任意一個(gè)正交基底｛η1，η2｝表達(dá)成法坐標(biāo)（u，v），也可以將其看成二維向量e＝（u，v），此二維向量稱為測(cè)地線向量。本文中，這2個(gè)概念將不加區(qū)分地使用，法坐標(biāo)為坐標(biāo)表示形式，測(cè)地線向量為向量表示形式。指數(shù)映射參數(shù)化的關(guān)鍵步驟就是求取曲面上任意一點(diǎn)到種子點(diǎn)的測(cè)地線向量。

1.2 離散型指數(shù)映射逼近

對(duì)于網(wǎng)格曲面，為了近似得到曲面S上點(diǎn)p處的指數(shù)映射，若按定義，需要計(jì)算曲面上其他點(diǎn)q相對(duì)于點(diǎn)p的測(cè)地線距離和極角。測(cè)地線的計(jì)算成本較高，因此，本文采用Schmidt等［12］提出的離散指數(shù)映射逼近法進(jìn)行測(cè)地線的計(jì)算，該方法并不具體計(jì)算點(diǎn)q到點(diǎn)p的曲面測(cè)地線和極角，而是先由Dijkstra算法產(chǎn)生分段線性測(cè)地線向量，再通過(guò)這些測(cè)地線向量疊加，計(jì)算點(diǎn)q在點(diǎn)p切平面上的法坐標(biāo)。

假設(shè)網(wǎng)格曲面上有3點(diǎn)，分別為p、r、q，如圖2所示。p到r的測(cè)地線向量up，r和r到q的測(cè)地線向量ur，q已知，而p到q的測(cè)地線向量未知。目標(biāo)是求取up，q＝expp（q），即點(diǎn)q在切平面Tp上的法坐標(biāo)。在線性系統(tǒng)中存在

圖2 離散指數(shù)映射逼近

由于（up，q-up，r）未知，用ur，q的一個(gè)相關(guān)量來(lái)代替（up，q-up，r）。具體方法是，將原來(lái)用Tr的三維基底（xr，yr，zr）表示的ur，q用Tp的三維基底（xp，yp，zp）來(lái)表示。首先，設(shè)點(diǎn)p、r處的法矢分別為np與nr，將Tr沿著nr與np的叉積方向（nr×np）旋轉(zhuǎn)兩矢量之間的夾角α，此時(shí)Tr與Tp共面，Tr的基底變成（x′r，y′r，np）；然后，再將Tr沿著np的方向旋轉(zhuǎn)角度θp，r＝arccos（x′r·xp），從而Tr與Tp具有相同的三維基底。經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)后，Tr上的ur，q就可以用Tp的基底來(lái)表示。由于up，r與ur，q都是二維向量，可以忽略第一次旋轉(zhuǎn)對(duì)ur，q造成的影響，因此，up，q的近似值可表示為

式中，Rot2 D（θp，r）表示二維旋轉(zhuǎn)變換。

雖然用式（2）通過(guò)測(cè)地線向量旋轉(zhuǎn)、疊加求取的up，q與實(shí)際的三維網(wǎng)格上測(cè)地線向量的值會(huì)存在誤差（圖2），但是若不謀求網(wǎng)格全局參數(shù)化，只考慮局部映射，精度是能夠保證的，原因是此方法采用了式（2）這樣的矢量疊加，而不是以標(biāo)量運(yùn)算。通過(guò)式（2）的延伸，就可以近似求出點(diǎn)p局部鄰域網(wǎng)格上每一個(gè)頂點(diǎn)在Tp上的測(cè)地線向量。

1.3 法坐標(biāo)歸一化

基于指數(shù)映射的曲線交互設(shè)計(jì)方法需要確定種子點(diǎn)p和區(qū)域半徑R，如圖3所示。種子點(diǎn)作為算法向外擴(kuò)張的起始點(diǎn)，種子點(diǎn)的切平面與參數(shù)平面共面；區(qū)域半徑R是種子點(diǎn)到區(qū)域范圍內(nèi)最遠(yuǎn)點(diǎn)的測(cè)地線距離，R既決定了區(qū)域的范圍，又是算法的停止條件。計(jì)算出區(qū)域內(nèi)的所有頂點(diǎn)的測(cè)地線向量后，便得到了區(qū)域內(nèi)頂點(diǎn)的法坐標(biāo)，然后將法坐標(biāo)進(jìn)行幾何縮放和平移變換。其中，比例變換矩陣為

平移變換矩陣為

通過(guò)2次變換將所有頂點(diǎn)的法坐標(biāo)映射到［0，1］×［0，1］的參數(shù)空間中。

圖3 法坐標(biāo)歸一化

2 測(cè)地B樣條曲線交互操作

用戶在網(wǎng)格曲面上進(jìn)行測(cè)地B樣條曲線的編輯時(shí)，希望看到測(cè)地B樣條曲線在網(wǎng)格曲面上的滑動(dòng)、旋轉(zhuǎn)和縮放等變換，且要滿足實(shí)時(shí)交互性?；谶@些要求，本文首先在網(wǎng)格模型上輸入型值點(diǎn)，然后插值測(cè)地B樣條曲線（圖4a）；其次，在網(wǎng)格模型上選出一塊區(qū)域，該區(qū)域（稱之為源區(qū)域）必須完全覆蓋測(cè)地B樣條曲線，按照指數(shù)映射參數(shù)化的方法計(jì)算該區(qū)域內(nèi)測(cè)地B樣條曲線控制頂點(diǎn)的法坐標(biāo)（圖4b）；最后，通過(guò)選擇或改變網(wǎng)格模型上區(qū)域（稱之為興趣區(qū)域）的位置、方向或大小實(shí)現(xiàn)測(cè)地B樣條曲線的重用編輯（圖4c）。結(jié)果如圖4d所示。

圖4 曲線交互操作復(fù)用流程

2.1 測(cè)地B樣條曲線的生成

在網(wǎng)格曲面上生成k次測(cè)地B樣條曲線的算法思路是：首先給定三角網(wǎng)格曲面模型G和位于網(wǎng)格曲面上的m＋1個(gè)型值點(diǎn)Qj∈G（j＝0，1，…，m）；其次，由各型值點(diǎn)之間的最短測(cè)地距離按照積累弦長(zhǎng)參數(shù)化方法進(jìn)行數(shù)據(jù)參數(shù)化，得到各型值點(diǎn)的參數(shù)值，類似于經(jīng)典B樣條插值理論，在端點(diǎn)處取k＋1重節(jié)點(diǎn)的固支條件，且取規(guī)范定義域，這樣可得欲求曲線的節(jié)點(diǎn)矢量，然后由插值條件確定歐氏空間中各控制頂點(diǎn)；最后，將得到的控制頂點(diǎn)投影到網(wǎng)格曲面上，按擴(kuò)展德布爾算法得到初始測(cè)地B樣條曲線，計(jì)算各插值點(diǎn)到其在曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的測(cè)地距離，即插值誤差，按照誤差反向補(bǔ)償策略，更新型值點(diǎn)，重復(fù)上述過(guò)程，直至誤差滿足精度要求為止。生成B樣條曲線的同時(shí)，把計(jì)算出的控制頂點(diǎn)按順序存取，作為后續(xù)步驟的重要信息。

2.2 源區(qū)域選擇和控制頂點(diǎn)參數(shù)化

2.2.1 源區(qū)域參數(shù)化

生成測(cè)地B樣條曲線之后，需要進(jìn)行源區(qū)域的選擇及參數(shù)化源區(qū)域，其關(guān)鍵步驟是求取源區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)到種子點(diǎn)的測(cè)地線向量。

3D網(wǎng)格上的每一個(gè)頂點(diǎn)與其所有1-ring鄰域頂點(diǎn)之間的測(cè)地線距離，即為連接兩點(diǎn)的邊的長(zhǎng)度，因此其所有1-ring鄰域頂點(diǎn)的測(cè)地線向量可以很輕易地計(jì)算出來(lái)。如圖5所示，對(duì)于頂點(diǎn)p的1-ring鄰域頂點(diǎn)q，利用旋轉(zhuǎn)的方式將向量vp，q沿著vp，q與p的切平面法向量np的外積方向旋轉(zhuǎn)至p的切平面上，這樣既可以得到q點(diǎn)的方向，又能保持p、q之間的距離不變。然后將旋轉(zhuǎn)過(guò)后的三維向量，以切平面上一組正交基底｛xp，yp｝表示成二維向量up，q，up，q即為q點(diǎn)在p的切平面上的測(cè)地線向量。

圖5 網(wǎng)格頂點(diǎn)1－ring鄰域的測(cè)地線向量

本文以每個(gè)頂點(diǎn)的任意一個(gè)1-ring鄰域頂點(diǎn)來(lái)建立基底。假設(shè)一平面Tp由一組正交基底｛η1，η2｝所生成，則在Tp上的某點(diǎn)q與平面的原點(diǎn)p所形成的向量l可表示為

式（3）中，因u、v為標(biāo)量，η1、η2都是單位向量，故u、v可分別表示為

二維向量up，q＝（u，v）即為q點(diǎn)在Tp上的測(cè)地線向量。用同樣的方法可求取源區(qū)域內(nèi)所有頂點(diǎn)1-ring鄰域的測(cè)地線向量。

按照前述離散指數(shù)映射理論，若種子點(diǎn)到源區(qū)域任意頂點(diǎn)的路徑已知，便可利用向量的旋轉(zhuǎn)疊加得到種子點(diǎn)到源區(qū)域任意頂點(diǎn)的測(cè)地線向量。

如圖6所示，假設(shè)種子點(diǎn)為p，利用Dijkstra最短路徑方法得到p到網(wǎng)格上源區(qū)域內(nèi)任一頂點(diǎn)q的最短路徑｛p0，p1，…，pm｝，p0＝｜p｜且pm＝｜q｜，之后沿著最短路徑不斷地將每個(gè)切平面上的測(cè)地線向量轉(zhuǎn)換到Tp的基底上，且其q點(diǎn)的測(cè)地線向量可表示為

圖6 種子點(diǎn)p到網(wǎng)格上任意頂點(diǎn)q的測(cè)地線向量

須注意的是：二維向量upi，pi＋1是用直接轉(zhuǎn)換成起始點(diǎn)的切平面Tp的基底來(lái)表示的，而非前一個(gè)切平面Tpi-1的基底。如果通過(guò)前一個(gè)切平面進(jìn)行轉(zhuǎn)換的話，則會(huì)增大誤差積累［12］。

計(jì)算出源區(qū)域內(nèi)種子點(diǎn)到所有頂點(diǎn)的測(cè)地線向量后，即可對(duì)其進(jìn)行法坐標(biāo)歸一化處理，使所有頂點(diǎn)的法坐標(biāo)映射到u∈ （0，1），v∈ （0，1）的范圍中。網(wǎng)格曲面上三角面內(nèi)部點(diǎn)的法坐標(biāo)可通過(guò)其所在的三角面片的重心坐標(biāo)求取。

2.2.2 曲線控制頂點(diǎn)參數(shù)化

曲線控制頂點(diǎn)一般不會(huì)剛好位于網(wǎng)格曲面的頂點(diǎn)上，一般情況下都位于三角面片內(nèi)部（包括位于三角面邊上），這時(shí)可用其所在三角面片3個(gè)頂點(diǎn)的法坐標(biāo)和該點(diǎn)的三角形重心坐標(biāo)求取該點(diǎn)的法坐標(biāo)。如圖7所示，設(shè)曲線控制頂點(diǎn)P位于網(wǎng)格曲面的三角面片△ABC內(nèi)，3個(gè)頂點(diǎn)的測(cè)地向量分別為a、b、c，P點(diǎn)在三角面片內(nèi)，A、B、C3個(gè)頂點(diǎn)的重心坐標(biāo)u、v、w可分別表示為

則P點(diǎn)的測(cè)地線向量可以表示為

計(jì)算曲線所有控制頂點(diǎn)的法坐標(biāo)（測(cè)地向量）并將其存儲(chǔ)備為曲線操作的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。

2.3 參數(shù)匹配

無(wú)論是曲線的滑動(dòng)遷移，還是旋轉(zhuǎn)縮放，在操作過(guò)程中，測(cè)地B樣條曲線各控制頂點(diǎn)的法坐標(biāo)應(yīng)始終保持不變，改變的只是興趣區(qū)域的位置、方向和大小。選定興趣區(qū)域后的主要任務(wù)就是從興趣區(qū)域中找到源區(qū)域的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，使其與源區(qū)域一一對(duì)應(yīng)。

圖7 △ABC的內(nèi)點(diǎn)P的重心坐標(biāo)

圖8 源區(qū)域G1與興趣區(qū)域G2的參數(shù)化

如圖8所示，假設(shè)源區(qū)域?yàn)镚1，興趣區(qū)域?yàn)镚2，B樣條曲線上n個(gè)控制頂點(diǎn)為pi∈ ｛p0，p1，…，pn｝，兩區(qū)域的方向和大小都沒(méi)有改變，只是位置平移。兩區(qū)域是同一網(wǎng)格的不同位置，很難保證兩區(qū)域的網(wǎng)格具有相同的三角面片個(gè)數(shù)和相同的連接關(guān)系，為此提出一種拓?fù)洳煌娜蔷W(wǎng)格區(qū)域參數(shù)匹配的快速算法，具體步驟如下：

（1）按照參數(shù)化源區(qū)域G1的方法，將興趣區(qū)域G2參數(shù)化。保存G2內(nèi)所有頂點(diǎn)的法坐標(biāo)，以此建立k-d樹。搜索G2參數(shù)域內(nèi)與pi的法坐標(biāo)（ui，vi）最近的頂點(diǎn)，以該頂點(diǎn)的1-ring鄰接三角形為候選搜索集，求出pi在興趣區(qū)域G2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)p′i所在的三角面片 △abc。

（2）取出△abc 3個(gè)頂點(diǎn)的法坐標(biāo)，用這3個(gè)法坐標(biāo)建立虛擬三角形，稱之為該三角面片的參數(shù)三角形。由第（1）步可知，（ui，vi）一定落在△abc的參數(shù)三角形內(nèi)部（包括落在三角形邊上的情況），利用類似于前述重心坐標(biāo)的求解方法，得到（ui，vi）在參數(shù)三角形中的重心坐標(biāo)。

（3）由重心坐標(biāo)和三角形3個(gè)頂點(diǎn)的三維空間坐標(biāo)，即可計(jì)算出p′i的三維空間位置，即pi在興趣區(qū)域中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

計(jì)算出B樣條曲線各個(gè)控制頂點(diǎn)在興趣區(qū)域中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之后，按照拓展德布爾算法再生成測(cè)地B樣條曲線，就完成了曲線的滑動(dòng)平移操作。

每一個(gè)興趣區(qū)域都是基于種子點(diǎn)、方向及半徑產(chǎn)生的，只要改變興趣區(qū)域的半徑范圍，再以上述步驟重新計(jì)算B樣條曲線的控制頂點(diǎn)的法坐標(biāo)，就可以實(shí)現(xiàn)縮放的效果。測(cè)地B樣條曲線的旋轉(zhuǎn)則是將興趣區(qū)域種子點(diǎn)切平面的正交基底｛η1，η2｝沿著切平面的法向量旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，再以上述步驟重新計(jì)算B樣條曲線的控制頂點(diǎn)的法坐標(biāo)的過(guò)程。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

本文通過(guò)實(shí)例展示算法的結(jié)果，主要考慮了算法在各種曲面上的適應(yīng)性和視覺效果，并對(duì)曲線的復(fù)用交互設(shè)計(jì)速度進(jìn)行了探討分析。

3.1 算法的適應(yīng)能力及其視覺效果

本文算法使用Microsoft Visual Studio 2008開發(fā)工具和OpenGL函數(shù)庫(kù)，在CPU為2.26GHz、內(nèi)存為2.0GB的PC機(jī)上實(shí)現(xiàn)，部分結(jié)果如圖9所示。圖9a中的曲線位于半球面上，用于測(cè)試曲線變換后的視覺效果；圖9b中的帽子模型中部凸起，用于測(cè)試曲線在曲率變化較大的曲面上的適應(yīng)性；圖9c和圖9d為圓鼓和圓臺(tái)模型，用于測(cè)試各種曲線在具有尖銳特征的曲面上的適應(yīng)性。試驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的曲面上測(cè)地B樣條曲線的復(fù)用方法視覺效果良好，曲線對(duì)曲面的適應(yīng)性較強(qiáng)。

3.2 時(shí)間效率

良好的視覺效果和較強(qiáng)的適應(yīng)性是算法的基本要求，要應(yīng)用于實(shí)際工程，還須滿足實(shí)時(shí)交互的要求，即算法時(shí)間應(yīng)該控制在一定范圍內(nèi)。為此，選擇圖10所示的Shoe模型和Venus模型作為試驗(yàn)對(duì)象，試驗(yàn)不同曲線圖形在兩模型中的重用時(shí)間。另外，針對(duì)本文提出的僅計(jì)算局部區(qū)域的快速參數(shù)匹配算法，與計(jì)算整個(gè)網(wǎng)格區(qū)域的非快速算法進(jìn)行了時(shí)間效率比較，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

從表1中的數(shù)據(jù)可以看出，快速參數(shù)匹配的時(shí)間要比非快速參數(shù)匹配的時(shí)間低一個(gè)數(shù)量級(jí)，網(wǎng)格規(guī)模愈大，快速參數(shù)匹配的優(yōu)越性愈明顯。圖10a圖形和圖10b圖形都位于Shoe模型上，但圖10b圖形的匹配時(shí)間為圖10a圖形的2倍，因圖10b的控制頂點(diǎn)為圖10a的2倍，變換時(shí)須增加匹配次數(shù)，故時(shí)間變長(zhǎng)。匹配時(shí)間與控制頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間基本上呈線性關(guān)系，通過(guò)Venus模型上的圖10c圖形和圖10d圖形可以進(jìn)一步給予證實(shí)。圖10a圖形和圖10c圖形都為10個(gè)控制頂點(diǎn)，但后者所在的參數(shù)區(qū)域的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是前者的5倍多，導(dǎo)致圖10c圖形的匹配時(shí)間線性增加。圖10d圖形的匹配時(shí)間比圖10b長(zhǎng)，也是此原因。

圖9 各種網(wǎng)格曲面上測(cè)地B樣條曲線圖形的交互操作

4 結(jié)論

（1）將指數(shù)映射理論引入網(wǎng)格模型的局部參數(shù)化，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格曲面上曲線的遷移、旋轉(zhuǎn)和縮放等操作，為曲面上曲線的復(fù)用和再設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。

圖10 網(wǎng)格模型上測(cè)地B樣條曲線圖形的復(fù)用操作

表1 曲線插值迭代時(shí)間與模型的關(guān)系

（2）所采用的局部參數(shù)化方法計(jì)算效率高，變形小，不依賴于父網(wǎng)格模型的整體規(guī)模，能夠滿足實(shí)時(shí)交互設(shè)計(jì)要求。

（3）采用測(cè)地B樣條作為網(wǎng)格曲面上的曲線建模工具，曲線對(duì)曲面的適應(yīng)性強(qiáng)。

（4）離散指數(shù)映射計(jì)算速度快，但由于存在積累誤差，不適宜于大范圍網(wǎng)格區(qū)域的計(jì)算，如何減小積累誤差的影響，有待于進(jìn)一步的深入研究。

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